Страница 149 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

697. Решите уравнение:

а) $(3x - 1)(5x + 4) - 15x^2 = 17$;

б) $(1 - 2x)(1 - 3x) = (6x - 1)x - 1$;

в) $12 - x(x - 3) = (6 - x)(x + 2)$;

г) $(x + 4)(x + 1) = x - (x - 2)(2 - x)$.

а) $(3x - 1)(5x + 4) - 15x^2 = 17$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, перемножив многочлены:

$(3x \cdot 5x) + (3x \cdot 4) + (-1 \cdot 5x) + (-1 \cdot 4) - 15x^2 = 17$

$15x^2 + 12x - 5x - 4 - 15x^2 = 17$

Теперь приведем подобные слагаемые. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$(15x^2 - 15x^2) + (12x - 5x) - 4 = 17$

$7x - 4 = 17$

Перенесем число $-4$ в правую часть уравнения, изменив его знак:

$7x = 17 + 4$

$7x = 21$

Найдем $x$, разделив обе части на 7:

$x = \frac{21}{7}$

$x = 3$

Ответ: 3

б) $(1 - 2x)(1 - 3x) = (6x - 1)x - 1$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части перемножим многочлены, в правой — умножим многочлен на одночлен:

$1 \cdot 1 + 1 \cdot (-3x) - 2x \cdot 1 - 2x \cdot (-3x) = 6x \cdot x - 1 \cdot x - 1$

$1 - 3x - 2x + 6x^2 = 6x^2 - x - 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$6x^2 - 5x + 1 = 6x^2 - x - 1$

Перенесем все слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую. Члены $6x^2$ в обеих частях взаимно уничтожаются.

$1 + 1 = -x + 5x$

$2 = 4x$

Найдем $x$, разделив обе части на 4:

$x = \frac{2}{4}$

$x = 0.5$

Ответ: 0,5

в) $12 - x(x - 3) = (6 - x)(x + 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$12 - (x \cdot x - x \cdot 3) = (6 \cdot x + 6 \cdot 2 - x \cdot x - x \cdot 2)$

$12 - (x^2 - 3x) = 6x + 12 - x^2 - 2x$

$12 - x^2 + 3x = -x^2 + 4x + 12$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, например, в левую:

$12 - x^2 + 3x - (-x^2 + 4x + 12) = 0$

$12 - x^2 + 3x + x^2 - 4x - 12 = 0$

Приведем подобные слагаемые. Члены $-x^2$ и $x^2$, а также $12$ и $-12$ взаимно уничтожаются:

$(-x^2 + x^2) + (3x - 4x) + (12 - 12) = 0$

$-x = 0$

$x = 0$

Ответ: 0

г) $(x + 4)(x + 1) = x - (x - 2)(2 - x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. Начнем с левой:

$x \cdot x + x \cdot 1 + 4 \cdot x + 4 \cdot 1 = x^2 + 5x + 4$

Теперь раскроем скобки в правой части:

$x - (x \cdot 2 + x \cdot (-x) - 2 \cdot 2 - 2 \cdot (-x)) = x - (2x - x^2 - 4 + 2x)$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$x - (-x^2 + 4x - 4)$

Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:

$x + x^2 - 4x + 4 = x^2 - 3x + 4$

Теперь приравняем полученные выражения для левой и правой частей:

$x^2 + 5x + 4 = x^2 - 3x + 4$

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую. Члены $x^2$ и $4$ в обеих частях взаимно уничтожаются.

$5x = -3x$

Перенесем $-3x$ в левую часть:

$5x + 3x = 0$

$8x = 0$

$x = 0$

Ответ: 0

700. Найдите три последовательных натуральных числа, если известно, что квадрат меньшего из них на 65 меньше произведения двух остальных.

Пусть искомые три последовательных натуральных числа равны $n$, $n+1$ и $n+2$. По условию, это натуральные числа, значит $n \ge 1$.

Наименьшее из этих чисел — это $n$. Квадрат меньшего числа равен $n^2$.

Два остальных числа — это $n+1$ и $n+2$. Их произведение равно $(n+1)(n+2)$.

По условию задачи, квадрат меньшего из чисел на 65 меньше произведения двух остальных. Составим уравнение на основе этого условия:

$n^2 = (n+1)(n+2) - 65$

Для решения уравнения раскроем скобки в правой части:

$(n+1)(n+2) = n \cdot n + n \cdot 2 + 1 \cdot n + 1 \cdot 2 = n^2 + 3n + 2$

Подставим полученное выражение обратно в уравнение:

$n^2 = n^2 + 3n + 2 - 65$

Упростим уравнение:

$n^2 = n^2 + 3n - 63$

Вычтем $n^2$ из обеих частей уравнения:

$0 = 3n - 63$

Перенесем 63 в левую часть, поменяв знак:

$63 = 3n$

Теперь найдем $n$, разделив обе части на 3:

$n = \frac{63}{3}$

$n = 21$

Мы нашли наименьшее число, оно равно 21. Это натуральное число, что соответствует условию. Теперь найдем два следующих за ним числа:

Второе число: $n + 1 = 21 + 1 = 22$.

Третье число: $n + 2 = 21 + 2 = 23$.

Итак, искомые числа: 21, 22, 23.

Проверим, выполняется ли условие задачи. Квадрат меньшего числа: $21^2 = 441$. Произведение двух остальных: $22 \times 23 = 506$. Разница между ними: $506 - 441 = 65$. Условие выполняется.

Ответ: 21, 22, 23.

703. Сторона квадрата на 3 см меньше одной из сторон прямоугольника и на 2 см больше другой его стороны. Найдите сторону квадрата, если известно, что площадь квадрата на $30 \text{ см}^2$ меньше площади прямоугольника.

Пусть $x$ см — длина стороны квадрата. Согласно условию задачи, одна из сторон прямоугольника на 3 см больше стороны квадрата, следовательно, её длина составляет $(x + 3)$ см. Другая сторона прямоугольника на 2 см меньше стороны квадрата, следовательно, её длина составляет $(x - 2)$ см.

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S_{квадрата} = x^2$. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: $S_{прямоугольника} = (x + 3)(x - 2)$.

По условию, площадь квадрата на $30 \text{ см}^2$ меньше площади прямоугольника. Это можно записать в виде уравнения:
$S_{прямоугольника} - S_{квадрата} = 30$

Подставим выражения для площадей в уравнение и решим его:
$(x + 3)(x - 2) - x^2 = 30$
Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов:
$x^2 + 3x - 2x - 6 - x^2 = 30$
Приведём подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (3x - 2x) - 6 = 30$
$x - 6 = 30$
Перенесём $-6$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$x = 30 + 6$
$x = 36$

Таким образом, сторона квадрата равна 36 см.

Ответ: 36 см.

8. Найдите корень уравнения.

а) $5 + x^2 = (x + 1)(x + 6);$

б) $2x(x - 8) = (x + 1)(2x - 3);$

в) $(3x - 2)(x + 4) - 3(x + 5)(x - 1) = 0;$

г) $x^2 + x(6 - 2x) = (x - 1)(2 - x) - 2.$

a) $5 + x^2 = (x + 1)(x + 6)$
Сначала раскроем скобки в правой части уравнения, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй скобки:
$(x + 1)(x + 6) = x \cdot x + x \cdot 6 + 1 \cdot x + 1 \cdot 6 = x^2 + 6x + x + 6 = x^2 + 7x + 6$
Теперь подставим это выражение обратно в уравнение:
$5 + x^2 = x^2 + 7x + 6$
Мы видим, что член $x^2$ присутствует в обеих частях уравнения. Вычтем его из обеих частей:
$5 = 7x + 6$
Теперь у нас есть простое линейное уравнение. Перенесем 6 в левую часть, изменив знак:
$5 - 6 = 7x$
$-1 = 7x$
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 7:
$x = -1/7$
Ответ: $-1/7$.

б) $2x(x - 8) = (x + 1)(2x - 3)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения.
Левая часть: $2x \cdot x - 2x \cdot 8 = 2x^2 - 16x$
Правая часть: $x \cdot 2x - x \cdot 3 + 1 \cdot 2x - 1 \cdot 3 = 2x^2 - 3x + 2x - 3 = 2x^2 - x - 3$
Теперь уравнение выглядит так:
$2x^2 - 16x = 2x^2 - x - 3$
Вычтем $2x^2$ из обеих частей уравнения:
$-16x = -x - 3$
Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а числа оставим в правой:
$-16x + x = -3$
$-15x = -3$
Разделим обе части на -15:
$x = \frac{-3}{-15} = \frac{1}{5}$
Ответ: $1/5$.

в) $(3x - 2)(x + 4) - 3(x + 5)(x - 1) = 0$
Сначала раскроем скобки в каждом произведении.
Первое произведение: $(3x - 2)(x + 4) = 3x^2 + 12x - 2x - 8 = 3x^2 + 10x - 8$
Второе произведение: $(x + 5)(x - 1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5$
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$(3x^2 + 10x - 8) - 3(x^2 + 4x - 5) = 0$
Теперь раскроем вторые скобки, умножив их содержимое на -3:
$3x^2 + 10x - 8 - 3x^2 - 12x + 15 = 0$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(3x^2 - 3x^2) + (10x - 12x) + (-8 + 15) = 0$
$0 - 2x + 7 = 0$
$-2x + 7 = 0$
Перенесем 7 в правую часть:
$-2x = -7$
Разделим обе части на -2:
$x = \frac{-7}{-2} = \frac{7}{2} = 3.5$
Ответ: $3.5$.

г) $x^2 + x(6 - 2x) = (x - 1)(2 - x) - 2$
Упростим обе части уравнения, раскрыв скобки.
Левая часть: $x^2 + x \cdot 6 - x \cdot 2x = x^2 + 6x - 2x^2 = -x^2 + 6x$
Правая часть: $(x \cdot 2 - x \cdot x - 1 \cdot 2 + 1 \cdot x) - 2 = (2x - x^2 - 2 + x) - 2 = (-x^2 + 3x - 2) - 2 = -x^2 + 3x - 4$
Теперь приравняем упрощенные части:
$-x^2 + 6x = -x^2 + 3x - 4$
Прибавим $x^2$ к обеим частям, чтобы избавиться от квадратичного члена:
$6x = 3x - 4$
Перенесем $3x$ в левую часть:
$6x - 3x = -4$
$3x = -4$
Разделим обе части на 3:
$x = -4/3$
Ответ: $-4/3$.

701. Три последовательных нечётных числа таковы, что если из произведения двух больших чисел вычесть произведение двух меньших, то получится 76. Найдите эти числа.

Обозначим три последовательных нечётных числа. Пусть наименьшее из них равно $x$. Так как числа являются последовательными нечётными, каждое следующее число на 2 больше предыдущего. Тогда три числа можно представить в виде:

• Первое число: $x$
• Второе число: $x + 2$
• Третье число: $x + 4$

По условию задачи, разность между произведением двух больших чисел и произведением двух меньших чисел равна 76.

Произведение двух больших чисел — это $(x + 2)(x + 4)$. Произведение двух меньших чисел — это $x(x + 2)$.

Составим и решим уравнение: $(x + 2)(x + 4) - x(x + 2) = 76$

Раскроем скобки. Сначала раскроем произведение $(x + 2)(x + 4)$: $(x + 2)(x + 4) = x^2 + 4x + 2x + 8 = x^2 + 6x + 8$

Теперь раскроем произведение $x(x + 2)$: $x(x + 2) = x^2 + 2x$

Подставим полученные выражения обратно в уравнение: $(x^2 + 6x + 8) - (x^2 + 2x) = 76$

Упростим левую часть уравнения: $x^2 + 6x + 8 - x^2 - 2x = 76$ $(x^2 - x^2) + (6x - 2x) + 8 = 76$ $4x + 8 = 76$

Теперь решим полученное линейное уравнение: $4x = 76 - 8$ $4x = 68$ $x = \frac{68}{4}$ $x = 17$

Мы нашли наименьшее число, оно равно 17. Теперь найдем два других числа: Второе число: $x + 2 = 17 + 2 = 19$ Третье число: $x + 4 = 17 + 4 = 21$

Таким образом, искомые числа — это 17, 19 и 21.

Проверка: Произведение двух больших чисел: $19 \cdot 21 = 399$. Произведение двух меньших чисел: $17 \cdot 19 = 323$. Разность: $399 - 323 = 76$. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 17, 19, 21.

704. Для выполнения планового задания к определённому сроку бригада рабочих должна была изготовлять ежедневно 54 детали. Перевыполняя план на 6 деталей в день, бригада уже за один день до срока не только выполнила плановое задание, но и изготовила 18 деталей сверх плана. Сколько дней работала бригада?

Пусть $x$ — это количество дней, которое было отведено на выполнение планового задания.

По плану бригада должна была изготавливать 54 детали в день. Следовательно, общее количество деталей, которое нужно было изготовить по плану, составляет $54x$.

Бригада перевыполняла план на 6 деталей в день, то есть фактическая производительность составляла: $54 + 6 = 60$ деталей в день.

Бригада работала на один день меньше запланированного срока, то есть фактическое время работы составило $x - 1$ дней. За это время они изготовили $60 \cdot (x - 1)$ деталей.

Из условия известно, что фактическое количество изготовленных деталей на 18 штук больше, чем плановое задание. На основе этого можно составить уравнение: $60 \cdot (x - 1) = 54x + 18$

Решим полученное уравнение, чтобы найти $x$: $60x - 60 = 54x + 18$ $60x - 54x = 18 + 60$ $6x = 78$ $x = \frac{78}{6}$ $x = 13$

Итак, плановый срок выполнения задания составлял 13 дней. Вопрос задачи — сколько дней работала бригада. Бригада работала на 1 день меньше планового срока: $13 - 1 = 12$ дней.

Проверка:
Плановое задание: $54 \text{ деталей/день} \times 13 \text{ дней} = 702 \text{ детали}$.
Фактически изготовлено: $(54+6) \text{ деталей/день} \times 12 \text{ дней} = 60 \times 12 = 720 \text{ деталей}$.
Разница: $720 - 702 = 18 \text{ деталей}$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 12 дней.

696. Пусть $a, b, c$ и $d$ — четыре последовательных нечётных числа.

Докажите, что разность $cd - ab$ кратна 16.

Пусть $a, b, c, d$ — четыре последовательных нечётных числа. Представим первое число $a$ в общем виде для нечётного числа: $a = 2k+1$, где $k$ — любое целое число.

Поскольку числа являются последовательными нечётными, каждое следующее число на 2 больше предыдущего. Тогда мы можем выразить все четыре числа через $k$:
$a = 2k + 1$
$b = a + 2 = (2k + 1) + 2 = 2k + 3$
$c = b + 2 = (2k + 3) + 2 = 2k + 5$
$d = c + 2 = (2k + 5) + 2 = 2k + 7$

Теперь необходимо доказать, что разность $cd - ab$ кратна 16. Подставим в это выражение наши представления чисел:
$cd - ab = (2k + 5)(2k + 7) - (2k + 1)(2k + 3)$

Раскроем скобки для каждого произведения.
Сначала для $cd$:
$(2k + 5)(2k + 7) = 4k^2 + 14k + 10k + 35 = 4k^2 + 24k + 35$
Теперь для $ab$:
$(2k + 1)(2k + 3) = 4k^2 + 6k + 2k + 3 = 4k^2 + 8k + 3$

Вычислим разность полученных выражений:
$cd - ab = (4k^2 + 24k + 35) - (4k^2 + 8k + 3)$
$cd - ab = 4k^2 + 24k + 35 - 4k^2 - 8k - 3$
Приведем подобные члены:
$cd - ab = (4k^2 - 4k^2) + (24k - 8k) + (35 - 3)$
$cd - ab = 16k + 32$

В полученном выражении $16k + 32$ вынесем общий множитель 16 за скобки:
$16k + 32 = 16(k + 2)$

Так как $k$ — целое число, то и $k+2$ является целым числом. Произведение 16 на любое целое число всегда будет делиться на 16 без остатка. Следовательно, разность $cd - ab$ всегда кратна 16, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

699. Докажите, что:

a) при любом натуральном значении n значение выражения $n(n + 5) - (n - 3)(n + 2)$ кратно 6;

б) при любом натуральном значении n, большем 2, значение выражения $(n - 1)(n + 1) - (n - 7)(n - 5)$ кратно 12.

а) Чтобы доказать, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $n(n + 5) - (n - 3)(n + 2)$ кратно 6, необходимо упростить это выражение. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
Сначала раскроем скобки в каждом из двух произведений:
$n(n + 5) = n \cdot n + n \cdot 5 = n^2 + 5n$
$(n - 3)(n + 2) = n \cdot n + 2 \cdot n - 3 \cdot n - 3 \cdot 2 = n^2 + 2n - 3n - 6 = n^2 - n - 6$
Теперь подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание:
$(n^2 + 5n) - (n^2 - n - 6) = n^2 + 5n - n^2 + n + 6$
Приведем подобные слагаемые:
$(n^2 - n^2) + (5n + n) + 6 = 6n + 6$
Вынесем общий множитель 6 за скобки:
$6(n + 1)$
Поскольку $n$ по условию является натуральным числом (то есть $n \ge 1$), то $n+1$ также является натуральным числом ($n+1 \ge 2$). Произведение числа 6 на любое натуральное число всегда делится на 6. Таким образом, исходное выражение кратно 6 при любом натуральном $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Чтобы доказать, что при любом натуральном значении $n$, большем 2, значение выражения $(n - 1)(n + 1) - (n - 7)(n - 5)$ кратно 12, необходимо упростить это выражение.
Первое произведение $(n - 1)(n + 1)$ можно раскрыть по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(n - 1)(n + 1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$
Раскроем скобки во втором произведении:
$(n - 7)(n - 5) = n \cdot n - 5 \cdot n - 7 \cdot n + (-7) \cdot (-5) = n^2 - 5n - 7n + 35 = n^2 - 12n + 35$
Подставим полученные выражения в исходное:
$(n^2 - 1) - (n^2 - 12n + 35) = n^2 - 1 - n^2 + 12n - 35$
Приведем подобные слагаемые:
$(n^2 - n^2) + 12n + (-1 - 35) = 12n - 36$
Вынесем общий множитель 12 за скобки:
$12(n - 3)$
По условию $n$ — натуральное число и $n > 2$, то есть $n \ge 3$. Это означает, что множитель $(n - 3)$ является целым неотрицательным числом ($0, 1, 2, \dots$). Произведение числа 12 на любое целое число всегда кратно 12. Следовательно, исходное выражение кратно 12 при любом натуральном $n > 2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

702. Периметр прямоугольника равен 70 см. Если его длину уменьшить на 5 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь увеличится на 50 $ \text{см}^2 $. Найдите длину и ширину первоначального прямоугольника.

Пусть $l$ см – первоначальная длина прямоугольника, а $w$ см – его первоначальная ширина.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(l + w)$. Согласно условию, периметр равен 70 см. Составим первое уравнение:
$2(l + w) = 70$
Разделив обе части уравнения на 2, получим:
$l + w = 35$

Площадь первоначального прямоугольника равна $S_1 = l \cdot w$.

Если длину уменьшить на 5 см, она станет $(l - 5)$ см. Если ширину увеличить на 5 см, она станет $(w + 5)$ см. Новая площадь прямоугольника будет равна $S_2 = (l - 5)(w + 5)$.

По условию, новая площадь на 50 см² больше первоначальной, то есть $S_2 = S_1 + 50$. Составим второе уравнение:
$(l - 5)(w + 5) = lw + 50$
Раскроем скобки в левой части:
$lw + 5l - 5w - 25 = lw + 50$
Вычтем $lw$ из обеих частей уравнения и перенесем постоянные члены в правую часть:
$5l - 5w = 50 + 25$
$5l - 5w = 75$
Разделим обе части на 5:
$l - w = 15$

В результате мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} l + w = 35 \\ l - w = 15 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы найти $l$:
$(l + w) + (l - w) = 35 + 15$
$2l = 50$
$l = \frac{50}{2}$
$l = 25$

Теперь подставим найденное значение $l=25$ в первое уравнение системы ($l + w = 35$), чтобы найти $w$:
$25 + w = 35$
$w = 35 - 25$
$w = 10$

Таким образом, первоначальная длина прямоугольника равна 25 см, а его первоначальная ширина — 10 см.

Ответ: длина 25 см, ширина 10 см.

705. Тракторная бригада должна была по плану вспахивать ежедневно 112 га. Перевыполняя план на 8 га в день, бригада уже за день до срока закончила пахоту. Сколько гектаров нужно было вспахать бригаде?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество дней, за которое бригада должна была вспахать поле по плану.

Согласно плану, производительность бригады составляет 112 га в день. Тогда общая площадь поля $S$, которую нужно было вспахать, может быть выражена как произведение плановой производительности на плановое количество дней:
$S = 112 \cdot x$

Фактически бригада перевыполняла план на 8 га в день, то есть её реальная производительность была:
$112 + 8 = 120$ га в день.

Бригада закончила работу на день раньше срока, то есть фактическое время работы составило $x-1$ дней.
Таким образом, общая площадь поля $S$ также может быть выражена через фактическую производительность и фактическое время:
$S = 120 \cdot (x - 1)$

Поскольку в обоих случаях речь идет об одной и той же площади поля, мы можем приравнять два полученных выражения для $S$:
$112x = 120(x - 1)$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:
$112x = 120x - 120$
$120x - 112x = 120$
$8x = 120$
$x = \frac{120}{8}$
$x = 15$

Таким образом, плановое время на выполнение работы составляло 15 дней.

Чтобы найти, сколько гектаров нужно было вспахать бригаде, подставим значение $x$ в любую из формул для $S$. Воспользуемся плановыми показателями:
$S = 112 \cdot 15 = 1680$ га.

Для проверки можно использовать фактические показатели:
Фактическое время работы: $x - 1 = 15 - 1 = 14$ дней.
$S = 120 \cdot 14 = 1680$ га.
Результаты совпадают.

Ответ: 1680 гектаров.