Номер 667, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Вынесение общего множителя за скобки. Параграф 10. Произведение одночлена и многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 667, страница 144.

Условие.

667. Представьте в виде произведения:

а) $c^3 - c^4 + 2c^5$;

б) $5m^4 - m^3 + 2m^2$;

в) $4x^4 + 8x^3 - 2x^2$;

г) $5a - 5a^2 - 10a^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $c^3 - c^4 + 2c^5$

Чтобы представить многочлен в виде произведения, нужно вынести за скобки общий множитель. В данном выражении все члены содержат переменную $c$. Наименьшая степень переменной $c$ в многочлене — это 3, поэтому общим множителем является $c^3$.

Вынесем $c^3$ за скобки, разделив каждый член многочлена на $c^3$:

$c^3 - c^4 + 2c^5 = c^3 \cdot 1 - c^3 \cdot c + c^3 \cdot 2c^2 = c^3(1 - c + 2c^2)$.

Для удобства и стандартной записи расположим слагаемые в скобках по убыванию степеней переменной:

$c^3(2c^2 - c + 1)$.

Ответ: $c^3(2c^2 - c + 1)$

б) $5m^4 - m^3 + 2m^2$

Находим общий множитель для членов многочлена. Коэффициенты 5, -1 и 2 не имеют общих делителей, кроме 1. Переменная $m$ содержится во всех членах, и её наименьшая степень — 2. Таким образом, общий множитель — это $m^2$.

Выносим $m^2$ за скобки:

$5m^4 - m^3 + 2m^2 = m^2 \cdot 5m^2 - m^2 \cdot m + m^2 \cdot 2 = m^2(5m^2 - m + 2)$.

Ответ: $m^2(5m^2 - m + 2)$

в) $4x^4 + 8x^3 - 2x^2$

Находим общий множитель. Для числовых коэффициентов 4, 8 и -2 наибольший общий делитель (НОД) равен 2. Для переменных $x^4, x^3, x^2$ общим множителем является $x$ в наименьшей степени, то есть $x^2$. Следовательно, общий множитель всего выражения — это $2x^2$.

Выносим $2x^2$ за скобки:

$4x^4 + 8x^3 - 2x^2 = 2x^2 \cdot 2x^2 + 2x^2 \cdot 4x - 2x^2 \cdot 1 = 2x^2(2x^2 + 4x - 1)$.

Ответ: $2x^2(2x^2 + 4x - 1)$

г) $5a - 5a^2 - 10a^4$

Находим общий множитель. НОД для коэффициентов 5, -5 и -10 равен 5. Общим множителем для переменных $a, a^2, a^4$ является $a$ в наименьшей степени, то есть $a$. Таким образом, общий множитель всего выражения — $5a$.

Выносим $5a$ за скобки:

$5a - 5a^2 - 10a^4 = 5a \cdot 1 - 5a \cdot a - 5a \cdot 2a^3 = 5a(1 - a - 2a^3)$.

Ответ: $5a(1 - a - 2a^3)$