Страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

676. Запишите в виде выражения:

а) произведение разности $a$ и $b$ и их суммы $(a - b)(a + b)$

б) сумма квадратов $a$ и $b$ $a^2 + b^2$

в) квадрат суммы $a$ и $b$ $(a + b)^2$

г) разность квадратов $b$ и $c$ $b^2 - c^2$

д) куб разности $b$ и $c$ $(b - c)^3$

е) сумма кубов $b$ и $c$ $b^3 + c^3$

а) произведение разности a и b и их суммы
Чтобы записать это выражение, нам нужно выполнить два действия: найти разность чисел $a$ и $b$, и найти их сумму. Затем результаты этих действий нужно перемножить.
Разность чисел $a$ и $b$ записывается как $(a - b)$.
Сумма этих же чисел записывается как $(a + b)$.
Произведение этих двух выражений будет $(a - b)(a + b)$. Это также является формулой разности квадратов.
Ответ: $(a - b)(a + b)$

б) сумму квадратов a и b
Это выражение означает, что мы должны сначала возвести каждое число в квадрат, а затем сложить полученные результаты.
Квадрат числа $a$ — это $a^2$.
Квадрат числа $b$ — это $b^2$.
Сумма этих квадратов записывается как $a^2 + b^2$.
Ответ: $a^2 + b^2$

в) квадрат суммы a и b
В этом случае мы сначала находим сумму чисел $a$ и $b$, а затем возводим результат в квадрат.
Сумма чисел $a$ и $b$ — это $(a + b)$.
Квадрат этой суммы записывается как $(a + b)^2$.
Ответ: $(a + b)^2$

г) разность квадратов b и c
Здесь нужно сначала найти квадраты чисел $b$ и $c$, а затем вычесть квадрат второго числа из квадрата первого.
Квадрат числа $b$ — это $b^2$.
Квадрат числа $c$ — это $c^2$.
Разность этих квадратов записывается как $b^2 - c^2$.
Ответ: $b^2 - c^2$

д) куб разности b и c
Сначала находим разность чисел $b$ и $c$, а потом возводим полученный результат в куб (третью степень).
Разность чисел $b$ и $c$ — это $(b - c)$.
Куб этой разности записывается как $(b - c)^3$.
Ответ: $(b - c)^3$

е) сумму кубов b и c
В этом выражении мы сначала возводим каждое число в куб (третью степень), а затем складываем полученные результаты.
Куб числа $b$ — это $b^3$.
Куб числа $c$ — это $c^3$.
Сумма этих кубов записывается как $b^3 + c^3$.
Ответ: $b^3 + c^3$

1. Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен.

1.

Правило умножения одночлена на многочлен основано на распределительном (дистрибутивном) свойстве умножения относительно сложения. В общем виде это свойство записывается формулой: $a \cdot (b + c) = ab + ac$.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Умножить данный одночлен на каждый член многочлена.
2. Сложить полученные произведения (с учётом их знаков).

Рассмотрим это правило на примере. Умножим одночлен $5x^2y$ на многочлен $(2x - 3y + 4)$.

Запишем произведение и применим распределительное свойство:

$5x^2y \cdot (2x - 3y + 4) = (5x^2y) \cdot (2x) + (5x^2y) \cdot (-3y) + (5x^2y) \cdot (4)$

Далее выполним умножение для каждого получившегося слагаемого:

$(5x^2y) \cdot (2x) = (5 \cdot 2) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot y = 10x^3y$

$(5x^2y) \cdot (-3y) = (5 \cdot -3) \cdot x^2 \cdot (y \cdot y) = -15x^2y^2$

$(5x^2y) \cdot (4) = (5 \cdot 4) \cdot x^2y = 20x^2y$

Теперь сложим полученные одночлены:

$10x^3y - 15x^2y^2 + 20x^2y$

Результатом умножения одночлена на многочлен является многочлен.

Ответ: Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

4 На примере многочлена $2xy - 6x^2$ объясните, как выполняется разложение на множители вынесением общего множителя за скобки.

Разложение многочлена на множители путём вынесения общего множителя за скобки — это преобразование, при котором многочлен представляется в виде произведения общего множителя на другой многочлен. Рассмотрим этот процесс на примере выражения $2xy - 6x^2$.

1. Нахождение общего множителя

Общий множитель является наибольшим выражением (одночленом), на которое делится каждый член исходного многочлена. Чтобы его найти, нужно последовательно определить наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов и для переменных.

• Коэффициенты: Члены многочлена имеют коэффициенты 2 и 6. Наибольший общий делитель для этих чисел — 2.
• Переменные: Первый член ($2xy$) содержит переменные $x$ в первой степени ($x^1$) и $y$ в первой степени ($y^1$). Второй член ($-6x^2$) содержит переменную $x$ во второй степени ($x^2$). Общей для обоих членов является переменная $x$. Для общего множителя выбирается переменная в наименьшей степени, в которой она встречается в членах многочлена. В данном случае это $x^1$ или просто $x$. Переменная $y$ не является общей, так как она отсутствует во втором члене.

Перемножив найденные общие части, получаем общий множитель для всего многочлена: $2 \cdot x = 2x$.

2. Вынесение общего множителя за скобки

После того как общий множитель $2x$ найден, его выносят за скобки. Для этого каждый член исходного многочлена делят на этот общий множитель, а результаты деления записывают внутри скобок.

• Делим первый член на общий множитель: $\frac{2xy}{2x} = y$.
• Делим второй член на общий множитель: $\frac{-6x^2}{2x} = -3x$.

Теперь записываем итоговое выражение: общий множитель $2x$ ставится перед скобками, а в скобках указывается многочлен, полученный в результате деления: $2x(y - 3x)$.

3. Проверка

Чтобы убедиться в правильности разложения, можно выполнить обратное действие — раскрыть скобки, умножив общий множитель на каждый член в скобках:
$2x(y - 3x) = 2x \cdot y - 2x \cdot 3x = 2xy - 6x^2$.
Результат совпадает с исходным многочленом, что подтверждает верность разложения.

Ответ: Разложение многочлена $2xy - 6x^2$ на множители путем вынесения общего множителя за скобки приводит к выражению $2x(y - 3x)$.

2 Преобразуйте в многочлен произведение: $ab$ и $a + 4b$; $xy$ и $x^2 + xy + y^2$.

ab и a + 4b

Чтобы преобразовать произведение одночлена $ab$ и многочлена $a + 4b$ в многочлен, нужно умножить одночлен на каждый член многочлена, используя распределительное свойство умножения:

$ab \cdot (a + 4b) = ab \cdot a + ab \cdot 4b$

Теперь упростим каждое слагаемое, перемножая коэффициенты и складывая показатели степеней у одинаковых переменных:

$ab \cdot a = a^{1+1}b = a^2b$

$ab \cdot 4b = 4ab^{1+1} = 4ab^2$

Сложив полученные выражения, получаем итоговый многочлен:

$a^2b + 4ab^2$

Ответ: $a^2b + 4ab^2$

xy и x² + xy + y²

Для преобразования произведения одночлена $xy$ и многочлена $x^2 + xy + y^2$ в многочлен, умножим одночлен на каждый член многочлена:

$xy \cdot (x^2 + xy + y^2) = xy \cdot x^2 + xy \cdot xy + xy \cdot y^2$

Упростим каждое произведение по отдельности:

$xy \cdot x^2 = x^{1+2}y = x^3y$

$xy \cdot xy = x^{1+1}y^{1+1} = x^2y^2$

$xy \cdot y^2 = xy^{1+2} = xy^3$

Просуммировав эти члены, получим результирующий многочлен:

$x^3y + x^2y^2 + xy^3$

Ответ: $x^3y + x^2y^2 + xy^3$

3 Какое преобразование называют разложением многочлена на множители?

Разложением многочлена на множители называют тождественное преобразование, в результате которого многочлен представляется в виде произведения двух или нескольких множителей. В качестве множителей могут выступать как одночлены, так и другие многочлены.

Данное преобразование является обратным к операции умножения многочленов. При умножении мы, как правило, раскрываем скобки, превращая произведение в сумму одночленов (т.е. в многочлен). При разложении на множители, наоборот, исходный многочлен, который является суммой, представляется в виде произведения.

Рассмотрим пример. Умножим одночлен $5a$ на многочлен $(2b+c)$:

$5a(2b+c) = 5a \cdot 2b + 5a \cdot c = 10ab + 5ac$

Преобразование многочлена $10ab + 5ac$ обратно в произведение $5a(2b+c)$ и называется разложением на множители. В этом случае был применен метод вынесения общего множителя за скобки.

Другой пример — разложение с помощью формул сокращенного умножения. Многочлен $x^2 - 16$ является разностью квадратов и может быть представлен в виде произведения двух двучленов:

$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4)$

Таким образом, мы разложили многочлен $x^2 - 16$ на множители $(x-4)$ и $(x+4)$.

Разложение на множители — это одно из важнейших преобразований в алгебре, которое используется для упрощения выражений, решения уравнений и сокращения алгебраических дробей.

Ответ: Разложением многочлена на множители называют его представление в виде произведения двух или нескольких многочленов или одночленов.