Номер 733, страница 155 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Деление с остатком. Параграф 11. Произведение многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 733, страница 155.

Условие.

733. Докажите, что произведение $n(2n + 1)(7n + 1)$ делится на 6 при любом натуральном $n$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что произведение $n(2n + 1)(7n + 1)$ делится на 6 при любом натуральном $n$, нужно доказать, что оно делится на 2 и на 3, поскольку 2 и 3 — взаимно простые числа, и их произведение равно 6.

1. Доказательство делимости на 2.

Рассмотрим два случая:

а) Если $n$ — четное число, то $n = 2k$ для некоторого натурального $k$. В этом случае первый множитель $n$ делится на 2, а значит, и все произведение $n(2n + 1)(7n + 1)$ делится на 2.

б) Если $n$ — нечетное число, то $n = 2k - 1$ для некоторого натурального $k$. В этом случае множитель $7n + 1$ будет четным. Действительно, если $n$ нечетно, то $7n$ тоже нечетно (произведение двух нечетных чисел), а $7n + 1$ (сумма нечетного числа и единицы) — четно. Таким образом, произведение $n(2n + 1)(7n + 1)$ содержит четный множитель $(7n + 1)$ и поэтому делится на 2.

Следовательно, при любом натуральном $n$ произведение делится на 2.

2. Доказательство делимости на 3.

Рассмотрим три случая в зависимости от остатка от деления $n$ на 3:

а) Если $n$ делится на 3, то есть $n = 3k$ для некоторого натурального $k$. Тогда первый множитель $n$ делится на 3, и все произведение делится на 3.

б) Если $n$ дает остаток 1 при делении на 3, то есть $n = 3k + 1$ для некоторого натурального $k$. В этом случае рассмотрим множитель $2n + 1$:$2n + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 = 3(2k + 1)$.Так как множитель $(2n + 1)$ делится на 3, то и все произведение делится на 3.

в) Если $n$ дает остаток 2 при делении на 3, то есть $n = 3k + 2$ для некоторого натурального $k$. В этом случае рассмотрим множитель $7n + 1$:$7n + 1 = 7(3k + 2) + 1 = 21k + 14 + 1 = 21k + 15 = 3(7k + 5)$.Так как множитель $(7n + 1)$ делится на 3, то и все произведение делится на 3.

Следовательно, при любом натуральном $n$ один из множителей произведения $n(2n + 1)(7n + 1)$ делится на 3, а значит, и все произведение делится на 3.

Поскольку выражение $n(2n + 1)(7n + 1)$ делится и на 2, и на 3 при любом натуральном $n$, оно делится и на их произведение, то есть на 6. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.