Номер 728, страница 155 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Деление с остатком. Параграф 11. Произведение многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 728, страница 155.

Условие.

728. Докажите, что если целые числа $a$ и $b$ при делении на 3 дают различные остатки (отличные от нуля), то число $ab + 1$ делится на 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

При делении целого числа на 3 возможны следующие остатки: 0, 1 или 2.

Согласно условию задачи, целые числа $a$ и $b$ при делении на 3 дают остатки, которые являются:
1) отличными от нуля;
2) различными между собой.

Из первого условия следует, что остатки от деления $a$ и $b$ на 3 могут быть только 1 или 2.

Из второго условия следует, что если остаток одного числа равен 1, то остаток другого обязательно равен 2.

Таким образом, мы имеем два симметричных случая:
1) $a$ дает остаток 1, а $b$ дает остаток 2.
2) $a$ дает остаток 2, а $b$ дает остаток 1.

Докажем утверждение, используя аппарат сравнений по модулю. Рассмотрим первый случай (второй случай аналогичен из-за коммутативности умножения $ab = ba$).

Если число $a$ дает остаток 1 при делении на 3, это записывается как $a \equiv 1 \pmod{3}$.
Если число $b$ дает остаток 2 при делении на 3, это записывается как $b \equiv 2 \pmod{3}$.

Чтобы найти остаток от деления произведения $ab$ на 3, мы можем перемножить правые части сравнений:
$ab \equiv 1 \cdot 2 \pmod{3}$
$ab \equiv 2 \pmod{3}$

Это означает, что произведение $ab$ при делении на 3 дает в остатке 2.

Теперь найдем остаток от деления на 3 для искомого числа $ab + 1$:
$ab + 1 \equiv 2 + 1 \pmod{3}$
$ab + 1 \equiv 3 \pmod{3}$

Так как 3 делится на 3 с остатком 0, то:
$ab + 1 \equiv 0 \pmod{3}$

Запись $ab + 1 \equiv 0 \pmod{3}$ означает, что число $ab + 1$ делится на 3 без остатка. Утверждение доказано.

Ответ: Из условий задачи следует, что остатки чисел $a$ и $b$ при делении на 3 равны 1 и 2 в каком-либо порядке. Их произведение $ab$ при делении на 3 будет давать остаток $1 \cdot 2 = 2$. Тогда число $ab + 1$ при делении на 3 будет давать остаток $2 + 1 = 3$, что равносильно остатку 0. Следовательно, число $ab + 1$ делится на 3.