Страница 143 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

659. Представьте в виде произведения:

а) $14x + 21y$;

б) $15a + 10b$;

в) $8ab - 6ac$;

г) $9xa + 9xb$;

д) $6ab - 3a$;

е) $4x - 12x^2$;

ж) $m^4 - m^2$;

з) $c^3 + c^4$;

и) $7x - 14x^3$;

к) $16y^3 + 12y^2$;

л) $18ab^3 - 9b^4$;

м) $4x^3y^2 - 6x^2y^3$.

а) В выражении $14x + 21y$ найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 14 и 21. НОД(14, 21) = 7. Общих переменных множителей у слагаемых нет. Выносим общий множитель 7 за скобки.
$14x + 21y = 7 \cdot 2x + 7 \cdot 3y = 7(2x + 3y)$.
Ответ: $7(2x + 3y)$.

б) В выражении $15a + 10b$ найдем НОД для коэффициентов 15 и 10. НОД(15, 10) = 5. Общих переменных у слагаемых нет. Выносим 5 за скобки.
$15a + 10b = 5 \cdot 3a + 5 \cdot 2b = 5(3a + 2b)$.
Ответ: $5(3a + 2b)$.

в) В выражении $8ab - 6ac$ найдем общий множитель. НОД коэффициентов 8 и 6 равен 2. Общий переменный множитель — это $a$. Таким образом, общий множитель для всего выражения — $2a$. Выносим его за скобки.
$8ab - 6ac = 2a \cdot 4b - 2a \cdot 3c = 2a(4b - 3c)$.
Ответ: $2a(4b - 3c)$.

г) В выражении $9xa + 9xb$ общий числовой коэффициент равен 9, а общий переменный множитель — $x$. Выносим за скобки общий множитель $9x$.
$9xa + 9xb = 9x(a + b)$.
Ответ: $9x(a + b)$.

д) В выражении $6ab - 3a$ НОД коэффициентов 6 и 3 равен 3. Общий переменный множитель — $a$. Выносим за скобки $3a$.
$6ab - 3a = 3a \cdot 2b - 3a \cdot 1 = 3a(2b - 1)$.
Ответ: $3a(2b - 1)$.

е) В выражении $4x - 12x^2$ НОД коэффициентов 4 и 12 равен 4. Общий переменный множитель — $x$ (выбираем наименьшую степень). Выносим за скобки $4x$.
$4x - 12x^2 = 4x \cdot 1 - 4x \cdot 3x = 4x(1 - 3x)$.
Ответ: $4x(1 - 3x)$.

ж) В выражении $m^4 - m^2$ общим множителем является $m$ в наименьшей степени, то есть $m^2$. Выносим $m^2$ за скобки.
$m^4 - m^2 = m^2(m^2 - 1)$.
Выражение в скобках $m^2-1$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$m^2(m^2 - 1) = m^2(m - 1)(m + 1)$.
Ответ: $m^2(m-1)(m+1)$.

з) В выражении $c^3 + c^4$ общим множителем является $c$ в наименьшей степени, то есть $c^3$. Выносим $c^3$ за скобки.
$c^3 + c^4 = c^3 \cdot 1 + c^3 \cdot c = c^3(1 + c)$.
Ответ: $c^3(1 + c)$.

и) В выражении $7x - 14x^3$ НОД коэффициентов 7 и 14 равен 7. Общий переменный множитель — $x$. Выносим за скобки $7x$.
$7x - 14x^3 = 7x \cdot 1 - 7x \cdot 2x^2 = 7x(1 - 2x^2)$.
Ответ: $7x(1 - 2x^2)$.

к) В выражении $16y^3 + 12y^2$ НОД коэффициентов 16 и 12 равен 4. Общий переменный множитель — $y^2$. Выносим за скобки $4y^2$.
$16y^3 + 12y^2 = 4y^2 \cdot 4y + 4y^2 \cdot 3 = 4y^2(4y + 3)$.
Ответ: $4y^2(4y + 3)$.

л) В выражении $18ab^3 - 9b^4$ НОД коэффициентов 18 и 9 равен 9. Общий переменный множитель — $b^3$. Выносим за скобки $9b^3$.
$18ab^3 - 9b^4 = 9b^3 \cdot 2a - 9b^3 \cdot b = 9b^3(2a - b)$.
Ответ: $9b^3(2a - b)$.

м) В выражении $4x^3y^2 - 6x^2y^3$ НОД коэффициентов 4 и 6 равен 2. Для переменных находим общие множители в наименьших степенях: $x^2$ и $y^2$. Общий множитель для всего выражения — $2x^2y^2$. Выносим его за скобки.
$4x^3y^2 - 6x^2y^3 = 2x^2y^2 \cdot 2x - 2x^2y^2 \cdot 3y = 2x^2y^2(2x - 3y)$.
Ответ: $2x^2y^2(2x - 3y)$.

662. Найдите корни уравнения:

а) $5x^2 + 3x = 0$;

б) $x^2 - 11x = 0$;

в) $6x^2 - 3.6x = 0$;

г) $0.3x^2 - 3x = 0$;

д) $5x^2 - 0.8x = 0$;

е) $7x^2 - 0.28x = 0$.

Все представленные уравнения являются неполными квадратными уравнениями вида $ax^2 + bx = 0$, где свободный член $c=0$. Для их решения выносим общий множитель $x$ за скобки. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

а) Решим уравнение $5x^2 + 3x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x + 3) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $x_1 = 0$

2) $5x + 3 = 0$

Решим второе уравнение:

$5x = -3$

$x_2 = -3/5 = -0,6$

Ответ: 0; -0,6.

б) Решим уравнение $x^2 - 11x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 11) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x_1 = 0$

2) $x - 11 = 0$

Из второго уравнения находим второй корень:

$x_2 = 11$

Ответ: 0; 11.

в) Решим уравнение $6x^2 - 3,6x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(6x - 3,6) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $x_1 = 0$

2) $6x - 3,6 = 0$

Решим второе уравнение, чтобы найти второй корень:

$6x = 3,6$

$x_2 = 3,6 / 6 = 0,6$

Ответ: 0; 0,6.

г) Решим уравнение $0,3x^2 - 3x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(0,3x - 3) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x_1 = 0$

2) $0,3x - 3 = 0$

Решим второе уравнение:

$0,3x = 3$

$x_2 = 3 / 0,3 = 10$

Ответ: 0; 10.

д) Решим уравнение $5x^2 - 0,8x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x - 0,8) = 0$

Уравнение распадается на два более простых:

1) $x_1 = 0$

2) $5x - 0,8 = 0$

Решим второе уравнение для нахождения второго корня:

$5x = 0,8$

$x_2 = 0,8 / 5 = 0,16$

Ответ: 0; 0,16.

е) Решим уравнение $7x^2 - 0,28x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(7x - 0,28) = 0$

Произведение равно нулю, значит, один из множителей равен нулю:

1) $x_1 = 0$

2) $7x - 0,28 = 0$

Решим второе уравнение:

$7x = 0,28$

$x_2 = 0,28 / 7 = 0,04$

Ответ: 0; 0,04.

665. (Для работы в парах.) Докажите, что:

а) $7^8 - 7^7 + 7^6$ делится на 43;

б) $2^{13} - 2^{10} - 2^9$ делится на 13;

в) $27^4 - 9^5 + 3^9$ делится на 25;

г) $16^4 - 2^{13} - 4^5$ делится на 110.

1) Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто — задания б), г), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.

3) Обсудите, какие свойства делимости использованы при выполнении задания.

а)

Чтобы доказать, что выражение $7^8 - 7^7 + 7^6$ делится на 43, вынесем за скобки общий множитель. Наименьшая степень семерки в выражении – это 6, поэтому выносим $7^6$:

$7^8 - 7^7 + 7^6 = 7^6(7^{8-6} - 7^{7-6} + 7^{6-6}) = 7^6(7^2 - 7^1 + 7^0)$

Вычислим значение выражения в скобках, помня, что любое число в нулевой степени равно 1:

$7^2 - 7^1 + 7^0 = 49 - 7 + 1 = 43$

Таким образом, мы преобразовали исходное выражение к виду:

$7^6 \cdot 43$

Поскольку один из множителей этого произведения равен 43, то и все произведение делится на 43 без остатка.

Ответ: Доказано.

б)

Чтобы доказать, что выражение $2^{13} - 2^{10} - 2^9$ делится на 13, вынесем за скобки общий множитель. Наименьшая степень двойки в выражении – это 9, поэтому выносим $2^9$:

$2^{13} - 2^{10} - 2^9 = 2^9(2^{13-9} - 2^{10-9} - 2^{9-9}) = 2^9(2^4 - 2^1 - 2^0)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$2^4 - 2^1 - 2^0 = 16 - 2 - 1 = 13$

Таким образом, мы преобразовали исходное выражение к виду:

$2^9 \cdot 13$

Поскольку один из множителей этого произведения равен 13, то и все произведение делится на 13 без остатка.

Ответ: Доказано.

в)

Чтобы доказать, что выражение $27^4 - 9^5 + 3^9$ делится на 25, приведем все степени к одному основанию – 3. Мы знаем, что $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$(3^3)^4 - (3^2)^5 + 3^9 = 3^{3 \cdot 4} - 3^{2 \cdot 5} + 3^9 = 3^{12} - 3^{10} + 3^9$

Теперь вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $3^9$:

$3^{12} - 3^{10} + 3^9 = 3^9(3^{12-9} - 3^{10-9} + 3^{9-9}) = 3^9(3^3 - 3^1 + 3^0)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$3^3 - 3^1 + 3^0 = 27 - 3 + 1 = 25$

Таким образом, мы преобразовали исходное выражение к виду:

$3^9 \cdot 25$

Поскольку один из множителей этого произведения равен 25, то и все произведение делится на 25 без остатка.

Ответ: Доказано.

г)

Чтобы доказать, что выражение $16^4 - 2^{13} - 4^5$ делится на 110, приведем все степени к одному основанию – 2. Мы знаем, что $16 = 2^4$ и $4 = 2^2$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$(2^4)^4 - 2^{13} - (2^2)^5 = 2^{4 \cdot 4} - 2^{13} - 2^{2 \cdot 5} = 2^{16} - 2^{13} - 2^{10}$

Теперь вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $2^{10}$:

$2^{16} - 2^{13} - 2^{10} = 2^{10}(2^{16-10} - 2^{13-10} - 2^{10-10}) = 2^{10}(2^6 - 2^3 - 2^0)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$2^6 - 2^3 - 2^0 = 64 - 8 - 1 = 55$

Таким образом, мы преобразовали исходное выражение к виду:

$2^{10} \cdot 55$

Нам нужно доказать делимость на 110. Разложим 110 на множители: $110 = 11 \cdot 10 = 11 \cdot 5 \cdot 2$.

Преобразуем полученное выражение $2^{10} \cdot 55$ так, чтобы выделить множитель 110:

$2^{10} \cdot 55 = 2^9 \cdot 2 \cdot 55 = 2^9 \cdot (2 \cdot 55) = 2^9 \cdot 110$

Поскольку один из множителей этого произведения равен 110, то и все произведение делится на 110 без остатка.

Ответ: Доказано.

Обсуждение использованных свойств

При выполнении этих заданий были использованы следующие математические свойства и правила:

1. Свойства степеней: правило возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$) использовалось для приведения всех членов выражений к одному основанию.

2. Дистрибутивное свойство (вынесение общего множителя за скобки): $ac \pm bc = (a \pm b)c$. Это основной прием, который позволил преобразовать сумму или разность в произведение.

3. Свойство делимости произведения: если один из множителей произведения делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число. Это свойство является основой для вывода в каждом из пунктов.

660. Найдите значение выражения:

а) $3,28x - x^2$ при $x = 2,28$;

б) $a^2y + a^3$ при $a = -1,5$ и $y = -8,5$;

в) $ay^2 - y^3$ при $a = 8,8$ и $y = -1,2$;

г) $-mb - m^2$ при $m = 3,48$ и $b = 96,52$.

а) Чтобы найти значение выражения $3,28x - x^2$ при $x = 2,28$, для удобства вычислений вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$3,28x - x^2 = x(3,28 - x)$
Теперь подставим в полученное выражение значение $x = 2,28$:
$2,28 \cdot (3,28 - 2,28) = 2,28 \cdot 1 = 2,28$
Ответ: 2,28.

б) Чтобы найти значение выражения $a^2y + a^3$ при $a = -1,5$ и $y = -8,5$, вынесем общий множитель $a^2$ за скобки:
$a^2y + a^3 = a^2(y + a)$
Теперь подставим в полученное выражение значения $a = -1,5$ и $y = -8,5$:
$(-1,5)^2 \cdot (-8,5 + (-1,5)) = 2,25 \cdot (-8,5 - 1,5) = 2,25 \cdot (-10) = -22,5$
Ответ: -22,5.

в) Чтобы найти значение выражения $ay^2 - y^3$ при $a = 8,8$ и $y = -1,2$, вынесем общий множитель $y^2$ за скобки:
$ay^2 - y^3 = y^2(a - y)$
Теперь подставим в полученное выражение значения $a = 8,8$ и $y = -1,2$:
$(-1,2)^2 \cdot (8,8 - (-1,2)) = 1,44 \cdot (8,8 + 1,2) = 1,44 \cdot 10 = 14,4$
Ответ: 14,4.

г) Чтобы найти значение выражения $-mb - m^2$ при $m = 3,48$ и $b = 96,52$, вынесем общий множитель $-m$ за скобки:
$-mb - m^2 = -m(b + m)$
Теперь подставим в полученное выражение значения $m = 3,48$ и $b = 96,52$:
$-3,48 \cdot (96,52 + 3,48) = -3,48 \cdot 100 = -348$
Ответ: -348.

663. (Для работы в парах.) Докажите, что значение выражения:

а) $16^5 + 16^4$ кратно 17;

б) $38^9 - 38^8$ кратно 37;

в) $36^5 - 6^9$ кратно 30;

г) $5^{18} - 25^8$ кратно 120.

1) Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто — задания б), г), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий.

3) Предложите друг другу составить задание, аналогичное заданию б).

а) Чтобы доказать, что выражение $16^5 + 16^4$ кратно 17, вынесем за скобки общий множитель $16^4$.

$16^5 + 16^4 = 16^4 \cdot 16^1 + 16^4 \cdot 1 = 16^4(16 + 1) = 16^4 \cdot 17$.

Так как один из множителей в полученном произведении равен 17, то все выражение делится на 17 без остатка.

Ответ: Выражение $16^5 + 16^4$ кратно 17, что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что выражение $38^9 - 38^8$ кратно 37, вынесем за скобки общий множитель $38^8$.

$38^9 - 38^8 = 38^8 \cdot 38^1 - 38^8 \cdot 1 = 38^8(38 - 1) = 38^8 \cdot 37$.

Так как один из множителей в полученном произведении равен 37, то все выражение делится на 37 без остатка.

Ответ: Выражение $38^9 - 38^8$ кратно 37, что и требовалось доказать.

в) Чтобы доказать, что выражение $36^5 - 6^9$ кратно 30, представим число 36 как степень числа 6.

$36 = 6^2$.

Тогда выражение можно переписать в виде:

$(6^2)^5 - 6^9 = 6^{2 \cdot 5} - 6^9 = 6^{10} - 6^9$.

Теперь вынесем за скобки общий множитель $6^9$:

$6^{10} - 6^9 = 6^9(6 - 1) = 6^9 \cdot 5$.

Чтобы доказать кратность 30, представим 30 как $5 \cdot 6$.

$6^9 \cdot 5 = 6^8 \cdot 6 \cdot 5 = 6^8 \cdot (6 \cdot 5) = 6^8 \cdot 30$.

Так как один из множителей в полученном произведении равен 30, то все выражение делится на 30 без остатка.

Ответ: Выражение $36^5 - 6^9$ кратно 30, что и требовалось доказать.

г) Чтобы доказать, что выражение $5^{18} - 25^8$ кратно 120, представим число 25 как степень числа 5.

$25 = 5^2$.

Тогда выражение можно переписать в виде:

$5^{18} - (5^2)^8 = 5^{18} - 5^{2 \cdot 8} = 5^{18} - 5^{16}$.

Теперь вынесем за скобки общий множитель $5^{16}$:

$5^{18} - 5^{16} = 5^{16}(5^2 - 1) = 5^{16}(25 - 1) = 5^{16} \cdot 24$.

Чтобы доказать кратность 120, разложим 120 на множители: $120 = 5 \cdot 24$.

Преобразуем полученное выражение:

$5^{16} \cdot 24 = 5^{15} \cdot 5 \cdot 24 = 5^{15} \cdot (5 \cdot 24) = 5^{15} \cdot 120$.

Так как один из множителей в полученном произведении равен 120, то все выражение делится на 120 без остатка.

Ответ: Выражение $5^{18} - 25^8$ кратно 120, что и требовалось доказать.

658. Вынесите за скобки общий множитель:

а) $a^2 + a$;

б) $x^3 - x^2$;

в) $c^5 + c^7$;

г) $a^3 - a^7$;

д) $3m^2 + 9m^3$;

е) $9p^3 - 8p$;

ж) $4c^2 - 12c^4$;

з) $5x^5 - 15x^3$;

и) $-12y^4 - 16y$.

а) В выражении $a^2 + a$ оба слагаемых имеют общий множитель $a$. Вынесем его за скобки. Для этого каждый член многочлена разделим на $a$: $a^2 : a = a$ и $a : a = 1$. Таким образом, получаем $a(a+1)$.
Ответ: $a(a+1)$

б) В выражении $x^3 - x^2$ общим множителем является переменная $x$ в наименьшей из представленных степеней, то есть $x^2$. Вынесем $x^2$ за скобки. Разделим $x^3$ на $x^2$, получим $x$. Разделим $-x^2$ на $x^2$, получим $-1$. Таким образом, $x^3 - x^2 = x^2(x-1)$.
Ответ: $x^2(x-1)$

в) В выражении $c^5 + c^7$ общим множителем является переменная $c$ в наименьшей степени, то есть $c^5$. Вынесем $c^5$ за скобки. После деления каждого слагаемого на $c^5$ получим: $c^5 : c^5 = 1$ и $c^7 : c^5 = c^{7-5} = c^2$. В результате имеем $c^5(1+c^2)$.
Ответ: $c^5(1+c^2)$

г) В выражении $a^3 - a^7$ выносим за скобки общий множитель $a$ в наименьшей степени, то есть $a^3$. Делим $a^3$ на $a^3$, получаем $1$. Делим $-a^7$ на $a^3$, получаем $-a^{7-3} = -a^4$. Получаем выражение $a^3(1-a^4)$.
Ответ: $a^3(1-a^4)$

д) В выражении $3m^2 + 9m^3$ найдем общий множитель для числовых коэффициентов и для переменных. Наибольший общий делитель для 3 и 9 это 3. Общий множитель для $m^2$ и $m^3$ это $m^2$. Таким образом, общий множитель для всего выражения — $3m^2$. Выносим его: $3m^2 : (3m^2) = 1$ и $9m^3 : (3m^2) = 3m$. Получаем $3m^2(1+3m)$.
Ответ: $3m^2(1+3m)$

е) В выражении $9p^3 - 8p$ наибольший общий делитель для коэффициентов 9 и 8 равен 1. Общий множитель для переменных $p^3$ и $p$ — это $p$. Значит, за скобки можно вынести $p$. Делим $9p^3$ на $p$, получаем $9p^2$. Делим $-8p$ на $p$, получаем $-8$. В итоге: $p(9p^2-8)$.
Ответ: $p(9p^2-8)$

ж) В выражении $4c^2 - 12c^4$ общий множитель для коэффициентов 4 и 12 — это 4. Общий множитель для переменных $c^2$ и $c^4$ — это $c^2$. Общий множитель всего выражения — $4c^2$. Вынесем его за скобки: $4c^2 : (4c^2) = 1$ и $-12c^4 : (4c^2) = -3c^2$. Получаем $4c^2(1-3c^2)$.
Ответ: $4c^2(1-3c^2)$

з) В выражении $5x^5 - 15x^3$ наибольший общий делитель для 5 и 15 — это 5. Общий множитель для $x^5$ и $x^3$ — это $x^3$. Таким образом, общий множитель — $5x^3$. Выносим его за скобки: $5x^5 : (5x^3) = x^2$ и $-15x^3 : (5x^3) = -3$. Результат: $5x^3(x^2-3)$.
Ответ: $5x^3(x^2-3)$

и) В выражении $-12y^4 - 16y$ оба коэффициента отрицательны. Найдем наибольший общий делитель для 12 и 16, он равен 4. Удобно вынести за скобки $-4$. Общий множитель для переменных $y^4$ и $y$ — это $y$. Итак, общий множитель — $-4y$. Выносим его: $-12y^4 : (-4y) = 3y^3$ и $-16y : (-4y) = 4$. Получаем $-4y(3y^3+4)$.
Ответ: $-4y(3y^3+4)$

661. Решите уравнение:

а) $x^2 + 8x = 0;$

б) $5x^2 - x = 0;$

в) $6y^2 - 30y = 0;$

г) $3x^2 - 1.2x = 0;$

д) $6x^2 - 0.5x = 0;$

е) $\frac{1}{4}y^2 + y = 0;$

ж) $x - 10x^2 = 0;$

з) $6x - 0.2x^2 = 0;$

и) $y^2 + \frac{2}{3}y = 0.$

а) $x^2 + 8x = 0$
Данное уравнение является неполным квадратным уравнением. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 8) = 0$
Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы получаем два возможных случая:
1) $x_1 = 0$
2) $x + 8 = 0 \implies x_2 = -8$
Ответ: $0; -8$.

б) $5x^2 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(5x - 1) = 0$
Приравниваем каждый из множителей к нулю:
1) $x_1 = 0$
2) $5x - 1 = 0 \implies 5x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{5} = 0,2$
Ответ: $0; 0,2$.

в) $6y^2 - 30y = 0$
Вынесем общий множитель $6y$ за скобки:
$6y(y - 5) = 0$
Приравниваем каждый из множителей к нулю:
1) $6y = 0 \implies y_1 = 0$
2) $y - 5 = 0 \implies y_2 = 5$
Ответ: $0; 5$.

г) $3x^2 - 1,2x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(3x - 1,2) = 0$
Приравниваем каждый из множителей к нулю:
1) $x_1 = 0$
2) $3x - 1,2 = 0 \implies 3x = 1,2 \implies x_2 = \frac{1,2}{3} = 0,4$
Ответ: $0; 0,4$.

д) $6x^2 - 0,5x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(6x - 0,5) = 0$
Приравниваем каждый из множителей к нулю:
1) $x_1 = 0$
2) $6x - 0,5 = 0 \implies 6x = 0,5 \implies x_2 = \frac{0,5}{6} = \frac{1/2}{6} = \frac{1}{12}$
Ответ: $0; \frac{1}{12}$.

е) $\frac{1}{4}y^2 + y = 0$
Вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y(\frac{1}{4}y + 1) = 0$
Приравниваем каждый из множителей к нулю:
1) $y_1 = 0$
2) $\frac{1}{4}y + 1 = 0 \implies \frac{1}{4}y = -1 \implies y_2 = -4$
Ответ: $0; -4$.

ж) $x - 10x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(1 - 10x) = 0$
Приравниваем каждый из множителей к нулю:
1) $x_1 = 0$
2) $1 - 10x = 0 \implies 1 = 10x \implies x_2 = \frac{1}{10} = 0,1$
Ответ: $0; 0,1$.

з) $6x - 0,2x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки (для удобства можно также вынести числовой коэффициент, например, 0.2):
$0,2x(30 - x) = 0$
Приравниваем каждый из множителей к нулю:
1) $0,2x = 0 \implies x_1 = 0$
2) $30 - x = 0 \implies x_2 = 30$
Ответ: $0; 30$.

и) $y^2 + \frac{2}{3}y = 0$
Вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y(y + \frac{2}{3}) = 0$
Приравниваем каждый из множителей к нулю:
1) $y_1 = 0$
2) $y + \frac{2}{3} = 0 \implies y_2 = -\frac{2}{3}$
Ответ: $0; -\frac{2}{3}$.

664. Разложите на множители:

а) $x^5 + x^4 - x^3$;

б) $y^7 - y^5 - y^2$;

в) $a^4 + a^5 - a^8$;

г) $-b^{10} - b^{15} - b^{20}$.

а) Чтобы разложить на множители многочлен $x^5 + x^4 - x^3$, необходимо найти общий множитель для всех его членов. Наименьшая степень переменной $x$, входящей в каждый член, это $x^3$. Вынесем $x^3$ за скобки.

Представим каждый член многочлена в виде произведения, где один из множителей равен $x^3$:

$x^5 + x^4 - x^3 = x^3 \cdot x^2 + x^3 \cdot x - x^3 \cdot 1$

Теперь выносим общий множитель $x^3$:

$x^3(x^2 + x - 1)$

Ответ: $x^3(x^2 + x - 1)$

б) В многочлене $y^7 - y^5 - y^2$ наименьшая степень переменной $y$ равна 2. Следовательно, общим множителем является $y^2$. Вынесем его за скобки.

$y^7 - y^5 - y^2 = y^2 \cdot y^5 - y^2 \cdot y^3 - y^2 \cdot 1$

Выносим $y^2$ за скобки:

$y^2(y^5 - y^3 - 1)$

Ответ: $y^2(y^5 - y^3 - 1)$

в) Для многочлена $a^4 + a^5 - a^8$ общим множителем является член с наименьшей степенью переменной $a$, то есть $a^4$.

$a^4 + a^5 - a^8 = a^4 \cdot 1 + a^4 \cdot a - a^4 \cdot a^4$

Выносим $a^4$ за скобки:

$a^4(1 + a - a^4)$

Ответ: $a^4(1 + a - a^4)$

г) В выражении $-b^{10} - b^{15} - b^{20}$ все члены являются отрицательными. Общий множитель можно выбрать как $-b^{10}$, так как наименьшая степень переменной $b$ равна 10.

$-b^{10} - b^{15} - b^{20} = (-b^{10}) \cdot 1 + (-b^{10}) \cdot b^5 + (-b^{10}) \cdot b^{10}$

Выносим $-b^{10}$ за скобки, при этом знаки всех членов в скобках меняются на противоположные:

$-b^{10}(1 + b^5 + b^{10})$

Ответ: $-b^{10}(1 + b^5 + b^{10})$