Страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

724. Укажите все целые числа $a$, удовлетворяющие двойному неравенству $-12 < a < 12$, которые при делении на 7 дают остаток 3.

Согласно условию задачи, мы ищем целые числа $a$, которые удовлетворяют двум условиям:

1. Они должны находиться в интервале, заданном двойным неравенством: $-12 < a < 12$.
2. При делении на 7 они должны давать остаток 3.

Второе условие можно записать в виде формулы. Если число $a$ при делении на 7 дает остаток 3, то его можно представить в виде $a = 7k + 3$, где $k$ — некоторое целое число (частное).

Теперь подставим это выражение для $a$ в двойное неравенство из первого условия, чтобы найти все возможные значения $k$:

$-12 < 7k + 3 < 12$

Для решения этого двойного неравенства относительно $k$, сначала вычтем 3 из всех его частей:

$-12 - 3 < 7k < 12 - 3$

$-15 < 7k < 9$

Теперь разделим все части неравенства на 7:

$-\frac{15}{7} < k < \frac{9}{7}$

Чтобы определить целые значения $k$, представим дроби в виде десятичных чисел:

$-2.14... < k < 1.28...$

Целыми числами, которые удовлетворяют этому неравенству, являются $k = -2, -1, 0, 1$.

Найдем соответствующие значения $a$ для каждого из этих значений $k$, используя формулу $a = 7k + 3$:

• При $k = -2$: $a = 7 \cdot (-2) + 3 = -14 + 3 = -11$.
• При $k = -1$: $a = 7 \cdot (-1) + 3 = -7 + 3 = -4$.
• При $k = 0$: $a = 7 \cdot 0 + 3 = 0 + 3 = 3$.
• При $k = 1$: $a = 7 \cdot 1 + 3 = 7 + 3 = 10$.

Все найденные числа ($-11, -4, 3, 10$) удовлетворяют исходному неравенству $-12 < a < 12$.

Ответ: -11, -4, 3, 10.

722. Найдите частное и остаток от деления:

а) 138 на 7;

б) -16 на 3;

в) -4 на 5.

а) Чтобы найти частное и остаток от деления 138 на 7, мы должны найти целые числа $q$ (частное) и $r$ (остаток), для которых выполняется равенство $a = b \cdot q + r$, где $a$ – делимое (138), $b$ – делитель (7), и остаток $r$ удовлетворяет условию $0 \le r < |b|$. В нашем случае $138 = 7 \cdot q + r$ и $0 \le r < 7$.
Выполним деление числа 138 на 7.
$138 \div 7 = 19$ (неполное частное), так как $7 \cdot 19 = 133$.
Теперь найдем остаток. Остаток – это разница между делимым и произведением делителя на неполное частное.
$r = 138 - 7 \cdot 19 = 138 - 133 = 5$.
Остаток $r=5$ удовлетворяет условию $0 \le 5 < 7$.
Проверка: $7 \cdot 19 + 5 = 133 + 5 = 138$.
Ответ: частное 19, остаток 5.

б) При делении отрицательного числа -16 на 3, мы ищем целые числа $q$ и $r$, для которых выполняется равенство $-16 = 3 \cdot q + r$, где остаток $r$ должен быть неотрицательным и меньше делителя: $0 \le r < 3$.
Нам нужно найти такое целое число $q$, чтобы произведение $3 \cdot q$ было меньше или равно -16.
Если мы возьмем $q = -5$, то $3 \cdot (-5) = -15$, что больше, чем -16.
Если мы возьмем $q = -6$, то $3 \cdot (-6) = -18$, что меньше, чем -16. Этот вариант подходит.
Теперь найдем остаток:
$r = -16 - (3 \cdot (-6)) = -16 - (-18) = -16 + 18 = 2$.
Остаток $r=2$ удовлетворяет условию $0 \le 2 < 3$.
Проверка: $3 \cdot (-6) + 2 = -18 + 2 = -16$.
Ответ: частное -6, остаток 2.

в) При делении -4 на 5, мы ищем целые числа $q$ и $r$, для которых выполняется равенство $-4 = 5 \cdot q + r$ при условии $0 \le r < 5$.
Найдем такое целое число $q$, чтобы произведение $5 \cdot q$ было меньше или равно -4.
Если мы возьмем $q = 0$, то $5 \cdot 0 = 0$, что больше, чем -4.
Если мы возьмем $q = -1$, то $5 \cdot (-1) = -5$, что меньше, чем -4. Этот вариант подходит.
Теперь найдем остаток:
$r = -4 - (5 \cdot (-1)) = -4 - (-5) = -4 + 5 = 1$.
Остаток $r=1$ удовлетворяет условию $0 \le 1 < 5$.
Проверка: $5 \cdot (-1) + 1 = -5 + 1 = -4$.
Ответ: частное -1, остаток 1.

723. Найдите наибольшее целое отрицательное число, которое при делении на 11 даёт остаток 1.

Пусть искомое число — это $x$. Согласно условию задачи, $x$ является целым и отрицательным числом.

Тот факт, что при делении числа $x$ на 11 в остатке получается 1, можно записать в виде уравнения на основе определения деления с остатком: $x = 11 \cdot q + 1$ где $q$ — целое число (частное), а 1 — остаток.

Поскольку $x$ должно быть отрицательным, то справедливо неравенство: $x < 0$

Заменим $x$ в неравенстве его выражением через $q$: $11q + 1 < 0$

Решим это неравенство относительно $q$: $11q < -1$ $q < -\frac{1}{11}$

Мы ищем наибольшее значение $x$. Поскольку $x = 11q + 1$, значение $x$ будет наибольшим при наибольшем возможном целочисленном значении $q$. Наибольшим целым числом $q$, которое меньше чем $-\frac{1}{11}$, является $q = -1$.

Теперь найдём искомое число $x$, подставив $q = -1$ в исходное уравнение: $x = 11 \cdot (-1) + 1 = -11 + 1 = -10$

Это число является целым и отрицательным. При делении на 11 оно даёт в остатке 1 ($-10 = 11 \cdot (-1) + 1$). Любое другое целое $q$, удовлетворяющее условию ($q = -2, -3, \dots$), даст меньшее (более отрицательное) значение $x$. Таким образом, -10 — это искомое число.

Ответ: -10