Номер 727, страница 155 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Деление с остатком. Параграф 11. Произведение многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 727, страница 155.

Условие.

727. При делении натурального числа $a$ на натуральное число $b$ в частном получили $c$ и в остатке $d$. Могут ли все числа $a, b, c$ и $d$ быть нечётными?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Обозначим связь между данными числами в виде формулы деления с остатком. При делении натурального числа $a$ на натуральное число $b$ с частным $c$ и остатком $d$ справедливо равенство:$a = b \cdot c + d$где $a, b, c, d$ — натуральные числа, и выполняется условие $0 \le d < b$.

Предположим, что все четыре числа $a, b, c, d$ могут быть нечётными.Рассмотрим правую часть равенства $b \cdot c + d$ при таком предположении.

1. Найдём чётность произведения $b \cdot c$. Произведение двух нечётных чисел всегда является нечётным числом.
Доказательство: любое нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — целое неотрицательное число. Пусть $b = 2k_1+1$ и $c = 2k_2+1$. Тогда их произведение:$b \cdot c = (2k_1+1)(2k_2+1) = 4k_1k_2 + 2k_1 + 2k_2 + 1 = 2(2k_1k_2 + k_1 + k_2) + 1$.Полученное число имеет форму $2n+1$, а значит, оно нечётное.

2. Найдём чётность суммы $b \cdot c + d$. Мы выяснили, что произведение $b \cdot c$ является нечётным. По нашему предположению, число $d$ также нечётное. Сумма двух нечётных чисел всегда является чётным числом.
Доказательство: пусть у нас есть два нечётных числа $2n+1$ и $2m+1$. Их сумма:$(2n+1) + (2m+1) = 2n + 2m + 2 = 2(n+m+1)$.Полученное число имеет форму $2q$, а значит, оно чётное.

Таким образом, если числа $b, c$ и $d$ нечётные, то значение выражения $b \cdot c + d$ всегда будет чётным.Следовательно, число $a$, равное этому выражению, также должно быть чётным.

Это противоречит нашему первоначальному предположению о том, что число $a$ является нечётным. Значит, исходное предположение неверно, и все четыре числа $a, b, c$ и $d$ не могут быть нечётными одновременно.

Ответ: Нет, не могут. Если числа $b$, $c$ и $d$ нечётные, то произведение $b \cdot c$ будет нечётным, а сумма нечётного числа ($b \cdot c$) и нечётного числа ($d$) всегда будет чётным числом. Таким образом, число $a$ обязательно будет чётным, и все четыре числа не могут быть нечётными одновременно.