Страница 136 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

614. Выполните умножение:

а) $2x (x^2 - 7x - 3);$

б) $-4b^2 (5b^2 - 3b - 2);$

в) $(3a^3 - a^2 + a)(-5a^3);$

г) $(y^2 - 2,4y + 6) \cdot 1,5y;$

д) $-0,5x^2 (-2x^2 - 3x + 4);$

е) $(-3y^2 + 0,6y)(-1,5y^3).$

а) Для того чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо воспользоваться распределительным свойством умножения: умножить одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

$2x(x^2 - 7x - 3) = 2x \cdot x^2 + 2x \cdot (-7x) + 2x \cdot (-3)$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются.

$2x \cdot x^2 = 2x^{1+2} = 2x^3$

$2x \cdot (-7x) = -14x^{1+1} = -14x^2$

$2x \cdot (-3) = -6x$

Сложим полученные одночлены:

$2x^3 - 14x^2 - 6x$

Ответ: $2x^3 - 14x^2 - 6x$.

б) Умножим одночлен $-4b^2$ на каждый член многочлена $(5b^2 - 3b - 2)$.

$-4b^2(5b^2 - 3b - 2) = (-4b^2) \cdot (5b^2) + (-4b^2) \cdot (-3b) + (-4b^2) \cdot (-2)$

$(-4b^2) \cdot (5b^2) = -20b^{2+2} = -20b^4$

$(-4b^2) \cdot (-3b) = 12b^{2+1} = 12b^3$

$(-4b^2) \cdot (-2) = 8b^2$

Результат умножения:

$-20b^4 + 12b^3 + 8b^2$

Ответ: $-20b^4 + 12b^3 + 8b^2$.

в) Умножим каждый член многочлена $(3a^3 - a^2 + a)$ на одночлен $(-5a^3)$.

$(3a^3 - a^2 + a)(-5a^3) = 3a^3 \cdot (-5a^3) + (-a^2) \cdot (-5a^3) + a \cdot (-5a^3)$

$3a^3 \cdot (-5a^3) = -15a^{3+3} = -15a^6$

$(-a^2) \cdot (-5a^3) = 5a^{2+3} = 5a^5$

$a \cdot (-5a^3) = -5a^{1+3} = -5a^4$

Суммируя результаты, получаем:

$-15a^6 + 5a^5 - 5a^4$

Ответ: $-15a^6 + 5a^5 - 5a^4$.

г) Умножим многочлен $(y^2 - 2,4y + 6)$ на одночлен $1,5y$.

$(y^2 - 2,4y + 6) \cdot 1,5y = y^2 \cdot (1,5y) + (-2,4y) \cdot (1,5y) + 6 \cdot (1,5y)$

$y^2 \cdot 1,5y = 1,5y^{2+1} = 1,5y^3$

$(-2,4y) \cdot 1,5y = -3,6y^{1+1} = -3,6y^2$

$6 \cdot 1,5y = 9y$

Итоговое выражение:

$1,5y^3 - 3,6y^2 + 9y$

Ответ: $1,5y^3 - 3,6y^2 + 9y$.

д) Выполним умножение одночлена $-0,5x^2$ на многочлен $(-2x^2 - 3x + 4)$.

$-0,5x^2(-2x^2 - 3x + 4) = (-0,5x^2) \cdot (-2x^2) + (-0,5x^2) \cdot (-3x) + (-0,5x^2) \cdot 4$

$(-0,5x^2) \cdot (-2x^2) = 1 \cdot x^{2+2} = x^4$

$(-0,5x^2) \cdot (-3x) = 1,5x^{2+1} = 1,5x^3$

$(-0,5x^2) \cdot 4 = -2x^2$

Объединяем полученные члены:

$x^4 + 1,5x^3 - 2x^2$

Ответ: $x^4 + 1,5x^3 - 2x^2$.

е) Умножим многочлен $(-3y^2 + 0,6y)$ на одночлен $(-1,5y^3)$.

$(-3y^2 + 0,6y)(-1,5y^3) = (-3y^2) \cdot (-1,5y^3) + (0,6y) \cdot (-1,5y^3)$

$(-3y^2) \cdot (-1,5y^3) = 4,5y^{2+3} = 4,5y^5$

$(0,6y) \cdot (-1,5y^3) = -0,9y^{1+3} = -0,9y^4$

Итоговый многочлен:

$4,5y^5 - 0,9y^4$

Ответ: $4,5y^5 - 0,9y^4$.

617. Выполните умножение:

а) $ -3x^2(-x^3 + x - 5); $

б) $ (1 + 2a - a^2) \cdot 5a; $

в) $ \frac{2}{3} x^2y (15x - 0,9y + 6); $

г) $ 3a^4x (a^2 - 2ax + x^3 - 1); $

д) $ (x^2y - xy + xy^2 + y^3) \cdot 3xy^2; $

е) $ -\frac{3}{7} a^4 (2,1b^2 - 0,7a + 35). $

а) Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить (алгебраически).

$-3x^2(-x^3 + x - 5) = (-3x^2) \cdot (-x^3) + (-3x^2) \cdot x + (-3x^2) \cdot (-5)$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Выполним умножение для каждого члена:

$(-3x^2) \cdot (-x^3) = (-3) \cdot (-1) \cdot x^{2+3} = 3x^5$

$(-3x^2) \cdot x = (-3) \cdot 1 \cdot x^{2+1} = -3x^3$

$(-3x^2) \cdot (-5) = (-3) \cdot (-5) \cdot x^2 = 15x^2$

Сложим полученные одночлены:

$3x^5 - 3x^3 + 15x^2$

Ответ: $3x^5 - 3x^3 + 15x^2$

б) В данном случае множитель стоит после скобок, но правило остается тем же: каждый член многочлена в скобках умножается на одночлен $5a$.

$(1 + 2a - a^2) \cdot 5a = 1 \cdot 5a + 2a \cdot 5a + (-a^2) \cdot 5a$

Выполним умножение для каждого члена:

$1 \cdot 5a = 5a$

$2a \cdot 5a = (2 \cdot 5) \cdot a^{1+1} = 10a^2$

$(-a^2) \cdot 5a = (-1 \cdot 5) \cdot a^{2+1} = -5a^3$

Сложим полученные одночлены и запишем результат в стандартном виде (в порядке убывания степеней):

$5a + 10a^2 - 5a^3 = -5a^3 + 10a^2 + 5a$

Ответ: $-5a^3 + 10a^2 + 5a$

в) Умножим дробный одночлен на каждый член многочлена в скобках.

$\frac{2}{3}x^2y(15x - 0,9y + 6) = (\frac{2}{3}x^2y) \cdot (15x) + (\frac{2}{3}x^2y) \cdot (-0,9y) + (\frac{2}{3}x^2y) \cdot 6$

Выполним умножение для каждого члена. Десятичную дробь $0,9$ можно представить как обыкновенную $\frac{9}{10}$ для удобства вычислений.

$(\frac{2}{3}x^2y) \cdot (15x) = (\frac{2}{3} \cdot 15) \cdot x^{2+1}y = \frac{30}{3}x^3y = 10x^3y$

$(\frac{2}{3}x^2y) \cdot (-0,9y) = (\frac{2}{3} \cdot (-\frac{9}{10})) \cdot x^2y^{1+1} = -\frac{18}{30}x^2y^2 = -\frac{3}{5}x^2y^2 = -0,6x^2y^2$

$(\frac{2}{3}x^2y) \cdot 6 = (\frac{2}{3} \cdot 6) \cdot x^2y = \frac{12}{3}x^2y = 4x^2y$

Сложим полученные результаты:

$10x^3y - 0,6x^2y^2 + 4x^2y$

Ответ: $10x^3y - 0,6x^2y^2 + 4x^2y$

г) Применим распределительный закон, умножив одночлен $3a^4x$ на каждый из четырех членов многочлена.

$3a^4x(a^2 - 2ax + x^3 - 1) = (3a^4x) \cdot a^2 + (3a^4x) \cdot (-2ax) + (3a^4x) \cdot x^3 + (3a^4x) \cdot (-1)$

Выполним умножение для каждого члена:

$(3a^4x) \cdot a^2 = 3a^{4+2}x = 3a^6x$

$(3a^4x) \cdot (-2ax) = (3 \cdot (-2)) \cdot a^{4+1}x^{1+1} = -6a^5x^2$

$(3a^4x) \cdot x^3 = 3a^4x^{1+3} = 3a^4x^4$

$(3a^4x) \cdot (-1) = -3a^4x$

Сложим полученные одночлены:

$3a^6x - 6a^5x^2 + 3a^4x^4 - 3a^4x$

Ответ: $3a^6x - 6a^5x^2 + 3a^4x^4 - 3a^4x$

д) Умножим каждый член многочлена на одночлен $3xy^2$.

$(x^2y - xy + xy^2 + y^3) \cdot 3xy^2 = (x^2y) \cdot (3xy^2) + (-xy) \cdot (3xy^2) + (xy^2) \cdot (3xy^2) + (y^3) \cdot (3xy^2)$

Выполним умножение для каждого члена:

$(x^2y) \cdot (3xy^2) = 3x^{2+1}y^{1+2} = 3x^3y^3$

$(-xy) \cdot (3xy^2) = -3x^{1+1}y^{1+2} = -3x^2y^3$

$(xy^2) \cdot (3xy^2) = 3x^{1+1}y^{2+2} = 3x^2y^4$

$(y^3) \cdot (3xy^2) = 3xy^{3+2} = 3xy^5$

Сложим полученные одночлены:

$3x^3y^3 - 3x^2y^3 + 3x^2y^4 + 3xy^5$

Ответ: $3x^3y^3 - 3x^2y^3 + 3x^2y^4 + 3xy^5$

е) Умножим одночлен на каждый член многочлена. Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $2,1 = \frac{21}{10}$ и $0,7 = \frac{7}{10}$.

$-\frac{3}{7}a^4(2,1b^2 - 0,7a + 35) = (-\frac{3}{7}a^4) \cdot (2,1b^2) + (-\frac{3}{7}a^4) \cdot (-0,7a) + (-\frac{3}{7}a^4) \cdot 35$

Выполним умножение для каждого члена:

$(-\frac{3}{7}a^4) \cdot (\frac{21}{10}b^2) = (-\frac{3 \cdot 21}{7 \cdot 10})a^4b^2 = (-\frac{3 \cdot 3}{1 \cdot 10})a^4b^2 = -\frac{9}{10}a^4b^2 = -0,9a^4b^2$

$(-\frac{3}{7}a^4) \cdot (-\frac{7}{10}a) = (\frac{3 \cdot 7}{7 \cdot 10})a^{4+1} = \frac{3}{10}a^5 = 0,3a^5$

$(-\frac{3}{7}a^4) \cdot 35 = (-\frac{3 \cdot 35}{7})a^4 = (-3 \cdot 5)a^4 = -15a^4$

Сложим полученные одночлены и запишем результат в стандартном виде (в порядке убывания степеней $a$):

$0,3a^5 - 0,9a^4b^2 - 15a^4$

Ответ: $0,3a^5 - 0,9a^4b^2 - 15a^4$

615. Преобразуйте произведение в многочлен:

а) $3ab(a^2 - 2ab + b^2)$;

б) $-x^2y(x^2y^2 - x^2 - y^2)$;

в) $2,5a^2b(4a^2 - 2ab + 0,2b^2)$;

г) $(-2ax^2 + 3ax - a^2)(-a^2x^2)$;

д) $(6,3x^3y - 3y^2 - 0,7x) \cdot 10x^2y^2$;

е) $-1,4p^2q^6(5p^3q - 1,5pq^2 - 2q^3)$.

а) Чтобы преобразовать произведение одночлена на многочлен в многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Это называется распределительным свойством умножения.
Применим это правило к выражению $3ab(a^2 - 2ab + b^2)$:
$3ab(a^2 - 2ab + b^2) = 3ab \cdot a^2 + 3ab \cdot (-2ab) + 3ab \cdot b^2$
Выполним умножение одночленов. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются.
$3ab \cdot a^2 = 3a^{1+2}b = 3a^3b$
$3ab \cdot (-2ab) = (3 \cdot -2)a^{1+1}b^{1+1} = -6a^2b^2$
$3ab \cdot b^2 = 3ab^{1+2} = 3ab^3$
Сложим полученные одночлены:
$3a^3b - 6a^2b^2 + 3ab^3$
Ответ: $3a^3b - 6a^2b^2 + 3ab^3$.

б) Умножим одночлен $-x^2y$ на каждый член многочлена $(x^2y^2 - x^2 - y^2)$.
$-x^2y(x^2y^2 - x^2 - y^2) = (-x^2y) \cdot (x^2y^2) + (-x^2y) \cdot (-x^2) + (-x^2y) \cdot (-y^2)$
Выполним умножение:
$(-x^2y) \cdot (x^2y^2) = -x^{2+2}y^{1+2} = -x^4y^3$
$(-x^2y) \cdot (-x^2) = (-1 \cdot -1)x^{2+2}y = x^4y$
$(-x^2y) \cdot (-y^2) = (-1 \cdot -1)x^2y^{1+2} = x^2y^3$
Результатом является многочлен:
$-x^4y^3 + x^4y + x^2y^3$
Ответ: $-x^4y^3 + x^4y + x^2y^3$.

в) Умножим одночлен $2.5a^2b$ на каждый член многочлена $(4a^2 - 2ab + 0.2b^2)$.
$2.5a^2b(4a^2 - 2ab + 0.2b^2) = 2.5a^2b \cdot 4a^2 + 2.5a^2b \cdot (-2ab) + 2.5a^2b \cdot 0.2b^2$
Выполним вычисления:
$2.5a^2b \cdot 4a^2 = (2.5 \cdot 4)a^{2+2}b = 10a^4b$
$2.5a^2b \cdot (-2ab) = (2.5 \cdot -2)a^{2+1}b^{1+1} = -5a^3b^2$
$2.5a^2b \cdot 0.2b^2 = (2.5 \cdot 0.2)a^2b^{1+2} = 0.5a^2b^3$
Итоговый многочлен:
$10a^4b - 5a^3b^2 + 0.5a^2b^3$
Ответ: $10a^4b - 5a^3b^2 + 0.5a^2b^3$.

г) В данном случае одночлен стоит после многочлена, но правило остается тем же. Умножим каждый член многочлена $(-2ax^2 + 3ax - a^2)$ на одночлен $(-a^2x^2)$.
$(-2ax^2 + 3ax - a^2)(-a^2x^2) = (-2ax^2) \cdot (-a^2x^2) + (3ax) \cdot (-a^2x^2) + (-a^2) \cdot (-a^2x^2)$
Выполним умножение одночленов:
$(-2ax^2) \cdot (-a^2x^2) = (-2 \cdot -1)a^{1+2}x^{2+2} = 2a^3x^4$
$(3ax) \cdot (-a^2x^2) = (3 \cdot -1)a^{1+2}x^{1+2} = -3a^3x^3$
$(-a^2) \cdot (-a^2x^2) = (-1 \cdot -1)a^{2+2}x^2 = a^4x^2$
Полученный многочлен:
$2a^3x^4 - 3a^3x^3 + a^4x^2$
Ответ: $2a^3x^4 - 3a^3x^3 + a^4x^2$.

д) Умножим каждый член многочлена $(6.3x^3y - 3y^2 - 0.7x)$ на одночлен $10x^2y^2$.
$(6.3x^3y - 3y^2 - 0.7x) \cdot 10x^2y^2 = (6.3x^3y) \cdot (10x^2y^2) + (-3y^2) \cdot (10x^2y^2) + (-0.7x) \cdot (10x^2y^2)$
Выполним вычисления:
$(6.3x^3y) \cdot (10x^2y^2) = (6.3 \cdot 10)x^{3+2}y^{1+2} = 63x^5y^3$
$(-3y^2) \cdot (10x^2y^2) = (-3 \cdot 10)x^2y^{2+2} = -30x^2y^4$
$(-0.7x) \cdot (10x^2y^2) = (-0.7 \cdot 10)x^{1+2}y^2 = -7x^3y^2$
Результат: $63x^5y^3 - 30x^2y^4 - 7x^3y^2$. Запишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степени переменной $x$:
$63x^5y^3 - 7x^3y^2 - 30x^2y^4$
Ответ: $63x^5y^3 - 7x^3y^2 - 30x^2y^4$.

е) Умножим одночлен $-1.4p^2q^6$ на каждый член многочлена $(5p^3q - 1.5pq^2 - 2q^3)$.
$-1.4p^2q^6(5p^3q - 1.5pq^2 - 2q^3) = (-1.4p^2q^6) \cdot (5p^3q) + (-1.4p^2q^6) \cdot (-1.5pq^2) + (-1.4p^2q^6) \cdot (-2q^3)$
Выполним умножение:
$(-1.4p^2q^6) \cdot (5p^3q) = (-1.4 \cdot 5)p^{2+3}q^{6+1} = -7p^5q^7$
$(-1.4p^2q^6) \cdot (-1.5pq^2) = (-1.4 \cdot -1.5)p^{2+1}q^{6+2} = 2.1p^3q^8$
$(-1.4p^2q^6) \cdot (-2q^3) = (-1.4 \cdot -2)p^2q^{6+3} = 2.8p^2q^9$
Итоговый многочлен:
$-7p^5q^7 + 2.1p^3q^8 + 2.8p^2q^9$
Ответ: $-7p^5q^7 + 2.1p^3q^8 + 2.8p^2q^9$.

618. Упростите выражение и найдите его значение:

а) $3(2x - 1) + 5(3 - x)$ при $x = -1,5;$

б) $25a - 4(3a - 1) + 7(5 - 2a)$ при $a = 11;$

в) $4y - 2(10y - 1) + (8y - 2)$ при $y = -0,1;$

г) $12(2 - 3p) + 35p - 9(p + 1)$ при $p = 2.$

а) Сначала упростим выражение $3(2x - 1) + 5(3 - x)$.

Для этого раскроем скобки, умножив число перед скобкой на каждый член внутри скобки:

$3 \cdot 2x - 3 \cdot 1 + 5 \cdot 3 - 5 \cdot x = 6x - 3 + 15 - 5x$

Теперь приведем подобные слагаемые (члены с $x$ и свободные члены):

$(6x - 5x) + (-3 + 15) = x + 12$

Подставим значение $x = -1,5$ в упрощенное выражение:

$-1,5 + 12 = 10,5$

Ответ: 10,5.

б) Упростим выражение $25a - 4(3a - 1) + 7(5 - 2a)$.

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки:

$25a - 4 \cdot 3a - 4 \cdot (-1) + 7 \cdot 5 + 7 \cdot (-2a) = 25a - 12a + 4 + 35 - 14a$

Приведем подобные слагаемые:

$(25a - 12a - 14a) + (4 + 35) = (25a - 26a) + 39 = -a + 39$

Подставим значение $a = 11$ в полученное выражение:

$-11 + 39 = 28$

Ответ: 28.

в) Упростим выражение $4y - 2(10y - 1) + (8y - 2)$.

Раскроем скобки:

$4y - 2 \cdot 10y - 2 \cdot (-1) + 8y - 2 = 4y - 20y + 2 + 8y - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$(4y - 20y + 8y) + (2 - 2) = -8y$

Подставим значение $y = -0,1$ в упрощенное выражение:

$-8 \cdot (-0,1) = 0,8$

Ответ: 0,8.

г) Упростим выражение $12(2 - 3p) + 35p - 9(p + 1)$.

Раскроем скобки:

$12 \cdot 2 - 12 \cdot 3p + 35p - 9 \cdot p - 9 \cdot 1 = 24 - 36p + 35p - 9p - 9$

Приведем подобные слагаемые:

$(-36p + 35p - 9p) + (24 - 9) = -10p + 15$

Подставим значение $p = 2$ в полученное выражение:

$-10 \cdot 2 + 15 = -20 + 15 = -5$

Ответ: -5.

616. Представьте в виде многочлена:

а) $ \frac{2}{7} x (1.4x^2 - 3.5y) $

б) $ -\frac{1}{3} c^2 (1.2d^2 - 6c) $

в) $ \frac{1}{2} ab \left(\frac{2}{3} a^2 - \frac{3}{4} ab + \frac{4}{5} b^2\right) $

г) $ -\frac{2}{5} a^2 y^5 \left(5ay^2 - \frac{1}{2} a^2 y - \frac{5}{6} a^3\right) $

а) Чтобы представить выражение в виде многочлена, нужно умножить одночлен, стоящий перед скобками, на каждый член многочлена в скобках. Для удобства вычислений преобразуем десятичные дроби в обыкновенные:

$1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$

$3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$

Выполним умножение:

$\frac{2}{7}x(1,4x^2 - 3,5y) = \frac{2}{7}x(\frac{7}{5}x^2 - \frac{7}{2}y) = \frac{2}{7}x \cdot \frac{7}{5}x^2 - \frac{2}{7}x \cdot \frac{7}{2}y = \frac{2 \cdot 7}{7 \cdot 5}x^{1+2} - \frac{2 \cdot 7}{7 \cdot 2}xy = \frac{2}{5}x^3 - xy$

Переведем коэффициент $\frac{2}{5}$ обратно в десятичную дробь: $\frac{2}{5} = 0,4$.

Ответ: $0,4x^3 - xy$.

б) Умножим одночлен $-\frac{1}{3}c^2$ на каждый член многочлена $(1,2d^2 - 6c)$. Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:

$1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

Выполним умножение:

$-\frac{1}{3}c^2(1,2d^2 - 6c) = -\frac{1}{3}c^2(\frac{6}{5}d^2 - 6c) = (-\frac{1}{3}c^2) \cdot \frac{6}{5}d^2 - (-\frac{1}{3}c^2) \cdot 6c = -\frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 5}c^2d^2 + \frac{6}{3}c^{2+1} = -\frac{2}{5}c^2d^2 + 2c^3$

Переведем коэффициент $-\frac{2}{5}$ в десятичную дробь: $-\frac{2}{5} = -0,4$.

Ответ: $-0,4c^2d^2 + 2c^3$.

в) Умножим одночлен $\frac{1}{2}ab$ на каждый член многочлена $(\frac{2}{3}a^2 - \frac{3}{4}ab + \frac{4}{5}b^2)$.

$\frac{1}{2}ab(\frac{2}{3}a^2 - \frac{3}{4}ab + \frac{4}{5}b^2) = \frac{1}{2}ab \cdot \frac{2}{3}a^2 + \frac{1}{2}ab \cdot (-\frac{3}{4}ab) + \frac{1}{2}ab \cdot \frac{4}{5}b^2$

Выполним почленное умножение:

$\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3}a^{1+2}b - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}a^{1+1}b^{1+1} + \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 5}ab^{1+2} = \frac{2}{6}a^3b - \frac{3}{8}a^2b^2 + \frac{4}{10}ab^3$

Сократим дроби и получим окончательный вид многочлена:

$\frac{1}{3}a^3b - \frac{3}{8}a^2b^2 + \frac{2}{5}ab^3$

Ответ: $\frac{1}{3}a^3b - \frac{3}{8}a^2b^2 + \frac{2}{5}ab^3$.

г) Умножим одночлен $-\frac{2}{5}a^2y^5$ на каждый член многочлена $(5ay^2 - \frac{1}{2}a^2y - \frac{5}{6}a^3)$.

$-\frac{2}{5}a^2y^5(5ay^2 - \frac{1}{2}a^2y - \frac{5}{6}a^3) = (-\frac{2}{5}a^2y^5) \cdot (5ay^2) + (-\frac{2}{5}a^2y^5) \cdot (-\frac{1}{2}a^2y) + (-\frac{2}{5}a^2y^5) \cdot (-\frac{5}{6}a^3)$

Выполним почленное умножение:

$-\frac{2 \cdot 5}{5}a^{2+1}y^{5+2} + \frac{2 \cdot 1}{5 \cdot 2}a^{2+2}y^{5+1} + \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 6}a^{2+3}y^5 = -2a^3y^7 + \frac{2}{10}a^4y^6 + \frac{10}{30}a^5y^5$

Сократим дроби:

$-2a^3y^7 + \frac{1}{5}a^4y^6 + \frac{1}{3}a^5y^5$

Расположим члены многочлена в порядке убывания степени переменной $a$:

$\frac{1}{3}a^5y^5 + \frac{1}{5}a^4y^6 - 2a^3y^7$

Ответ: $\frac{1}{3}a^5y^5 + \frac{1}{5}a^4y^6 - 2a^3y^7$.

619. Представьте в виде многочлена:

a) $14b + 1 - 6(2 - 11b);$

б) $25(2 - 3c) + 16(5c - 1);$

в) $14(7x - 1) - 7(14x + 1);$

г) $36(2 - y) - 6(5 - 2y).$

а)

Чтобы представить выражение $14b + 1 - 6(2 - 11b)$ в виде многочлена, необходимо выполнить два шага: раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

1. Раскроем скобки. Для этого умножим множитель $-6$ на каждый член в скобках $(2 - 11b)$:
$-6 \cdot 2 = -12$
$-6 \cdot (-11b) = 66b$
После раскрытия скобок исходное выражение примет вид:
$14b + 1 - 12 + 66b$

2. Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены, содержащие переменную $b$, и числовые члены (константы):
$(14b + 66b) + (1 - 12)$
Складываем коэффициенты при $b$: $14 + 66 = 80$.
Складываем константы: $1 - 12 = -11$.
Получаем многочлен:
$80b - 11$

Ответ: $80b - 11$

б)

Чтобы представить выражение $25(2 - 3c) + 16(5c - 1)$ в виде многочлена, раскроем обе пары скобок и приведем подобные слагаемые.

1. Раскроем первую пару скобок, умножив $25$ на $(2 - 3c)$:
$25 \cdot 2 - 25 \cdot 3c = 50 - 75c$
Раскроем вторую пару скобок, умножив $16$ на $(5c - 1)$:
$16 \cdot 5c - 16 \cdot 1 = 80c - 16$
Теперь подставим раскрытые скобки в исходное выражение:
$50 - 75c + 80c - 16$

2. Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с переменной $c$ и константы:
$(-75c + 80c) + (50 - 16)$
Складываем коэффициенты при $c$: $-75 + 80 = 5$.
Складываем константы: $50 - 16 = 34$.
Получаем многочлен:
$5c + 34$

Ответ: $5c + 34$

в)

Чтобы представить выражение $14(7x - 1) - 7(14x + 1)$ в виде многочлена, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

1. Раскроем скобки в каждом слагаемом:
$14(7x - 1) = 14 \cdot 7x - 14 \cdot 1 = 98x - 14$
$-7(14x + 1) = -7 \cdot 14x - 7 \cdot 1 = -98x - 7$
Подставим полученные выражения обратно:
$98x - 14 - 98x - 7$

2. Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с переменной $x$ и константы:
$(98x - 98x) + (-14 - 7)$
Складываем коэффициенты при $x$: $98 - 98 = 0$.
Складываем константы: $-14 - 7 = -21$.
Члены с $x$ взаимно уничтожаются, остается только константа:
$-21$

Ответ: $-21$

г)

Чтобы представить выражение $36(2 - y) - 6(5 - 2y)$ в виде многочлена, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

1. Раскроем обе пары скобок:
$36(2 - y) = 36 \cdot 2 - 36 \cdot y = 72 - 36y$
$-6(5 - 2y) = -6 \cdot 5 - 6 \cdot (-2y) = -30 + 12y$
Теперь запишем выражение с раскрытыми скобками:
$72 - 36y - 30 + 12y$

2. Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с переменной $y$ и константы:
$(-36y + 12y) + (72 - 30)$
Складываем коэффициенты при $y$: $-36 + 12 = -24$.
Складываем константы: $72 - 30 = 42$.
Получаем многочлен:
$42 - 24y$

Ответ: $42 - 24y$