Страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

650. Найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций:

a) $y = 5x + 29$ и $y = -3x - 11$;

б) $y = 1,2x$ и $y = 1,8x + 9,3.$

а) Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций, нужно найти такие значения $x$ и $y$, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. В точке пересечения значения $y$ у обоих графиков равны, следовательно, мы можем приравнять правые части уравнений: $y = 5x + 29$ и $y = -3x - 11$.
$5x + 29 = -3x - 11$
Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:
$5x + 3x = -11 - 29$
Приведем подобные слагаемые:
$8x = -40$
Найдем $x$:
$x = \frac{-40}{8}$
$x = -5$
Мы нашли абсциссу (координату $x$) точки пересечения. Чтобы найти ординату (координату $y$), подставим найденное значение $x = -5$ в любое из исходных уравнений. Подставим в первое:
$y = 5 \cdot (-5) + 29 = -25 + 29 = 4$
Для проверки можно подставить $x = -5$ и во второе уравнение:
$y = -3 \cdot (-5) - 11 = 15 - 11 = 4$
Результаты совпали, значит, координаты точки пересечения найдены верно.

Ответ: $(-5; 4)$

б) Аналогично найдем точку пересечения для графиков функций $y = 1,2x$ и $y = 1,8x + 9,3$.
Приравниваем правые части уравнений:
$1,2x = 1,8x + 9,3$
Решаем уравнение относительно $x$:
$1,2x - 1,8x = 9,3$
$-0,6x = 9,3$
$x = \frac{9,3}{-0,6}$
$x = -\frac{93}{6} = -15,5$
Теперь находим координату $y$, подставив $x = -15,5$ в первое уравнение (оно проще):
$y = 1,2 \cdot (-15,5) = -18,6$
Проверим результат, подставив $x = -15,5$ во второе уравнение:
$y = 1,8 \cdot (-15,5) + 9,3 = -27,9 + 9,3 = -18,6$
Результаты совпадают. Координаты точки пересечения найдены верно.

Ответ: $(-15,5; -18,6)$

653. Упростите выражение:

а) $\left(\frac{1}{3} a^{5} y^{3}\right)^{2} \cdot(-a y)^{3};$

б) $-0,1 a^{4} b^{7} \cdot\left(-30 a^{2} b\right)^{2}.$

а) Чтобы упростить выражение $(\frac{1}{3}a^5y^3)^2 \cdot (-ay)^3$, необходимо последовательно выполнить следующие действия:

1. Возведем в степень каждый множитель в скобках. Для этого используем свойство степени $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.

Первый множитель: $(\frac{1}{3}a^5y^3)^2 = (\frac{1}{3})^2 \cdot (a^5)^2 \cdot (y^3)^2 = \frac{1}{9} a^{5 \cdot 2} y^{3 \cdot 2} = \frac{1}{9}a^{10}y^6$.

Второй множитель: $(-ay)^3 = (-1 \cdot a \cdot y)^3 = (-1)^3 \cdot a^3 \cdot y^3 = -1 \cdot a^3y^3 = -a^3y^3$.

2. Теперь перемножим полученные выражения:

$(\frac{1}{9}a^{10}y^6) \cdot (-a^3y^3)$.

3. Сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями, используя свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$(\frac{1}{9} \cdot (-1)) \cdot (a^{10} \cdot a^3) \cdot (y^6 \cdot y^3) = -\frac{1}{9} \cdot a^{10+3} \cdot y^{6+3} = -\frac{1}{9}a^{13}y^9$.

Ответ: $-\frac{1}{9}a^{13}y^9$.

б) Чтобы упростить выражение $-0,1a^4b^7 \cdot (-30a^2b)^2$, выполним следующие шаги:

1. Сначала возведем в квадрат выражение в скобках, используя те же свойства степеней, что и в предыдущем пункте:

$(-30a^2b)^2 = (-30)^2 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2 = 900 \cdot a^{2 \cdot 2} \cdot b^2 = 900a^4b^2$.

2. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$-0,1a^4b^7 \cdot (900a^4b^2)$.

3. Перемножим числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:

$(-0,1 \cdot 900) \cdot (a^4 \cdot a^4) \cdot (b^7 \cdot b^2)$.

Вычисляем каждую группу:

$-0,1 \cdot 900 = -90$.

$a^4 \cdot a^4 = a^{4+4} = a^8$.

$b^7 \cdot b^2 = b^{7+2} = b^9$.

4. Собираем все вместе:

$-90a^8b^9$.

Ответ: $-90a^8b^9$.

648. В 190 г водного раствора соли добавили 10 г соли. В результате концентрация раствора повысилась на 4,5%. Сколько соли было в растворе первоначально?

Пусть $x$ г — это первоначальная масса соли в растворе.

Масса исходного раствора составляет 190 г. Тогда первоначальная концентрация соли $C_1$ (массовая доля) выражается формулой:
$C_1 = \frac{x}{190}$

После того как в раствор добавили 10 г соли, масса соли в нем стала равна $(x + 10)$ г. Общая масса нового раствора стала $190 + 10 = 200$ г.

Новая концентрация соли $C_2$ в растворе равна:
$C_2 = \frac{x + 10}{200}$

По условию задачи, концентрация раствора повысилась на 4,5%. Это означает, что разница между новой и старой концентрациями составляет 0,045 (при выражении в долях).
$C_2 - C_1 = 0.045$

Подставим выражения для концентраций в это равенство и получим уравнение:
$\frac{x + 10}{200} - \frac{x}{190} = 0.045$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей (200 и 190), равное 3800:
$3800 \cdot \left(\frac{x + 10}{200}\right) - 3800 \cdot \left(\frac{x}{190}\right) = 3800 \cdot 0.045$

После сокращения дробей получаем:
$19(x + 10) - 20x = 171$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:
$19x + 190 - 20x = 171$
$190 - x = 171$
$x = 190 - 171$
$x = 19$

Следовательно, первоначально в растворе было 19 г соли.

Ответ: первоначально в растворе было 19 г соли.

651. В каких координатных четвертях расположен график функции:

а) $y = -28x$;

б) $y = -28x + 4$;

в) $y = 0,05x$;

г) $y = 0,05x - 2,5$?

Чтобы определить, в каких координатных четвертях расположен график линейной функции вида $y = kx + b$, нужно проанализировать знаки углового коэффициента $k$ и свободного члена $b$.

• Знак коэффициента $k$ определяет, является ли функция возрастающей ($k > 0$) или убывающей ($k < 0$).
• Значение $b$ — это ордината точки пересечения графика с осью $OY$. Если $b > 0$, пересечение происходит выше оси $OX$. Если $b < 0$ — ниже оси $OX$. Если $b = 0$, график проходит через начало координат.

Координатные четверти нумеруются против часовой стрелки:

• I четверть: $x > 0, y > 0$
• II четверть: $x < 0, y > 0$
• III четверть: $x < 0, y < 0$
• IV четверть: $x > 0, y < 0$

Рассмотрим каждую функцию отдельно.

Для функции $y = -28x$ угловой коэффициент $k = -28$, а свободный член $b = 0$.
Поскольку $k < 0$, функция является убывающей (график идет вниз слева направо).
Поскольку $b = 0$, график функции проходит через начало координат — точку $(0, 0)$.
Убывающая прямая, проходящая через начало координат, располагается во второй и четвертой координатных четвертях. Если $x > 0$, то $y$ будет отрицательным (IV четверть). Если $x < 0$, то $y$ будет положительным (II четверть).
Ответ: Во II и IV четвертях.

Для функции $y = -28x + 4$ угловой коэффициент $k = -28$, а свободный член $b = 4$.
Поскольку $k < 0$, функция является убывающей.
Поскольку $b > 0$, график пересекает ось $OY$ в точке $(0, 4)$, то есть выше оси $OX$.
Найдем точку пересечения с осью $OX$, приравняв $y$ к нулю: $0 = -28x + 4$, откуда $28x = 4$, и $x = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}$. Точка пересечения с осью $OX$ — $(\frac{1}{7}, 0)$, она расположена в положительной части оси.
Так как убывающий график проходит через положительные части осей $OX$ и $OY$, он расположен в I, II и IV четвертях.
Ответ: В I, II и IV четвертях.

Для функции $y = 0,05x$ угловой коэффициент $k = 0,05$, а свободный член $b = 0$.
Поскольку $k > 0$, функция является возрастающей (график идет вверх слева направо).
Поскольку $b = 0$, график функции проходит через начало координат — точку $(0, 0)$.
Возрастающая прямая, проходящая через начало координат, располагается в первой и третьей координатных четвертях. Если $x > 0$, то $y$ будет положительным (I четверть). Если $x < 0$, то $y$ будет отрицательным (III четверть).
Ответ: В I и III четвертях.

Для функции $y = 0,05x - 2,5$ угловой коэффициент $k = 0,05$, а свободный член $b = -2,5$.
Поскольку $k > 0$, функция является возрастающей.
Поскольку $b < 0$, график пересекает ось $OY$ в точке $(0, -2,5)$, то есть ниже оси $OX$.
Найдем точку пересечения с осью $OX$: $0 = 0,05x - 2,5$, откуда $0,05x = 2,5$, и $x = \frac{2,5}{0,05} = 50$. Точка пересечения с осью $OX$ — $(50, 0)$, она расположена в положительной части оси.
Так как возрастающий график пересекает ось $OY$ в отрицательной части, а ось $OX$ в положительной, он расположен в I, III и IV четвертях.
Ответ: В I, III и IV четвертях.

649. В сплав олова и меди массой 16 кг добавили 2 кг олова. После этого содержание олова в сплаве повысилось на 5%. Сколько олова было в сплаве первоначально?

Обозначим за $x$ первоначальную массу олова в сплаве в килограммах.

Общая масса первоначального сплава составляла 16 кг. Следовательно, концентрация (массовая доля) олова в нем была равна:$c_1 = \frac{x}{16}$

После добавления 2 кг чистого олова, масса олова в сплаве стала $(x + 2)$ кг, а общая масса нового сплава стала $16 + 2 = 18$ кг.

Концентрация олова в новом сплаве стала равна:$c_2 = \frac{x + 2}{18}$

По условию, содержание олова в сплаве повысилось на 5%. Это означает, что новая концентрация на 0,05 (что эквивалентно 5%) больше первоначальной:$c_2 = c_1 + 0.05$

Подставим выражения для концентраций в это уравнение:$\frac{x + 2}{18} = \frac{x}{16} + 0.05$

Для решения этого уравнения перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону:$\frac{x + 2}{18} - \frac{x}{16} = 0.05$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 18 и 16 равно 144.$\frac{8(x + 2)}{144} - \frac{9x}{144} = 0.05$

$\frac{8x + 16 - 9x}{144} = 0.05$

$\frac{16 - x}{144} = 0.05$

Теперь выразим $16 - x$:$16 - x = 0.05 \times 144$

$16 - x = 7.2$

Найдем $x$:$x = 16 - 7.2$

$x = 8.8$

Таким образом, первоначальная масса олова в сплаве составляла 8,8 кг.

Проверим полученный результат.
Первоначальное содержание олова: $\frac{8.8}{16} \times 100\% = 0.55 \times 100\% = 55\%$.
Новое содержание олова: $\frac{8.8 + 2}{16 + 2} \times 100\% = \frac{10.8}{18} \times 100\% = 0.6 \times 100\% = 60\%$.
Разница в содержании: $60\% - 55\% = 5\%$, что соответствует условию задачи.

Ответ: первоначально в сплаве было 8,8 кг олова.

652. Решите графически уравнение $x^2 = 6 - x$.

Для того чтобы решить уравнение $x^2 = 6 - x$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций, соответствующих левой и правой частям уравнения: $y = x^2$ и $y = 6 - x$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков будут являться решениями исходного уравнения.

1. Построение графика функции $y = x^2$

График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0, 0), ветви которой направлены вверх. Для построения найдем координаты нескольких точек, принадлежащих параболе:
При $x = 0, y = 0^2 = 0$, получаем точку (0, 0).
При $x = 1, y = 1^2 = 1$, получаем точку (1, 1).
При $x = -1, y = (-1)^2 = 1$, получаем точку (-1, 1).
При $x = 2, y = 2^2 = 4$, получаем точку (2, 4).
При $x = -2, y = (-2)^2 = 4$, получаем точку (-2, 4).
При $x = -3, y = (-3)^2 = 9$, получаем точку (-3, 9).

2. Построение графика функции $y = 6 - x$

График функции $y = 6 - x$ — это прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек:
При $x = 0, y = 6 - 0 = 6$, получаем точку (0, 6).
При $x = 6, y = 6 - 6 = 0$, получаем точку (6, 0).

3. Нахождение решения

Построим параболу $y = x^2$ и прямую $y = 6 - x$ в одной системе координат. Графики пересекаются в двух точках. Координаты этих точек можно найти на графике, а также проверить аналитически, подставив их в оба уравнения.
Первая точка пересечения имеет координаты $(2, 4)$. Проверим: для параболы $y = 2^2 = 4$; для прямой $y = 6 - 2 = 4$. Координаты верны.
Вторая точка пересечения имеет координаты $(-3, 9)$. Проверим: для параболы $y = (-3)^2 = 9$; для прямой $y = 6 - (-3) = 9$. Координаты верны.
Решениями исходного уравнения являются абсциссы этих точек пересечения. Таким образом, корнями уравнения являются $x = 2$ и $x = -3$.

Ответ: -3; 2.