Страница 155 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

727. При делении натурального числа $a$ на натуральное число $b$ в частном получили $c$ и в остатке $d$. Могут ли все числа $a, b, c$ и $d$ быть нечётными?

Обозначим связь между данными числами в виде формулы деления с остатком. При делении натурального числа $a$ на натуральное число $b$ с частным $c$ и остатком $d$ справедливо равенство:$a = b \cdot c + d$где $a, b, c, d$ — натуральные числа, и выполняется условие $0 \le d < b$.

Предположим, что все четыре числа $a, b, c, d$ могут быть нечётными.Рассмотрим правую часть равенства $b \cdot c + d$ при таком предположении.

1. Найдём чётность произведения $b \cdot c$. Произведение двух нечётных чисел всегда является нечётным числом.
Доказательство: любое нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — целое неотрицательное число. Пусть $b = 2k_1+1$ и $c = 2k_2+1$. Тогда их произведение:$b \cdot c = (2k_1+1)(2k_2+1) = 4k_1k_2 + 2k_1 + 2k_2 + 1 = 2(2k_1k_2 + k_1 + k_2) + 1$.Полученное число имеет форму $2n+1$, а значит, оно нечётное.

2. Найдём чётность суммы $b \cdot c + d$. Мы выяснили, что произведение $b \cdot c$ является нечётным. По нашему предположению, число $d$ также нечётное. Сумма двух нечётных чисел всегда является чётным числом.
Доказательство: пусть у нас есть два нечётных числа $2n+1$ и $2m+1$. Их сумма:$(2n+1) + (2m+1) = 2n + 2m + 2 = 2(n+m+1)$.Полученное число имеет форму $2q$, а значит, оно чётное.

Таким образом, если числа $b, c$ и $d$ нечётные, то значение выражения $b \cdot c + d$ всегда будет чётным.Следовательно, число $a$, равное этому выражению, также должно быть чётным.

Это противоречит нашему первоначальному предположению о том, что число $a$ является нечётным. Значит, исходное предположение неверно, и все четыре числа $a, b, c$ и $d$ не могут быть нечётными одновременно.

Ответ: Нет, не могут. Если числа $b$, $c$ и $d$ нечётные, то произведение $b \cdot c$ будет нечётным, а сумма нечётного числа ($b \cdot c$) и нечётного числа ($d$) всегда будет чётным числом. Таким образом, число $a$ обязательно будет чётным, и все четыре числа не могут быть нечётными одновременно.

730. При делении целого числа $a$ на 12 получается остаток 5. Какой остаток получился при делении этого числа на 4?

По условию задачи, при делении целого числа $a$ на 12 получается остаток 5. Это означает, что число $a$ можно представить в виде: $a = 12q + 5$, где $q$ — это неполное частное, являющееся некоторым целым числом.

Нам нужно найти остаток от деления этого же числа $a$ на 4. Для этого преобразуем полученное выражение. Поскольку $12$ делится на $4$ без остатка ($12 = 4 \times 3$), мы можем переписать первое слагаемое: $a = (4 \times 3)q + 5$

Теперь представим число $5$ в виде суммы, одним из слагаемых которой является число, кратное 4. Число 5 при делении на 4 дает в остатке 1, поэтому $5 = 4 \times 1 + 1$. Подставим это в наше выражение: $a = 4 \times 3q + (4 \times 1 + 1)$

Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель 4, и вынесем его за скобки: $a = (4 \times 3q + 4 \times 1) + 1$ $a = 4(3q + 1) + 1$

Это выражение соответствует формуле деления с остатком $a = bk + r$, где делитель $b=4$, неполное частное $k = 3q + 1$, а остаток $r=1$. Следовательно, при делении числа $a$ на 4 получается остаток 1.

Ответ: 1

733. Докажите, что произведение $n(2n + 1)(7n + 1)$ делится на 6 при любом натуральном $n$.

Чтобы доказать, что произведение $n(2n + 1)(7n + 1)$ делится на 6 при любом натуральном $n$, нужно доказать, что оно делится на 2 и на 3, поскольку 2 и 3 — взаимно простые числа, и их произведение равно 6.

1. Доказательство делимости на 2.

Рассмотрим два случая:

а) Если $n$ — четное число, то $n = 2k$ для некоторого натурального $k$. В этом случае первый множитель $n$ делится на 2, а значит, и все произведение $n(2n + 1)(7n + 1)$ делится на 2.

б) Если $n$ — нечетное число, то $n = 2k - 1$ для некоторого натурального $k$. В этом случае множитель $7n + 1$ будет четным. Действительно, если $n$ нечетно, то $7n$ тоже нечетно (произведение двух нечетных чисел), а $7n + 1$ (сумма нечетного числа и единицы) — четно. Таким образом, произведение $n(2n + 1)(7n + 1)$ содержит четный множитель $(7n + 1)$ и поэтому делится на 2.

Следовательно, при любом натуральном $n$ произведение делится на 2.

2. Доказательство делимости на 3.

Рассмотрим три случая в зависимости от остатка от деления $n$ на 3:

а) Если $n$ делится на 3, то есть $n = 3k$ для некоторого натурального $k$. Тогда первый множитель $n$ делится на 3, и все произведение делится на 3.

б) Если $n$ дает остаток 1 при делении на 3, то есть $n = 3k + 1$ для некоторого натурального $k$. В этом случае рассмотрим множитель $2n + 1$:$2n + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 = 3(2k + 1)$.Так как множитель $(2n + 1)$ делится на 3, то и все произведение делится на 3.

в) Если $n$ дает остаток 2 при делении на 3, то есть $n = 3k + 2$ для некоторого натурального $k$. В этом случае рассмотрим множитель $7n + 1$:$7n + 1 = 7(3k + 2) + 1 = 21k + 14 + 1 = 21k + 15 = 3(7k + 5)$.Так как множитель $(7n + 1)$ делится на 3, то и все произведение делится на 3.

Следовательно, при любом натуральном $n$ один из множителей произведения $n(2n + 1)(7n + 1)$ делится на 3, а значит, и все произведение делится на 3.

Поскольку выражение $n(2n + 1)(7n + 1)$ делится и на 2, и на 3 при любом натуральном $n$, оно делится и на их произведение, то есть на 6. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

725. Укажите наибольшее число воскресений в году.

Чтобы найти наибольшее число воскресений в году, необходимо проанализировать количество дней в обычном и високосном годах и соотнести их с количеством дней в неделе. В неделе 7 дней.

Сначала рассмотрим обычный год, в котором 365 дней. Чтобы узнать, сколько полных недель и сколько оставшихся дней в году, разделим количество дней в году на количество дней в неделе:$365 \div 7 = 52$ с остатком 1.Это можно записать в виде формулы: $365 = 52 \times 7 + 1$.Это означает, что в обычном году 52 полные недели и еще 1 "лишний" день. Каждая из 52 полных недель содержит ровно одно воскресенье, что дает нам 52 воскресенья. Чтобы общее число воскресений стало максимальным, этот один дополнительный день должен быть воскресеньем. Такое возможно, если год начинается в воскресенье. В этом случае в году будет $52 + 1 = 53$ воскресенья.

Теперь рассмотрим високосный год, в котором 366 дней. Поскольку дней больше, он является кандидатом на большее количество воскресений. Проведем аналогичные вычисления:$366 \div 7 = 52$ с остатком 2.Формула: $366 = 52 \times 7 + 2$.В високосном году 52 полные недели и 2 "лишних" дня. Это гарантирует как минимум 52 воскресенья. Чтобы получить 53-е воскресенье, один из этих двух дополнительных дней должен быть воскресеньем. Это произойдет, если год начинается в субботу (тогда два дополнительных дня будут суббота и воскресенье) или если год начинается в воскресенье (тогда два дополнительных дня будут воскресенье и понедельник). В обоих этих случаях количество воскресений в году будет равно 53.

Таким образом, сравнивая оба варианта, мы видим, что максимальное количество воскресений как в обычном, так и в високосном году равно 53. Невозможно получить 54 воскресенья, так как для этого потребовалось бы как минимум $53 \times 7 + 1 = 372$ дня в году.
Ответ: 53

728. Докажите, что если целые числа $a$ и $b$ при делении на 3 дают различные остатки (отличные от нуля), то число $ab + 1$ делится на 3.

При делении целого числа на 3 возможны следующие остатки: 0, 1 или 2.

Согласно условию задачи, целые числа $a$ и $b$ при делении на 3 дают остатки, которые являются:
1) отличными от нуля;
2) различными между собой.

Из первого условия следует, что остатки от деления $a$ и $b$ на 3 могут быть только 1 или 2.

Из второго условия следует, что если остаток одного числа равен 1, то остаток другого обязательно равен 2.

Таким образом, мы имеем два симметричных случая:
1) $a$ дает остаток 1, а $b$ дает остаток 2.
2) $a$ дает остаток 2, а $b$ дает остаток 1.

Докажем утверждение, используя аппарат сравнений по модулю. Рассмотрим первый случай (второй случай аналогичен из-за коммутативности умножения $ab = ba$).

Если число $a$ дает остаток 1 при делении на 3, это записывается как $a \equiv 1 \pmod{3}$.
Если число $b$ дает остаток 2 при делении на 3, это записывается как $b \equiv 2 \pmod{3}$.

Чтобы найти остаток от деления произведения $ab$ на 3, мы можем перемножить правые части сравнений:
$ab \equiv 1 \cdot 2 \pmod{3}$
$ab \equiv 2 \pmod{3}$

Это означает, что произведение $ab$ при делении на 3 дает в остатке 2.

Теперь найдем остаток от деления на 3 для искомого числа $ab + 1$:
$ab + 1 \equiv 2 + 1 \pmod{3}$
$ab + 1 \equiv 3 \pmod{3}$

Так как 3 делится на 3 с остатком 0, то:
$ab + 1 \equiv 0 \pmod{3}$

Запись $ab + 1 \equiv 0 \pmod{3}$ означает, что число $ab + 1$ делится на 3 без остатка. Утверждение доказано.

Ответ: Из условий задачи следует, что остатки чисел $a$ и $b$ при делении на 3 равны 1 и 2 в каком-либо порядке. Их произведение $ab$ при делении на 3 будет давать остаток $1 \cdot 2 = 2$. Тогда число $ab + 1$ при делении на 3 будет давать остаток $2 + 1 = 3$, что равносильно остатку 0. Следовательно, число $ab + 1$ делится на 3.

731. Одно из двух целых чисел при делении на 9 даёт остаток 7, а другое даёт остаток 5. Какой остаток получится при делении на 9 их произведения?

Для решения этой задачи воспользуемся понятием деления с остатком.

Пусть первое целое число — это a, а второе — b.

Согласно условию, при делении числа a на 9 получается остаток 7. Это означает, что число a можно представить в виде формулы:$a = 9k + 7$, где k — некоторое целое число (неполное частное).

Аналогично, второе число b при делении на 9 даёт остаток 5. Его можно представить в виде:$b = 9m + 5$, где m — некоторое целое число (неполное частное).

Теперь нам нужно найти остаток от деления на 9 произведения этих чисел, то есть $a \cdot b$. Для этого перемножим полученные выражения для a и b:$a \cdot b = (9k + 7)(9m + 5)$

Раскроем скобки:$a \cdot b = 9k \cdot 9m + 9k \cdot 5 + 7 \cdot 9m + 7 \cdot 5$$a \cdot b = 81km + 45k + 63m + 35$

Сгруппируем слагаемые. Первые три слагаемых ($81km$, $45k$ и $63m$) делятся на 9 без остатка. Вынесем общий множитель 9 за скобки:$a \cdot b = 9(9km + 5k + 7m) + 35$

Выражение $9(9km + 5k + 7m)$ полностью делится на 9. Следовательно, остаток от деления всего произведения $a \cdot b$ на 9 будет таким же, как остаток от деления последнего слагаемого, числа 35, на 9.

Найдем остаток от деления 35 на 9:$35 = 9 \cdot 3 + 8$

При делении 35 на 9 получается неполное частное 3 и остаток 8.Таким образом, остаток от деления произведения исходных чисел на 9 также равен 8.

Стоит отметить, что для нахождения остатка от деления произведения чисел достаточно было перемножить их остатки ($7 \cdot 5 = 35$) и затем найти остаток от деления этого результата на 9.

Ответ: 8

726. При делении целого числа $m$ на 35 в остатке получили 15. Делится ли число $m$ на 5? на 7?

Согласно условию, при делении целого числа $m$ на 35 в остатке получается 15. Это можно записать с помощью формулы деления с остатком:

$m = 35 \cdot k + 15$, где $k$ – некоторое целое число (неполное частное).

Теперь ответим на поставленные вопросы.

Делится ли число m на 5?

Чтобы определить, делится ли $m$ на 5, проанализируем выражение $m = 35k + 15$.

Первое слагаемое $35k$ делится на 5, так как один из множителей (35) делится на 5: $35 = 5 \cdot 7$.

Второе слагаемое 15 также делится на 5: $15 = 5 \cdot 3$.

Поскольку оба слагаемых делятся на 5, их сумма также будет делиться на 5. Можно вынести общий множитель 5 за скобки:

$m = 35k + 15 = 5 \cdot 7k + 5 \cdot 3 = 5(7k + 3)$

Так как число $m$ можно представить как произведение 5 и целого числа $(7k+3)$, оно делится на 5 нацело.

Ответ: да, делится.

Делится ли число m на 7?

Чтобы определить, делится ли $m$ на 7, проанализируем то же самое выражение $m = 35k + 15$.

Первое слагаемое $35k$ делится на 7, так как множитель 35 делится на 7: $35 = 7 \cdot 5$.

Второе слагаемое 15 при делении на 7 дает остаток 1, так как $15 = 7 \cdot 2 + 1$.

Представим число $m$ в виде, удобном для проверки делимости на 7:

$m = 35k + 15 = 7 \cdot 5k + (14 + 1) = (7 \cdot 5k + 7 \cdot 2) + 1$

Вынесем общий множитель 7 за скобки:

$m = 7(5k + 2) + 1$

Из полученного выражения видно, что при делении числа $m$ на 7 в остатке получается 1. Поскольку остаток не равен нулю, число $m$ не делится на 7 нацело.

Ответ: нет, не делится.

729. Верно ли, что при любых целых значениях a и b произведение $ab(a+b)(a-b)$ делится на 3?

Для того чтобы доказать, что произведение $ab(a + b)(a - b)$ делится на 3 при любых целых значениях $a$ и $b$, нужно показать, что хотя бы один из множителей в этом произведении ($a$, $b$, $a+b$ или $a-b$) всегда делится на 3.

Рассмотрим все возможные остатки от деления целых чисел $a$ и $b$ на 3. Любое целое число при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2.

Случай 1: Хотя бы одно из чисел, $a$ или $b$, делится на 3.

Если $a$ делится на 3 (то есть $a = 3k$ для некоторого целого $k$), то и всё произведение $ab(a + b)(a - b)$ делится на 3, так как один из его множителей ($a$) делится на 3.

Аналогично, если $b$ делится на 3, то и всё произведение делится на 3.

Случай 2: Ни $a$, ни $b$ не делятся на 3.

В этом случае остатки от деления $a$ и $b$ на 3 могут быть только 1 или 2. Рассмотрим два подслучая.

Подслучай 2.1: $a$ и $b$ имеют одинаковые остатки при делении на 3.

• Если и $a$, и $b$ при делении на 3 дают в остатке 1 (то есть $a = 3k + 1$, $b = 3m + 1$), то их разность $(a - b) = (3k + 1) - (3m + 1) = 3k - 3m = 3(k - m)$. Эта разность делится на 3.
• Если и $a$, и $b$ при делении на 3 дают в остатке 2 (то есть $a = 3k + 2$, $b = 3m + 2$), то их разность $(a - b) = (3k + 2) - (3m + 2) = 3k - 3m = 3(k - m)$. Эта разность также делится на 3.

В обоих вариантах множитель $(a - b)$ делится на 3, а значит, и всё произведение делится на 3.

Подслучай 2.2: $a$ и $b$ имеют разные остатки при делении на 3.

Поскольку ни одно из чисел не делится на 3, это означает, что одно из них дает остаток 1, а другое — остаток 2.

• Пусть $a$ дает остаток 1, а $b$ — остаток 2 ($a = 3k + 1$, $b = 3m + 2$). Тогда их сумма $(a + b) = (3k + 1) + (3m + 2) = 3k + 3m + 3 = 3(k + m + 1)$. Эта сумма делится на 3.

В этом случае множитель $(a + b)$ делится на 3, следовательно, и всё произведение делится на 3.

Мы рассмотрели все возможные комбинации остатков для чисел $a$ и $b$ при делении на 3. В каждом случае было показано, что хотя бы один из множителей выражения $ab(a + b)(a - b)$ делится на 3. Следовательно, всё произведение всегда делится на 3.

Ответ: Да, верно.

732. Найдите целое число, которое как при делении на 5, так и при делении на 7 даёт остаток 1, причём первое частное на 4 больше второго.

Пусть искомое целое число — $N$.

Согласно условиям задачи, мы можем составить систему уравнений. Условие "при делении на 5... даёт остаток 1" можно записать как: $N = 5 \cdot q_1 + 1$, где $q_1$ — это первое частное.

Условие "при делении на 7 даёт остаток 1" можно записать как: $N = 7 \cdot q_2 + 1$, где $q_2$ — это второе частное.

Условие "первое частное на 4 больше второго" можно записать как: $q_1 = q_2 + 4$.

Поскольку оба выражения для $N$ равны, приравняем их правые части: $5 \cdot q_1 + 1 = 7 \cdot q_2 + 1$.

Вычтем 1 из обеих частей уравнения: $5 \cdot q_1 = 7 \cdot q_2$.

Теперь подставим в это уравнение выражение для $q_1$ ($q_1 = q_2 + 4$): $5 \cdot (q_2 + 4) = 7 \cdot q_2$.

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $q_2$:
$5 \cdot q_2 + 20 = 7 \cdot q_2$
$20 = 7 \cdot q_2 - 5 \cdot q_2$
$20 = 2 \cdot q_2$
$q_2 = \frac{20}{2}$
$q_2 = 10$.

Итак, второе частное равно 10. Теперь найдем первое частное: $q_1 = q_2 + 4 = 10 + 4 = 14$.

Зная любое из частных, мы можем найти искомое число $N$. Используем второе уравнение: $N = 7 \cdot q_2 + 1 = 7 \cdot 10 + 1 = 70 + 1 = 71$.

Проверим, все ли условия задачи выполняются для числа 71:
1. Деление на 5: $71 = 5 \cdot 14 + 1$. Остаток 1, первое частное 14. Верно.
2. Деление на 7: $71 = 7 \cdot 10 + 1$. Остаток 1, второе частное 10. Верно.
3. Сравнение частных: $14 = 10 + 4$. Первое частное на 4 больше второго. Верно.

Ответ: 71.

736. Представьте в виде многочлена:

а) $(-2x^2 + x + 1) - (x^2 - x + 7) - (4x^2 + 2x + 8);$

б) $(3a^2 - a + 2) + (-3a^2 + 3a - 1) - (a^2 - 1);$

в) $2a - 3b + c - (4a + 7b + c + 3);$

г) $2xy - y^2 + (y^2 - xy) - (x^2 + xy).$

а) $(-2x^2 + x + 1) - (x^2 - x + 7) - (4x^2 + 2x + 8)$

Чтобы представить выражение в виде многочлена, сначала раскроем скобки. Если перед скобкой стоит знак «минус», то знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные. Если перед скобкой стоит знак «плюс» (или знака нет), знаки слагаемых не меняются.

$(-2x^2 + x + 1) - (x^2 - x + 7) - (4x^2 + 2x + 8) = -2x^2 + x + 1 - x^2 + x - 7 - 4x^2 - 2x - 8$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые (одночлены с одинаковой буквенной частью).

Для членов с $x^2$: $-2x^2 - x^2 - 4x^2 = (-2 - 1 - 4)x^2 = -7x^2$

Для членов с $x$: $x + x - 2x = (1 + 1 - 2)x = 0x = 0$

Для свободных членов (констант): $1 - 7 - 8 = -14$

Соберем полученные члены вместе:

$-7x^2 + 0 - 14 = -7x^2 - 14$

Ответ: $-7x^2 - 14$

б) $(3a^2 - a + 2) + (-3a^2 + 3a - 1) - (a^2 - 1)$

Раскроем скобки. Перед первой и второй скобками стоит знак «плюс», поэтому знаки слагаемых внутри них не меняются. Перед третьей скобкой стоит знак «минус», поэтому знаки слагаемых внутри нее меняются на противоположные.

$(3a^2 - a + 2) + (-3a^2 + 3a - 1) - (a^2 - 1) = 3a^2 - a + 2 - 3a^2 + 3a - 1 - a^2 + 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

Для членов с $a^2$: $3a^2 - 3a^2 - a^2 = (3 - 3 - 1)a^2 = -a^2$

Для членов с $a$: $-a + 3a = (-1 + 3)a = 2a$

Для свободных членов: $2 - 1 + 1 = 2$

Соберем полученные члены вместе:

$-a^2 + 2a + 2$

Ответ: $-a^2 + 2a + 2$

в) $2a - 3b + c - (4a + 7b + c + 3)$

В этом выражении есть только одни скобки, перед которыми стоит знак «минус». Раскроем их, поменяв знаки всех слагаемых внутри на противоположные.

$2a - 3b + c - (4a + 7b + c + 3) = 2a - 3b + c - 4a - 7b - c - 3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

Для членов с $a$: $2a - 4a = (2 - 4)a = -2a$

Для членов с $b$: $-3b - 7b = (-3 - 7)b = -10b$

Для членов с $c$: $c - c = (1 - 1)c = 0$

Свободный член: $-3$

Соберем полученные члены вместе:

$-2a - 10b + 0 - 3 = -2a - 10b - 3$

Ответ: $-2a - 10b - 3$

г) $2xy - y^2 + (y^2 - xy) - (x^2 + xy)$

Раскроем скобки. Перед первой из них стоит знак «плюс», поэтому знаки не меняем. Перед второй — «минус», поэтому знаки меняем на противоположные.

$2xy - y^2 + (y^2 - xy) - (x^2 + xy) = 2xy - y^2 + y^2 - xy - x^2 - xy$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Для удобства расположим члены многочлена в стандартном виде.

Для члена с $x^2$: $-x^2$

Для членов с $y^2$: $-y^2 + y^2 = (-1 + 1)y^2 = 0$

Для членов с $xy$: $2xy - xy - xy = (2 - 1 - 1)xy = 0$

Соберем полученные члены вместе:

$-x^2 + 0 + 0 = -x^2$

Ответ: $-x^2$

734. Найдутся ли такие целые значения $x$, при которых значение многочлена:

a) $2x^2 + 6x + 3$ окажется чётным числом;

б) $x^2 + x + 2$ окажется нечётным числом?

a) $2x^2 + 6x + 3$ окажется чётным числом;

Для того чтобы определить, может ли значение многочлена $2x^2 + 6x + 3$ быть чётным при целых значениях $x$, проанализируем чётность каждого слагаемого.

Напомним основные свойства чётности чисел:
- Произведение любого целого числа на чётное число всегда является чётным.
- Сумма двух чётных чисел — чётное число.
- Сумма чётного и нечётного числа — нечётное число.

Рассмотрим многочлен $2x^2 + 6x + 3$, где $x$ — целое число.

1. Слагаемое $2x^2$. Так как $x$ — целое число, то $x^2$ тоже целое. Произведение $2 \cdot x^2$ является произведением на чётное число (2), следовательно, $2x^2$ всегда будет чётным числом при любом целом $x$.

2. Слагаемое $6x$. Так как $x$ — целое число, произведение $6 \cdot x$ является произведением на чётное число (6), следовательно, $6x$ всегда будет чётным числом.

3. Слагаемое $3$ является нечётным числом.

Теперь сложим слагаемые, учитывая их чётность:
$2x^2 + 6x + 3 = (\text{чётное}) + (\text{чётное}) + (\text{нечётное})$.
Сумма двух чётных чисел ($2x^2$ и $6x$) всегда даёт чётное число.
В результате получаем сумму чётного и нечётного числа: $(\text{чётное}) + (\text{нечётное}) = (\text{нечётное})$.

Таким образом, значение всего выражения $2x^2 + 6x + 3$ при любом целом $x$ является нечётным числом.

Другой способ рассуждения:
Вынесем 2 за скобки у первых двух слагаемых: $2x^2 + 6x + 3 = 2(x^2 + 3x) + 3$.
Поскольку $x$ — целое число, то выражение в скобках $k = x^2 + 3x$ также является целым числом. Тогда многочлен можно записать в виде $2k + 3$.
Выражение $2k$ является чётным при любом целом $k$. Сумма чётного числа $2k$ и нечётного числа $3$ всегда будет нечётным числом.

Следовательно, значение многочлена $2x^2 + 6x + 3$ никогда не может быть чётным числом при целых значениях $x$.

Ответ: нет, таких целых значений $x$ не найдётся.

б) $x^2 + x + 2$ окажется нечётным числом?

Рассмотрим многочлен $x^2 + x + 2$ при целых значениях $x$ и определим, может ли его значение быть нечётным.

Проанализируем выражение $x^2 + x$. Его можно представить в виде произведения $x(x + 1)$.
Числа $x$ и $x+1$ — это два последовательных целых числа. Среди любых двух последовательных целых чисел одно всегда будет чётным, а другое — нечётным.

Произведение чётного и нечётного числа всегда является чётным числом. Следовательно, выражение $x(x+1)$, а значит и $x^2 + x$, всегда является чётным при любом целом $x$.

Теперь рассмотрим весь многочлен: $x^2 + x + 2 = (x^2 + x) + 2$.

Мы установили, что $(x^2 + x)$ — это всегда чётное число. Слагаемое $2$ также является чётным числом.

Сумма двух чётных чисел всегда является чётным числом:
$(\text{чётное}) + (\text{чётное}) = (\text{чётное})$.

Таким образом, значение многочлена $x^2 + x + 2$ при любом целом $x$ всегда является чётным числом.

Альтернативно можно рассмотреть два случая в зависимости от чётности $x$:

1. Если $x$ — чётное число. Тогда $x^2$ — тоже чётное. Значение многочлена равно $(\text{чётное}) + (\text{чётное}) + (\text{чётное}) = (\text{чётное})$.

2. Если $x$ — нечётное число. Тогда $x^2$ — тоже нечётное. Значение многочлена равно $(\text{нечётное}) + (\text{нечётное}) + (\text{чётное})$. Сумма двух нечётных чисел является чётной, и сумма этого результата с чётным числом также будет чётной: $(\text{чётное}) + (\text{чётное}) = (\text{чётное})$.

В обоих случаях значение многочлена является чётным. Следовательно, оно никогда не может быть нечётным.

Ответ: нет, таких целых значений $x$ не найдётся.

737. Упростите выражение:

а) $(1 - x + 4x^2 - 8x^3) + (2x^3 + x^2 - 6x - 3) - (5x^3 + 8x^2);$

б) $(0,5a - 0,6b + 5,5) - (-0,5a + 0,4b) + (1,3b - 4,5).$

а) Чтобы упростить выражение $(1 - x + 4x^2 - 8x^3) + (2x^3 + x^2 - 6x - 3) - (5x^3 + 8x^2)$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Раскрыть скобки. Если перед скобкой стоит знак «+», знаки слагаемых в скобках не меняются. Если стоит знак «-», знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные.

$(1 - x + 4x^2 - 8x^3) + (2x^3 + x^2 - 6x - 3) - (5x^3 + 8x^2) = 1 - x + 4x^2 - 8x^3 + 2x^3 + x^2 - 6x - 3 - 5x^3 - 8x^2$

2. Сгруппировать подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени).

$(-8x^3 + 2x^3 - 5x^3) + (4x^2 + x^2 - 8x^2) + (-x - 6x) + (1 - 3)$

3. Выполнить сложение и вычитание в каждой группе.

Для $x^3$: $-8 + 2 - 5 = -11$. Получаем $-11x^3$.

Для $x^2$: $4 + 1 - 8 = -3$. Получаем $-3x^2$.

Для $x$: $-1 - 6 = -7$. Получаем $-7x$.

Для констант: $1 - 3 = -2$.

4. Записать итоговый многочлен, расположив члены по убыванию степеней переменной.

$-11x^3 - 3x^2 - 7x - 2$

Ответ: $-11x^3 - 3x^2 - 7x - 2$

б) Чтобы упростить выражение $(0.5a - 0.6b + 5.5) - (-0.5a + 0.4b) + (1.3b - 4.5)$, выполним аналогичные действия:

1. Раскроем скобки, меняя знаки во вторых скобках, так как перед ними стоит знак «-».

$(0.5a - 0.6b + 5.5) - (-0.5a + 0.4b) + (1.3b - 4.5) = 0.5a - 0.6b + 5.5 + 0.5a - 0.4b + 1.3b - 4.5$

2. Сгруппируем подобные слагаемые.

$(0.5a + 0.5a) + (-0.6b - 0.4b + 1.3b) + (5.5 - 4.5)$

3. Выполним действия в каждой группе.

Для $a$: $0.5 + 0.5 = 1$. Получаем $a$.

Для $b$: $-0.6 - 0.4 + 1.3 = -1 + 1.3 = 0.3$. Получаем $0.3b$.

Для констант: $5.5 - 4.5 = 1$.

4. Записать итоговое выражение.

$a + 0.3b + 1$

Ответ: $a + 0.3b + 1$

735. Расположите члены многочлена $3ax^2 - 6a^3x + 8a^2 - x^3$:

а) по возрастающим степеням переменной $x$;

б) по убывающим степеням переменной $a$.

а) по возрастающим степеням переменной x;

Исходный многочлен: $3ax^2 - 6a^3x + 8a^2 - x^3$.

Чтобы расположить члены многочлена по возрастающим степеням переменной $x$, необходимо определить показатель степени $x$ в каждом из одночленов и выстроить их в порядке от наименьшего к наибольшему.

Определим степень $x$ для каждого члена:
- для $8a^2$ степень $x$ равна 0 (поскольку $x^0=1$);
- для $-6a^3x$ степень $x$ равна 1 (поскольку $x=x^1$);
- для $3ax^2$ степень $x$ равна 2;
- для $-x^3$ степень $x$ равна 3.

Теперь расположим члены многочлена в порядке возрастания степеней $x$ (0, 1, 2, 3):

$8a^2 - 6a^3x + 3ax^2 - x^3$.

Ответ: $8a^2 - 6a^3x + 3ax^2 - x^3$

б) по убывающим степеням переменной a.

Чтобы расположить члены того же многочлена по убывающим степеням переменной $a$, необходимо определить показатель степени $a$ в каждом из одночленов и выстроить их в порядке от наибольшего к наименьшему.

Определим степень $a$ для каждого члена:
- для $-6a^3x$ степень $a$ равна 3;
- для $8a^2$ степень $a$ равна 2;
- для $3ax^2$ степень $a$ равна 1 (поскольку $a=a^1$);
- для $-x^3$ степень $a$ равна 0 (поскольку $a^0=1$).

Теперь расположим члены многочлена в порядке убывания степеней $a$ (3, 2, 1, 0):

$-6a^3x + 8a^2 + 3ax^2 - x^3$.

Ответ: $-6a^3x + 8a^2 + 3ax^2 - x^3$