Номер 668, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Вынесение общего множителя за скобки. Параграф 10. Произведение одночлена и многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 668, страница 144.

Условие.

668. Вынесите за скобки общий множитель:

a) $3a^3 - 15a^2b + 5ab^2;$

б) $20x^4 - 25x^2y^2 - 10x^3;$

в) $-6am^2 + 9m^3 - 12m^4;$

г) $12a^2b - 18ab^2 - 30ab^3;$

д) $4ax^3 + 8a^2x^2 - 12a^3x;$

е) $-3x^4y^2 - 6x^2y^2 + 9x^2y^4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для выражения $3a^3 - 15a^2b + 5ab^2$ необходимо найти общий множитель. Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов: 3, 15 и 5. НОД(3, 15, 5) = 1. Затем найдем общие переменные в наименьшей степени. Переменная $a$ присутствует во всех членах многочлена. Ее наименьшая степень равна 1 ($a^1 = a$). Переменная $b$ отсутствует в первом члене, поэтому она не является общей. Следовательно, общий множитель для всего выражения — это $a$. Вынесем $a$ за скобки, разделив каждый член многочлена на $a$: $3a^3 \div a = 3a^2$ $-15a^2b \div a = -15ab$ $5ab^2 \div a = 5b^2$ Таким образом, выражение в скобках будет $3a^2 - 15ab + 5b^2$. Ответ: $a(3a^2 - 15ab + 5b^2)$

б) Рассмотрим выражение $20x^4 - 25x^2y^2 - 10x^3$. Найдем НОД коэффициентов 20, 25 и 10. НОД(20, 25, 10) = 5. Найдем общие переменные. Переменная $x$ есть во всех членах, ее наименьшая степень — 2 ($x^2$). Переменная $y$ есть только во втором члене, значит, она не является общей. Общий множитель — $5x^2$. Вынесем $5x^2$ за скобки: $20x^4 \div (5x^2) = 4x^2$ $-25x^2y^2 \div (5x^2) = -5y^2$ $-10x^3 \div (5x^2) = -2x$ Результат можно записать в виде $5x^2(4x^2 - 5y^2 - 2x)$. Ответ: $5x^2(4x^2 - 2x - 5y^2)$

в) Рассмотрим выражение $-6am^2 + 9m^3 - 12m^4$. НОД коэффициентов 6, 9 и 12 равен 3. Поскольку первый член отрицательный, удобно вынести за скобки множитель с отрицательным знаком, то есть -3. Общей переменной для всех членов является $m$ в наименьшей степени 2 ($m^2$). Переменная $a$ не является общей. Таким образом, общий множитель — $-3m^2$. Разделим каждый член на $-3m^2$: $-6am^2 \div (-3m^2) = 2a$ $9m^3 \div (-3m^2) = -3m$ $-12m^4 \div (-3m^2) = 4m^2$ Получаем выражение: $-3m^2(2a - 3m + 4m^2)$. Ответ: $-3m^2(2a - 3m + 4m^2)$

г) В выражении $12a^2b - 18ab^2 - 30ab^3$ найдем общий множитель. НОД коэффициентов 12, 18 и 30 равен 6. Общие переменные: $a$ (в наименьшей степени 1) и $b$ (в наименьшей степени 1). Следовательно, общий множитель — $6ab$. Выполним деление каждого члена на $6ab$: $12a^2b \div (6ab) = 2a$ $-18ab^2 \div (6ab) = -3b$ $-30ab^3 \div (6ab) = -5b^2$ Результат: $6ab(2a - 3b - 5b^2)$. Ответ: $6ab(2a - 3b - 5b^2)$

д) Рассмотрим $4ax^3 + 8a^2x^2 - 12a^3x$. НОД коэффициентов 4, 8 и 12 равен 4. Общие переменные: $a$ (в наименьшей степени 1) и $x$ (в наименьшей степени 1). Общий множитель — $4ax$. Разделим каждый член на $4ax$: $4ax^3 \div (4ax) = x^2$ $8a^2x^2 \div (4ax) = 2ax$ $-12a^3x \div (4ax) = -3a^2$ Получаем: $4ax(x^2 + 2ax - 3a^2)$. Ответ: $4ax(x^2 + 2ax - 3a^2)$

е) Для выражения $-3x^4y^2 - 6x^2y^2 + 9x^2y^4$ найдем общий множитель. НОД коэффициентов 3, 6 и 9 равен 3. Так как первый член отрицательный, вынесем за скобки -3. Общие переменные: $x$ (в наименьшей степени 2, т.е. $x^2$) и $y$ (в наименьшей степени 2, т.е. $y^2$). Общий множитель — $-3x^2y^2$. Выполним деление на $-3x^2y^2$: $-3x^4y^2 \div (-3x^2y^2) = x^2$ $-6x^2y^2 \div (-3x^2y^2) = 2$ $9x^2y^4 \div (-3x^2y^2) = -3y^2$ Результат: $-3x^2y^2(x^2 + 2 - 3y^2)$. Ответ: $-3x^2y^2(x^2 + 2 - 3y^2)$