Номер 3, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 11. Произведение многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 3, страница 152.

Условие.

3. На примере многочлена $ab - 2b + 5a - 10$ объясните, как выполняется разложение многочлена на множители способом группировки.

Решение 1.

Решение 5.

Разложение многочлена на множители способом группировки — это метод, при котором члены многочлена объединяют в группы таким образом, чтобы после вынесения общих множителей из каждой группы появился новый, общий для всех групп множитель (обычно в виде многочлена в скобках), который затем также выносится за скобки.

Рассмотрим, как это работает на примере многочлена $ab - 2b + 5a - 10$.

Шаг 1. Группировка слагаемых

Сначала нужно объединить члены многочлена в группы (обычно попарно) так, чтобы у слагаемых в каждой группе был общий множитель. Порядок слагаемых можно менять. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье — с четвертым.

$(ab - 2b) + (5a - 10)$

Шаг 2. Вынесение общего множителя в каждой группе

Теперь из каждой группы вынесем за скобки общий множитель.

• В первой группе $(ab - 2b)$ общий множитель — это $b$. Выносим его: $b(a - 2)$.
• Во второй группе $(5a - 10)$ общий множитель — это $5$. Выносим его: $5(a - 2)$.

После вынесения множителей исходное выражение принимает вид:

$b(a - 2) + 5(a - 2)$

Шаг 3. Вынесение общего многочленного множителя

Мы видим, что оба слагаемых $b(a-2)$ и $5(a-2)$ имеют одинаковый множитель — выражение в скобках $(a - 2)$. Это наш новый общий множитель. Вынесем его за скобки. Множители, которые останутся от каждого слагаемого ($b$ и $+5$), образуют вторую скобку.

$(a - 2)(b + 5)$

Таким образом, мы разложили многочлен на произведение двух множителей: $(a - 2)$ и $(b + 5)$.

Примечание: Результат не зависит от первоначального выбора групп. Если бы мы сгруппировали иначе, например, $(ab + 5a) + (-2b - 10)$, то получили бы $a(b + 5) - 2(b + 5)$, что после вынесения общего множителя $(b + 5)$ также дало бы $(b + 5)(a - 2)$.

Ответ: Разложение многочлена $ab - 2b + 5a - 10$ на множители выполняется путем группировки его членов, например, $(ab - 2b) + (5a - 10)$, вынесения общего множителя из каждой группы, $b(a - 2) + 5(a - 2)$, и последующего вынесения общего многочленного множителя $(a - 2)$, что приводит к итоговому произведению $(a - 2)(b + 5)$.