Номер 734, страница 155 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 734, страница 155.

Условие.

734. Найдутся ли такие целые значения $x$, при которых значение многочлена:

a) $2x^2 + 6x + 3$ окажется чётным числом;

б) $x^2 + x + 2$ окажется нечётным числом?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

a) $2x^2 + 6x + 3$ окажется чётным числом;

Для того чтобы определить, может ли значение многочлена $2x^2 + 6x + 3$ быть чётным при целых значениях $x$, проанализируем чётность каждого слагаемого.

Напомним основные свойства чётности чисел:
- Произведение любого целого числа на чётное число всегда является чётным.
- Сумма двух чётных чисел — чётное число.
- Сумма чётного и нечётного числа — нечётное число.

Рассмотрим многочлен $2x^2 + 6x + 3$, где $x$ — целое число.

1. Слагаемое $2x^2$. Так как $x$ — целое число, то $x^2$ тоже целое. Произведение $2 \cdot x^2$ является произведением на чётное число (2), следовательно, $2x^2$ всегда будет чётным числом при любом целом $x$.

2. Слагаемое $6x$. Так как $x$ — целое число, произведение $6 \cdot x$ является произведением на чётное число (6), следовательно, $6x$ всегда будет чётным числом.

3. Слагаемое $3$ является нечётным числом.

Теперь сложим слагаемые, учитывая их чётность:
$2x^2 + 6x + 3 = (\text{чётное}) + (\text{чётное}) + (\text{нечётное})$.
Сумма двух чётных чисел ($2x^2$ и $6x$) всегда даёт чётное число.
В результате получаем сумму чётного и нечётного числа: $(\text{чётное}) + (\text{нечётное}) = (\text{нечётное})$.

Таким образом, значение всего выражения $2x^2 + 6x + 3$ при любом целом $x$ является нечётным числом.

Другой способ рассуждения:
Вынесем 2 за скобки у первых двух слагаемых: $2x^2 + 6x + 3 = 2(x^2 + 3x) + 3$.
Поскольку $x$ — целое число, то выражение в скобках $k = x^2 + 3x$ также является целым числом. Тогда многочлен можно записать в виде $2k + 3$.
Выражение $2k$ является чётным при любом целом $k$. Сумма чётного числа $2k$ и нечётного числа $3$ всегда будет нечётным числом.

Следовательно, значение многочлена $2x^2 + 6x + 3$ никогда не может быть чётным числом при целых значениях $x$.

Ответ: нет, таких целых значений $x$ не найдётся.

б) $x^2 + x + 2$ окажется нечётным числом?

Рассмотрим многочлен $x^2 + x + 2$ при целых значениях $x$ и определим, может ли его значение быть нечётным.

Проанализируем выражение $x^2 + x$. Его можно представить в виде произведения $x(x + 1)$.
Числа $x$ и $x+1$ — это два последовательных целых числа. Среди любых двух последовательных целых чисел одно всегда будет чётным, а другое — нечётным.

Произведение чётного и нечётного числа всегда является чётным числом. Следовательно, выражение $x(x+1)$, а значит и $x^2 + x$, всегда является чётным при любом целом $x$.

Теперь рассмотрим весь многочлен: $x^2 + x + 2 = (x^2 + x) + 2$.

Мы установили, что $(x^2 + x)$ — это всегда чётное число. Слагаемое $2$ также является чётным числом.

Сумма двух чётных чисел всегда является чётным числом:
$(\text{чётное}) + (\text{чётное}) = (\text{чётное})$.

Таким образом, значение многочлена $x^2 + x + 2$ при любом целом $x$ всегда является чётным числом.

Альтернативно можно рассмотреть два случая в зависимости от чётности $x$:

1. Если $x$ — чётное число. Тогда $x^2$ — тоже чётное. Значение многочлена равно $(\text{чётное}) + (\text{чётное}) + (\text{чётное}) = (\text{чётное})$.

2. Если $x$ — нечётное число. Тогда $x^2$ — тоже нечётное. Значение многочлена равно $(\text{нечётное}) + (\text{нечётное}) + (\text{чётное})$. Сумма двух нечётных чисел является чётной, и сумма этого результата с чётным числом также будет чётной: $(\text{чётное}) + (\text{чётное}) = (\text{чётное})$.

В обоих случаях значение многочлена является чётным. Следовательно, оно никогда не может быть нечётным.

Ответ: нет, таких целых значений $x$ не найдётся.