Страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

668. Вынесите за скобки общий множитель:

a) $3a^3 - 15a^2b + 5ab^2;$

б) $20x^4 - 25x^2y^2 - 10x^3;$

в) $-6am^2 + 9m^3 - 12m^4;$

г) $12a^2b - 18ab^2 - 30ab^3;$

д) $4ax^3 + 8a^2x^2 - 12a^3x;$

е) $-3x^4y^2 - 6x^2y^2 + 9x^2y^4.$

а) Для выражения $3a^3 - 15a^2b + 5ab^2$ необходимо найти общий множитель. Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов: 3, 15 и 5. НОД(3, 15, 5) = 1. Затем найдем общие переменные в наименьшей степени. Переменная $a$ присутствует во всех членах многочлена. Ее наименьшая степень равна 1 ($a^1 = a$). Переменная $b$ отсутствует в первом члене, поэтому она не является общей. Следовательно, общий множитель для всего выражения — это $a$. Вынесем $a$ за скобки, разделив каждый член многочлена на $a$: $3a^3 \div a = 3a^2$ $-15a^2b \div a = -15ab$ $5ab^2 \div a = 5b^2$ Таким образом, выражение в скобках будет $3a^2 - 15ab + 5b^2$. Ответ: $a(3a^2 - 15ab + 5b^2)$

б) Рассмотрим выражение $20x^4 - 25x^2y^2 - 10x^3$. Найдем НОД коэффициентов 20, 25 и 10. НОД(20, 25, 10) = 5. Найдем общие переменные. Переменная $x$ есть во всех членах, ее наименьшая степень — 2 ($x^2$). Переменная $y$ есть только во втором члене, значит, она не является общей. Общий множитель — $5x^2$. Вынесем $5x^2$ за скобки: $20x^4 \div (5x^2) = 4x^2$ $-25x^2y^2 \div (5x^2) = -5y^2$ $-10x^3 \div (5x^2) = -2x$ Результат можно записать в виде $5x^2(4x^2 - 5y^2 - 2x)$. Ответ: $5x^2(4x^2 - 2x - 5y^2)$

в) Рассмотрим выражение $-6am^2 + 9m^3 - 12m^4$. НОД коэффициентов 6, 9 и 12 равен 3. Поскольку первый член отрицательный, удобно вынести за скобки множитель с отрицательным знаком, то есть -3. Общей переменной для всех членов является $m$ в наименьшей степени 2 ($m^2$). Переменная $a$ не является общей. Таким образом, общий множитель — $-3m^2$. Разделим каждый член на $-3m^2$: $-6am^2 \div (-3m^2) = 2a$ $9m^3 \div (-3m^2) = -3m$ $-12m^4 \div (-3m^2) = 4m^2$ Получаем выражение: $-3m^2(2a - 3m + 4m^2)$. Ответ: $-3m^2(2a - 3m + 4m^2)$

г) В выражении $12a^2b - 18ab^2 - 30ab^3$ найдем общий множитель. НОД коэффициентов 12, 18 и 30 равен 6. Общие переменные: $a$ (в наименьшей степени 1) и $b$ (в наименьшей степени 1). Следовательно, общий множитель — $6ab$. Выполним деление каждого члена на $6ab$: $12a^2b \div (6ab) = 2a$ $-18ab^2 \div (6ab) = -3b$ $-30ab^3 \div (6ab) = -5b^2$ Результат: $6ab(2a - 3b - 5b^2)$. Ответ: $6ab(2a - 3b - 5b^2)$

д) Рассмотрим $4ax^3 + 8a^2x^2 - 12a^3x$. НОД коэффициентов 4, 8 и 12 равен 4. Общие переменные: $a$ (в наименьшей степени 1) и $x$ (в наименьшей степени 1). Общий множитель — $4ax$. Разделим каждый член на $4ax$: $4ax^3 \div (4ax) = x^2$ $8a^2x^2 \div (4ax) = 2ax$ $-12a^3x \div (4ax) = -3a^2$ Получаем: $4ax(x^2 + 2ax - 3a^2)$. Ответ: $4ax(x^2 + 2ax - 3a^2)$

е) Для выражения $-3x^4y^2 - 6x^2y^2 + 9x^2y^4$ найдем общий множитель. НОД коэффициентов 3, 6 и 9 равен 3. Так как первый член отрицательный, вынесем за скобки -3. Общие переменные: $x$ (в наименьшей степени 2, т.е. $x^2$) и $y$ (в наименьшей степени 2, т.е. $y^2$). Общий множитель — $-3x^2y^2$. Выполним деление на $-3x^2y^2$: $-3x^4y^2 \div (-3x^2y^2) = x^2$ $-6x^2y^2 \div (-3x^2y^2) = 2$ $9x^2y^4 \div (-3x^2y^2) = -3y^2$ Результат: $-3x^2y^2(x^2 + 2 - 3y^2)$. Ответ: $-3x^2y^2(x^2 + 2 - 3y^2)$

671. Представьте выражение в виде произведения двух многочленов:

а) $a(b - c) + d(c - b)$;

б) $x(y - 5) - y(5 - y)$;

в) $3a(2x - 7) + 5b(7 - 2x)$;

г) $(x - y)^2 - a(y - x)$;

д) $3(a - 2)^2 - (2 - a)$;

е) $2(3 - b) + 5(b - 3)^2$.

а) $a(b - c) + d(c - b)$

Чтобы вынести общий множитель за скобки, преобразуем второе слагаемое. Заметим, что $(c - b) = -(b - c)$.

Подставим это в исходное выражение:

$a(b - c) + d(-(b - c)) = a(b - c) - d(b - c)$

Теперь вынесем общий множитель $(b - c)$ за скобки:

$(b - c)(a - d)$

Ответ: $(b - c)(a - d)$

б) $x(y - 5) - y(5 - y)$

Преобразуем выражение в скобках во втором члене. Заметим, что $(5 - y) = -(y - 5)$.

Подставим это в исходное выражение:

$x(y - 5) - y(-(y - 5)) = x(y - 5) + y(y - 5)$

Теперь вынесем общий множитель $(y - 5)$ за скобки:

$(y - 5)(x + y)$

Ответ: $(y - 5)(x + y)$

в) $3a(2x - 7) + 5b(7 - 2x)$

Преобразуем выражение в скобках во втором слагаемом. Заметим, что $(7 - 2x) = -(2x - 7)$.

Подставим это в исходное выражение:

$3a(2x - 7) + 5b(-(2x - 7)) = 3a(2x - 7) - 5b(2x - 7)$

Вынесем общий множитель $(2x - 7)$ за скобки:

$(2x - 7)(3a - 5b)$

Ответ: $(2x - 7)(3a - 5b)$

г) $(x - y)^2 - a(y - x)$

Преобразуем выражение в скобках во втором члене. Заметим, что $(y - x) = -(x - y)$.

Подставим это в исходное выражение:

$(x - y)^2 - a(-(x - y)) = (x - y)^2 + a(x - y)$

Теперь вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)((x - y) + a) = (x - y)(x - y + a)$

Ответ: $(x - y)(x - y + a)$

д) $3(a - 2)^2 - (2 - a)$

Преобразуем выражение в скобках во втором члене. Заметим, что $(2 - a) = -(a - 2)$.

Подставим это в исходное выражение:

$3(a - 2)^2 - (-(a - 2)) = 3(a - 2)^2 + (a - 2)$

Вынесем общий множитель $(a - 2)$ за скобки:

$(a - 2)(3(a - 2) + 1)$

Упростим выражение во второй скобке:

$3(a - 2) + 1 = 3a - 6 + 1 = 3a - 5$

Таким образом, окончательное выражение:

$(a - 2)(3a - 5)$

Ответ: $(a - 2)(3a - 5)$

е) $2(3 - b) + 5(b - 3)^2$

Воспользуемся свойством квадрата разности: $(x - y)^2 = (y - x)^2$. Следовательно, $(b - 3)^2 = (3 - b)^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$2(3 - b) + 5(3 - b)^2$

Теперь вынесем общий множитель $(3 - b)$ за скобки:

$(3 - b)(2 + 5(3 - b))$

Упростим выражение во второй скобке:

$2 + 5(3 - b) = 2 + 15 - 5b = 17 - 5b$

Таким образом, окончательное выражение:

$(3 - b)(17 - 5b)$

Ответ: $(3 - b)(17 - 5b)$

674. Решите уравнение:

а) $\frac{3x - 5}{2} + \frac{8x - 12}{7} = 9;$

б) $\frac{21 - 4x}{9} - \frac{8x + 15}{3} = 2.$

а) $\frac{3x - 5}{2} + \frac{8x - 12}{7} = 9$

Чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от знаменателей. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 2 и 7. НОК(2, 7) = 14.

Умножим обе части уравнения на 14:

$14 \cdot \left( \frac{3x - 5}{2} + \frac{8x - 12}{7} \right) = 14 \cdot 9$

$\frac{14 \cdot (3x - 5)}{2} + \frac{14 \cdot (8x - 12)}{7} = 126$

Сократим дроби:

$7 \cdot (3x - 5) + 2 \cdot (8x - 12) = 126$

Теперь раскроем скобки:

$21x - 35 + 16x - 24 = 126$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(21x + 16x) + (-35 - 24) = 126$

$37x - 59 = 126$

Перенесем -59 в правую часть с противоположным знаком:

$37x = 126 + 59$

$37x = 185$

Разделим обе части на 37, чтобы найти x:

$x = \frac{185}{37}$

$x = 5$

Ответ: $5$.

б) $\frac{21 - 4x}{9} - \frac{8x + 15}{3} = 2$

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 9 и 3. НОК(9, 3) = 9.

Умножим обе части уравнения на 9:

$9 \cdot \left( \frac{21 - 4x}{9} - \frac{8x + 15}{3} \right) = 9 \cdot 2$

$\frac{9 \cdot (21 - 4x)}{9} - \frac{9 \cdot (8x + 15)}{3} = 18$

Сократим дроби:

$1 \cdot (21 - 4x) - 3 \cdot (8x + 15) = 18$

Раскроем скобки. Важно обратить внимание на знак "минус" перед второй дробью, он изменит знаки в скобках:

$21 - 4x - (24x + 45) = 18$

$21 - 4x - 24x - 45 = 18$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(-4x - 24x) + (21 - 45) = 18$

$-28x - 24 = 18$

Перенесем -24 в правую часть с противоположным знаком:

$-28x = 18 + 24$

$-28x = 42$

Разделим обе части на -28, чтобы найти x:

$x = \frac{42}{-28}$

Сократим дробь на 14:

$x = -\frac{3}{2}$

$x = -1.5$

Ответ: $-1,5$.

666. Разложите на множители многочлен:

а) $x^3 - 3x^2 + x$;

б) $m^2 - 2m^3 - m^4$;

в) $4a^5 - 2a^3 + a$;

г) $6x^2 - 4x^3 + 10x^4$;

д) $15a^3 - 9a^2 + 6a$;

е) $-3m^2 - 6m^3 + 12m^5$.

а) Исходный многочлен: $x^3 - 3x^2 + x$. Чтобы разложить многочлен на множители, нужно вынести общий множитель за скобки. В данном случае каждый член многочлена содержит переменную $x$. Наименьшая степень $x$ — первая, поэтому общим множителем является $x$.
$x^3 - 3x^2 + x = x \cdot x^2 - x \cdot 3x + x \cdot 1$
Выносим $x$ за скобки:
$x(x^2 - 3x + 1)$
Квадратный трехчлен в скобках $x^2 - 3x + 1$ не раскладывается на множители с целыми коэффициентами, так как его дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$ не является полным квадратом. Таким образом, разложение завершено.
Ответ: $x(x^2 - 3x + 1)$

б) Исходный многочлен: $m^2 - 2m^3 - m^4$. Найдем общий множитель. Все члены многочлена содержат переменную $m$. Наименьшая степень $m$ — вторая ($m^2$). Вынесем $m^2$ за скобки.
$m^2 - 2m^3 - m^4 = m^2 \cdot 1 - m^2 \cdot 2m - m^2 \cdot m^2 = m^2(1 - 2m - m^2)$.
Чтобы сделать старший коэффициент в скобках положительным, можно вынести за скобку -1:
$m^2(1 - 2m - m^2) = -m^2(-1 + 2m + m^2) = -m^2(m^2 + 2m - 1)$.
Оба варианта являются верными. Трехчлен $m^2 + 2m - 1$ не раскладывается дальше на множители с целыми коэффициентами (его дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 8$ не является полным квадратом).
Ответ: $m^2(1 - 2m - m^2)$

в) Исходный многочлен: $4a^5 - 2a^3 + a$. Общий множитель для всех членов — переменная $a$ в первой степени. Вынесем $a$ за скобки.
$4a^5 - 2a^3 + a = a \cdot 4a^4 - a \cdot 2a^2 + a \cdot 1 = a(4a^4 - 2a^2 + 1)$.
Рассмотрим выражение в скобках $4a^4 - 2a^2 + 1$. Это биквадратное выражение. Сделав замену $y = a^2$, получим квадратный трехчлен $4y^2 - 2y + 1$. Его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = -12$. Так как дискриминант отрицательный, этот трехчлен не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Ответ: $a(4a^4 - 2a^2 + 1)$

г) Исходный многочлен: $6x^2 - 4x^3 + 10x^4$. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 6, -4, 10. НОД(6, 4, 10) = 2.
Найдем наименьшую степень переменной $x$. Это $x^2$.
Таким образом, общий множитель равен $2x^2$. Вынесем его за скобки.
$6x^2 - 4x^3 + 10x^4 = 2x^2 \cdot 3 - 2x^2 \cdot 2x + 2x^2 \cdot 5x^2 = 2x^2(3 - 2x + 5x^2)$.
Для удобства принято записывать многочлены в порядке убывания степеней:
$2x^2(5x^2 - 2x + 3)$.
Дискриминант квадратного трехчлена $5x^2 - 2x + 3$ равен $D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 4 - 60 = -56 < 0$, поэтому дальнейшее разложение невозможно.
Ответ: $2x^2(5x^2 - 2x + 3)$

д) Исходный многочлен: $15a^3 - 9a^2 + 6a$. Найдем НОД коэффициентов 15, -9, 6. НОД(15, 9, 6) = 3.
Наименьшая степень переменной $a$ — первая ($a$).
Общий множитель равен $3a$. Вынесем его за скобки.
$15a^3 - 9a^2 + 6a = 3a \cdot 5a^2 - 3a \cdot 3a + 3a \cdot 2 = 3a(5a^2 - 3a + 2)$.
Дискриминант квадратного трехчлена $5a^2 - 3a + 2$ равен $D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 9 - 40 = -31 < 0$, поэтому дальнейшее разложение на множители с действительными коэффициентами невозможно.
Ответ: $3a(5a^2 - 3a + 2)$

е) Исходный многочлен: $-3m^2 - 6m^3 + 12m^5$. Для удобства расположим члены многочлена в порядке убывания степеней: $12m^5 - 6m^3 - 3m^2$.
Найдем НОД коэффициентов 12, -6, -3. НОД(12, 6, 3) = 3.
Наименьшая степень переменной $m$ — вторая ($m^2$).
Общий множитель равен $3m^2$. Вынесем его за скобки.
$12m^5 - 6m^3 - 3m^2 = 3m^2 \cdot 4m^3 - 3m^2 \cdot 2m - 3m^2 \cdot 1 = 3m^2(4m^3 - 2m - 1)$.
Многочлен в скобках $4m^3 - 2m - 1$ не имеет простых целых или рациональных корней, поэтому в рамках школьной программы его дальнейшее разложение не предполагается.
Ответ: $3m^2(4m^3 - 2m - 1)$

669. Разложите на множители многочлен:

а) $4c^4 - 6x^2c^2 + 8c$;

б) $10a^2x - 15a^3 - 20a^4x$;

в) $3ax - 6ax^2 - 9a^2x$;

г) $8a^4b^3 - 12a^2b^4 + 16a^3b^2$.

а) Чтобы разложить многочлен $4c^4 - 6x^2c^2 + 8c$ на множители, найдем общий множитель для всех его членов. Наибольший общий делитель для коэффициентов 4, -6 и 8 равен 2. Переменная $c$ входит в каждый член, и ее наименьшая степень равна 1. Следовательно, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $2c$.
Выполним вынесение общего множителя за скобки:
$4c^4 - 6x^2c^2 + 8c = 2c(\frac{4c^4}{2c} - \frac{6x^2c^2}{2c} + \frac{8c}{2c}) = 2c(2c^3 - 3x^2c + 4)$.
Ответ: $2c(2c^3 - 3x^2c + 4)$

б) В многочлене $10a^2x - 15a^3 - 20a^4x$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель для коэффициентов 10, -15 и -20 равен 5. Переменная $a$ входит в каждый член, и ее наименьшая степень равна 2, поэтому общим множителем является $a^2$. Переменная $x$ входит не во все члены, поэтому ее нельзя вынести за скобки. Таким образом, выносим за скобки $5a^2$.
$10a^2x - 15a^3 - 20a^4x = 5a^2(\frac{10a^2x}{5a^2} - \frac{15a^3}{5a^2} - \frac{20a^4x}{5a^2}) = 5a^2(2x - 3a - 4a^2x)$.
Ответ: $5a^2(2x - 3a - 4a^2x)$

в) В многочлене $3ax - 6ax^2 - 9a^2x$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель для коэффициентов 3, -6 и -9 равен 3. Переменная $a$ входит в каждый член с наименьшей степенью 1. Переменная $x$ также входит в каждый член с наименьшей степенью 1. Таким образом, общий множитель для вынесения за скобки — это $3ax$.
$3ax - 6ax^2 - 9a^2x = 3ax(\frac{3ax}{3ax} - \frac{6ax^2}{3ax} - \frac{9a^2x}{3ax}) = 3ax(1 - 2x - 3a)$.
Ответ: $3ax(1 - 2x - 3a)$

г) В многочлене $8a^4b^3 - 12a^2b^4 + 16a^3b^2$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель для коэффициентов 8, -12 и 16 равен 4. Переменная $a$ входит в каждый член, наименьшая степень — 2 ($a^2$). Переменная $b$ входит в каждый член, наименьшая степень — 2 ($b^2$). Таким образом, выносим за скобки $4a^2b^2$.
$8a^4b^3 - 12a^2b^4 + 16a^3b^2 = 4a^2b^2(\frac{8a^4b^3}{4a^2b^2} - \frac{12a^2b^4}{4a^2b^2} + \frac{16a^3b^2}{4a^2b^2}) = 4a^2b^2(2a^2b - 3b^2 + 4a)$.
Ответ: $4a^2b^2(2a^2b - 3b^2 + 4a)$

672. Разложите на множители:

а) $8m(a - 3) + n(a - 3)$;

б) $(p^2 - 5) - q(p^2 - 5)$;

в) $x(y - 9) + y(9 - y)$;

г) $7(c + 2) + (c + 2)^2$;

д) $(a - b)^2 - 3(b - a)$;

е) $-(x + 2y) - 4(x + 2y)^2$.

а) В выражении $8m(a - 3) + n(a - 3)$ оба слагаемых имеют общий множитель $(a - 3)$. Вынесем этот общий множитель за скобки. Это основной метод разложения на множители, называемый вынесением общего множителя за скобки.

$8m(a - 3) + n(a - 3) = (8m + n)(a - 3)$

Ответ: $(8m + n)(a - 3)$

б) В выражении $(p^2 - 5) - q(p^2 - 5)$ общий множитель равен $(p^2 - 5)$. Первое слагаемое можно представить как $1 \cdot (p^2 - 5)$. После этого вынесем общий множитель $(p^2 - 5)$ за скобки.

$1 \cdot (p^2 - 5) - q(p^2 - 5) = (1 - q)(p^2 - 5)$

Ответ: $(1 - q)(p^2 - 5)$

в) В выражении $x(y - 9) + y(9 - y)$ множители в скобках, $(y - 9)$ и $(9 - y)$, являются противоположными выражениями. Мы можем изменить знак одного из них, вынеся $-1$ за скобку. Преобразуем второе слагаемое: $y(9 - y) = y(-(y - 9)) = -y(y - 9)$.

Теперь исходное выражение принимает вид:

$x(y - 9) - y(y - 9)$

Вынесем общий множитель $(y - 9)$ за скобки:

$(x - y)(y - 9)$

Ответ: $(x - y)(y - 9)$

г) В выражении $7(c + 2) + (c + 2)^2$ общим множителем является выражение в скобках $(c + 2)$. Заметим, что $(c + 2)^2 = (c + 2)(c + 2)$. Вынесем общий множитель $(c + 2)$ за скобки.

$7(c + 2) + (c + 2)(c + 2) = (c + 2)(7 + (c + 2))$

Теперь упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки:

$(c + 2)(7 + c + 2) = (c + 2)(c + 9)$

Ответ: $(c + 2)(c + 9)$

д) В выражении $(a - b)^2 - 3(b - a)$ мы видим выражения $(a - b)$ и $(b - a)$, которые отличаются только знаком. Используем тождество $b - a = -(a - b)$.

Подставим это в исходное выражение:

$(a - b)^2 - 3(-(a - b)) = (a - b)^2 + 3(a - b)$

Теперь у нас есть общий множитель $(a - b)$, который мы можем вынести за скобки:

$(a - b)((a - b) + 3) = (a - b)(a - b + 3)$

Ответ: $(a - b)(a - b + 3)$

е) В выражении $-(x + 2y) - 4(x + 2y)^2$ общим множителем является $(x + 2y)$. Мы можем вынести за скобки общий множитель $-(x + 2y)$.

$-(x + 2y) \cdot 1 - 4(x + 2y)(x + 2y) = -(x + 2y)(1 + 4(x + 2y))$

Теперь раскроем скобки внутри второй скобки и упростим выражение:

$-(x + 2y)(1 + 4x + 8y)$

Ответ: $-(x + 2y)(1 + 4x + 8y)$

675. Известно, что значение выражения $a - b$ при некоторых значениях $a$ и $b$ равно $0,5$. Чему равно при тех же $a$ и $b$ значение выражения:

а) $b - a$;
б) $\frac{1}{b - a}$;
в) $(a - b)^2$;
г) $(b - a)^2$;
д) $(a - b)^3$;
е) $(b - a)^3$?

По условию задачи дано, что $a - b = 0.5$.

а) b - a;
Выражение $b - a$ является противоположным к выражению $a - b$.
$b - a = -(a - b)$
Подставим известное значение:
$b - a = -(0.5) = -0.5$
Ответ: -0.5

б) $\frac{1}{b - a}$;
Из предыдущего пункта мы нашли, что $b - a = -0.5$.
Подставим это значение в выражение:
$\frac{1}{b - a} = \frac{1}{-0.5} = -2$
Ответ: -2

в) $(a - b)^2$;
Используем данное в условии значение $a - b = 0.5$.
Возведем его в квадрат:
$(a - b)^2 = (0.5)^2 = 0.25$
Ответ: 0.25

г) $(b - a)^2$;
Из пункта (а) мы знаем, что $b - a = -0.5$.
Возведем это значение в квадрат:
$(b - a)^2 = (-0.5)^2 = 0.25$
Стоит заметить, что квадраты противоположных чисел равны: $(b - a)^2 = (-(a-b))^2 = (a-b)^2$.
Ответ: 0.25

д) $(a - b)^3$;
Используем данное в условии значение $a - b = 0.5$.
Возведем его в куб:
$(a - b)^3 = (0.5)^3 = 0.5 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.125$
Ответ: 0.125

е) $(b - a)^3$?
Из пункта (а) мы знаем, что $b - a = -0.5$.
Возведем это значение в куб:
$(b - a)^3 = (-0.5)^3 = -0.125$
Стоит заметить, что куб противоположного числа равен противоположному числу от куба исходного: $(b - a)^3 = (-(a-b))^3 = -(a-b)^3$.
Ответ: -0.125

667. Представьте в виде произведения:

а) $c^3 - c^4 + 2c^5$;

б) $5m^4 - m^3 + 2m^2$;

в) $4x^4 + 8x^3 - 2x^2$;

г) $5a - 5a^2 - 10a^4$.

а) $c^3 - c^4 + 2c^5$

Чтобы представить многочлен в виде произведения, нужно вынести за скобки общий множитель. В данном выражении все члены содержат переменную $c$. Наименьшая степень переменной $c$ в многочлене — это 3, поэтому общим множителем является $c^3$.

Вынесем $c^3$ за скобки, разделив каждый член многочлена на $c^3$:

$c^3 - c^4 + 2c^5 = c^3 \cdot 1 - c^3 \cdot c + c^3 \cdot 2c^2 = c^3(1 - c + 2c^2)$.

Для удобства и стандартной записи расположим слагаемые в скобках по убыванию степеней переменной:

$c^3(2c^2 - c + 1)$.

Ответ: $c^3(2c^2 - c + 1)$

б) $5m^4 - m^3 + 2m^2$

Находим общий множитель для членов многочлена. Коэффициенты 5, -1 и 2 не имеют общих делителей, кроме 1. Переменная $m$ содержится во всех членах, и её наименьшая степень — 2. Таким образом, общий множитель — это $m^2$.

Выносим $m^2$ за скобки:

$5m^4 - m^3 + 2m^2 = m^2 \cdot 5m^2 - m^2 \cdot m + m^2 \cdot 2 = m^2(5m^2 - m + 2)$.

Ответ: $m^2(5m^2 - m + 2)$

в) $4x^4 + 8x^3 - 2x^2$

Находим общий множитель. Для числовых коэффициентов 4, 8 и -2 наибольший общий делитель (НОД) равен 2. Для переменных $x^4, x^3, x^2$ общим множителем является $x$ в наименьшей степени, то есть $x^2$. Следовательно, общий множитель всего выражения — это $2x^2$.

Выносим $2x^2$ за скобки:

$4x^4 + 8x^3 - 2x^2 = 2x^2 \cdot 2x^2 + 2x^2 \cdot 4x - 2x^2 \cdot 1 = 2x^2(2x^2 + 4x - 1)$.

Ответ: $2x^2(2x^2 + 4x - 1)$

г) $5a - 5a^2 - 10a^4$

Находим общий множитель. НОД для коэффициентов 5, -5 и -10 равен 5. Общим множителем для переменных $a, a^2, a^4$ является $a$ в наименьшей степени, то есть $a$. Таким образом, общий множитель всего выражения — $5a$.

Выносим $5a$ за скобки:

$5a - 5a^2 - 10a^4 = 5a \cdot 1 - 5a \cdot a - 5a \cdot 2a^3 = 5a(1 - a - 2a^3)$.

Ответ: $5a(1 - a - 2a^3)$

670. Укажите общий множитель для всех слагаемых суммы и вынесите его за скобки:

а) $2a(x + y) + b(x + y);$

б) $y(a - b) - (a - b);$

в) $(c + 3) - x(c + 3);$

г) $9(p - 1) + (p - 1)^2;$

д) $(a + 3)^2 - a(a + 3);$

е) $-3b(b - 2) + 7(b - 2)^2.$

а) В выражении $2a(x + y) + b(x + y)$ оба слагаемых, $2a(x + y)$ и $b(x + y)$, содержат одинаковый множитель $(x + y)$. Это и есть общий множитель. Вынесем его за скобки. Для этого разделим каждое слагаемое на $(x+y)$ и запишем результат в скобках. От первого слагаемого останется $2a$, а от второго $b$.
$2a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(2a + b)$.
Ответ: $(x + y)(2a + b)$.

б) В выражении $y(a - b) - (a - b)$ слагаемые — это $y(a - b)$ и $-(a - b)$. Второе слагаемое можно представить как $-1 \cdot (a - b)$. Таким образом, общий множитель для обоих слагаемых — это выражение $(a - b)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого останется $y$, а от второго $-1$.
$y(a - b) - 1 \cdot (a - b) = (a - b)(y - 1)$.
Ответ: $(a - b)(y - 1)$.

в) В выражении $(c + 3) - x(c + 3)$ первое слагаемое можно представить как $1 \cdot (c + 3)$. Общим множителем для слагаемых $1 \cdot (c + 3)$ и $-x(c + 3)$ является $(c + 3)$. Выносим его за скобки. От первого слагаемого остается $1$, от второго $-x$.
$1 \cdot (c + 3) - x(c + 3) = (c + 3)(1 - x)$.
Ответ: $(c + 3)(1 - x)$.

г) В выражении $9(p - 1) + (p - 1)^2$ второе слагаемое $(p - 1)^2$ можно записать как $(p - 1)(p - 1)$. Таким образом, оба слагаемых, $9(p - 1)$ и $(p - 1)(p - 1)$, содержат общий множитель $(p - 1)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого останется $9$, а от второго $(p - 1)$.
$9(p - 1) + (p - 1)(p - 1) = (p - 1)(9 + (p - 1))$.
Теперь упростим выражение во второй скобке: $9 + p - 1 = p + 8$.
Окончательный результат: $(p - 1)(p + 8)$.
Ответ: $(p - 1)(p + 8)$.

д) В выражении $(a + 3)^2 - a(a + 3)$ первое слагаемое $(a + 3)^2$ можно представить как $(a + 3)(a + 3)$. Общим множителем для $(a + 3)(a + 3)$ и $-a(a + 3)$ является $(a + 3)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого останется $(a + 3)$, а от второго $-a$.
$(a + 3)((a + 3) - a)$.
Упростим выражение во второй скобке: $a + 3 - a = 3$.
Получаем: $(a + 3) \cdot 3 = 3(a + 3)$.
Ответ: $3(a + 3)$.

е) В выражении $-3b(b - 2) + 7(b - 2)^2$ второе слагаемое $7(b - 2)^2$ можно записать как $7(b - 2)(b - 2)$. Общим множителем для слагаемых $-3b(b - 2)$ и $7(b - 2)(b - 2)$ является $(b - 2)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого останется $-3b$, а от второго $7(b - 2)$.
$(b - 2)(-3b + 7(b - 2))$.
Упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки: $-3b + 7 \cdot b - 7 \cdot 2 = -3b + 7b - 14 = 4b - 14$.
Получаем: $(b - 2)(4b - 14)$.
Ответ: $(b - 2)(4b - 14)$.

673. Велосипедист проехал путь $AB$ со скоростью 12 км/ч. Возвращаясь из $B$ в $A$, он развил скорость 18 км/ч и затратил на обратный путь на 15 мин меньше, чем на путь из $A$ в $B$. Сколько километров между $A$ и $B$?

Пусть искомое расстояние между пунктами A и B равно $S$ километров.

Время, которое велосипедист затратил на путь из A в B, рассчитывается по формуле $t = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}}$. Скорость на этом участке составляла $v_1 = 12$ км/ч, следовательно, время в пути было $t_1 = \frac{S}{12}$ часов.

На обратном пути из B в A скорость велосипедиста была $v_2 = 18$ км/ч. Время, затраченное на обратный путь, составляет $t_2 = \frac{S}{18}$ часов.

По условию задачи, на обратный путь велосипедист затратил на 15 минут меньше времени, чем на путь из A в B. Для удобства вычислений переведем 15 минут в часы: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}$.

Разница во времени движения в одну и другую сторону составляет $t_1 - t_2 = \frac{1}{4}$ часа. Можем составить уравнение: $\frac{S}{12} - \frac{S}{18} = \frac{1}{4}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 12 и 18 это 36. $\frac{3S}{36} - \frac{2S}{36} = \frac{1}{4}$

Выполним вычитание в левой части: $\frac{3S - 2S}{36} = \frac{1}{4}$ $\frac{S}{36} = \frac{1}{4}$

Теперь найдем $S$, умножив обе части уравнения на 36: $S = \frac{36 \cdot 1}{4}$ $S = 9$

Таким образом, расстояние между A и B составляет 9 километров.

Ответ: 9 км.