Номер 665, страница 143 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Вынесение общего множителя за скобки. Параграф 10. Произведение одночлена и многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 665, страница 143.

Условие.

665. (Для работы в парах.) Докажите, что:

а) $7^8 - 7^7 + 7^6$ делится на 43;

б) $2^{13} - 2^{10} - 2^9$ делится на 13;

в) $27^4 - 9^5 + 3^9$ делится на 25;

г) $16^4 - 2^{13} - 4^5$ делится на 110.

1) Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто — задания б), г), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.

3) Обсудите, какие свойства делимости использованы при выполнении задания.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Чтобы доказать, что выражение $7^8 - 7^7 + 7^6$ делится на 43, вынесем за скобки общий множитель. Наименьшая степень семерки в выражении – это 6, поэтому выносим $7^6$:

$7^8 - 7^7 + 7^6 = 7^6(7^{8-6} - 7^{7-6} + 7^{6-6}) = 7^6(7^2 - 7^1 + 7^0)$

Вычислим значение выражения в скобках, помня, что любое число в нулевой степени равно 1:

$7^2 - 7^1 + 7^0 = 49 - 7 + 1 = 43$

Таким образом, мы преобразовали исходное выражение к виду:

$7^6 \cdot 43$

Поскольку один из множителей этого произведения равен 43, то и все произведение делится на 43 без остатка.

Ответ: Доказано.

б)

Чтобы доказать, что выражение $2^{13} - 2^{10} - 2^9$ делится на 13, вынесем за скобки общий множитель. Наименьшая степень двойки в выражении – это 9, поэтому выносим $2^9$:

$2^{13} - 2^{10} - 2^9 = 2^9(2^{13-9} - 2^{10-9} - 2^{9-9}) = 2^9(2^4 - 2^1 - 2^0)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$2^4 - 2^1 - 2^0 = 16 - 2 - 1 = 13$

Таким образом, мы преобразовали исходное выражение к виду:

$2^9 \cdot 13$

Поскольку один из множителей этого произведения равен 13, то и все произведение делится на 13 без остатка.

Ответ: Доказано.

в)

Чтобы доказать, что выражение $27^4 - 9^5 + 3^9$ делится на 25, приведем все степени к одному основанию – 3. Мы знаем, что $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$(3^3)^4 - (3^2)^5 + 3^9 = 3^{3 \cdot 4} - 3^{2 \cdot 5} + 3^9 = 3^{12} - 3^{10} + 3^9$

Теперь вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $3^9$:

$3^{12} - 3^{10} + 3^9 = 3^9(3^{12-9} - 3^{10-9} + 3^{9-9}) = 3^9(3^3 - 3^1 + 3^0)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$3^3 - 3^1 + 3^0 = 27 - 3 + 1 = 25$

Таким образом, мы преобразовали исходное выражение к виду:

$3^9 \cdot 25$

Поскольку один из множителей этого произведения равен 25, то и все произведение делится на 25 без остатка.

Ответ: Доказано.

г)

Чтобы доказать, что выражение $16^4 - 2^{13} - 4^5$ делится на 110, приведем все степени к одному основанию – 2. Мы знаем, что $16 = 2^4$ и $4 = 2^2$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$(2^4)^4 - 2^{13} - (2^2)^5 = 2^{4 \cdot 4} - 2^{13} - 2^{2 \cdot 5} = 2^{16} - 2^{13} - 2^{10}$

Теперь вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $2^{10}$:

$2^{16} - 2^{13} - 2^{10} = 2^{10}(2^{16-10} - 2^{13-10} - 2^{10-10}) = 2^{10}(2^6 - 2^3 - 2^0)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$2^6 - 2^3 - 2^0 = 64 - 8 - 1 = 55$

Таким образом, мы преобразовали исходное выражение к виду:

$2^{10} \cdot 55$

Нам нужно доказать делимость на 110. Разложим 110 на множители: $110 = 11 \cdot 10 = 11 \cdot 5 \cdot 2$.

Преобразуем полученное выражение $2^{10} \cdot 55$ так, чтобы выделить множитель 110:

$2^{10} \cdot 55 = 2^9 \cdot 2 \cdot 55 = 2^9 \cdot (2 \cdot 55) = 2^9 \cdot 110$

Поскольку один из множителей этого произведения равен 110, то и все произведение делится на 110 без остатка.

Ответ: Доказано.

Обсуждение использованных свойств

При выполнении этих заданий были использованы следующие математические свойства и правила:

1. Свойства степеней: правило возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$) использовалось для приведения всех членов выражений к одному основанию.

2. Дистрибутивное свойство (вынесение общего множителя за скобки): $ac \pm bc = (a \pm b)c$. Это основной прием, который позволил преобразовать сумму или разность в произведение.

3. Свойство делимости произведения: если один из множителей произведения делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число. Это свойство является основой для вывода в каждом из пунктов.