Номер 732, страница 155 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Деление с остатком. Параграф 11. Произведение многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 732, страница 155.

Условие.

732. Найдите целое число, которое как при делении на 5, так и при делении на 7 даёт остаток 1, причём первое частное на 4 больше второго.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть искомое целое число — $N$.

Согласно условиям задачи, мы можем составить систему уравнений. Условие "при делении на 5... даёт остаток 1" можно записать как: $N = 5 \cdot q_1 + 1$, где $q_1$ — это первое частное.

Условие "при делении на 7 даёт остаток 1" можно записать как: $N = 7 \cdot q_2 + 1$, где $q_2$ — это второе частное.

Условие "первое частное на 4 больше второго" можно записать как: $q_1 = q_2 + 4$.

Поскольку оба выражения для $N$ равны, приравняем их правые части: $5 \cdot q_1 + 1 = 7 \cdot q_2 + 1$.

Вычтем 1 из обеих частей уравнения: $5 \cdot q_1 = 7 \cdot q_2$.

Теперь подставим в это уравнение выражение для $q_1$ ($q_1 = q_2 + 4$): $5 \cdot (q_2 + 4) = 7 \cdot q_2$.

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $q_2$:
$5 \cdot q_2 + 20 = 7 \cdot q_2$
$20 = 7 \cdot q_2 - 5 \cdot q_2$
$20 = 2 \cdot q_2$
$q_2 = \frac{20}{2}$
$q_2 = 10$.

Итак, второе частное равно 10. Теперь найдем первое частное: $q_1 = q_2 + 4 = 10 + 4 = 14$.

Зная любое из частных, мы можем найти искомое число $N$. Используем второе уравнение: $N = 7 \cdot q_2 + 1 = 7 \cdot 10 + 1 = 70 + 1 = 71$.

Проверим, все ли условия задачи выполняются для числа 71:
1. Деление на 5: $71 = 5 \cdot 14 + 1$. Остаток 1, первое частное 14. Верно.
2. Деление на 7: $71 = 7 \cdot 10 + 1$. Остаток 1, второе частное 10. Верно.
3. Сравнение частных: $14 = 10 + 4$. Первое частное на 4 больше второго. Верно.

Ответ: 71.