Страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

586. Даны два многочлена: $2a^3 - 5a + 5$ и $a^3 - 4a - 2$. Упростите:

а) сумму этих многочленов;

б) разность первого и второго многочленов;

в) разность второго и первого многочленов.

а) сумму этих многочленов;

Чтобы найти сумму многочленов, сложим их и приведем подобные слагаемые. Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью.
$(2a^3 - 5a + 5) + (a^3 - 4a - 2) = 2a^3 - 5a + 5 + a^3 - 4a - 2$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(2a^3 + a^3) + (-5a - 4a) + (5 - 2)$
Выполним сложение и вычитание в каждой группе:
$3a^3 - 9a + 3$
Ответ: $3a^3 - 9a + 3$.

б) разность первого и второго многочленов;

Чтобы найти разность, вычтем второй многочлен из первого. При вычитании многочлена (раскрытии скобок, перед которыми стоит знак "минус") знаки всех его членов меняются на противоположные.
$(2a^3 - 5a + 5) - (a^3 - 4a - 2) = 2a^3 - 5a + 5 - a^3 + 4a + 2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(2a^3 - a^3) + (-5a + 4a) + (5 + 2)$
Выполним действия в каждой группе:
$a^3 - a + 7$
Ответ: $a^3 - a + 7$.

в) разность второго и первого многочленов.

Теперь вычтем первый многочлен из второго.
$(a^3 - 4a - 2) - (2a^3 - 5a + 5) = a^3 - 4a - 2 - 2a^3 + 5a - 5$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(a^3 - 2a^3) + (-4a + 5a) + (-2 - 5)$
Выполним действия в каждой группе:
$-a^3 + a - 7$
Ответ: $-a^3 + a - 7$.

589. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:

а) $18x^2 - (10x - 5 + 18x^2);$

б) $-12c^2 + 5c + (c + 11c^2);$

в) $(b^2 + b - 1) - (b^2 - b + 1);$

г) $(15 - 7y^2) - (y^3 - y^2 - 15).$

а) Чтобы преобразовать выражение $18x^2 - (10x - 5 + 18x^2)$ в многочлен стандартного вида, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки всех членов внутри скобок меняются на противоположные:

$18x^2 - (10x - 5 + 18x^2) = 18x^2 - 10x + 5 - 18x^2$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(18x^2 - 18x^2) - 10x + 5$

Выполним вычитание:

$0 - 10x + 5 = -10x + 5$

Полученный многочлен записан в стандартном виде.

Ответ: $-10x + 5$

б) Чтобы преобразовать выражение $-12c^2 + 5c + (c + 11c^2)$ в многочлен стандартного вида, раскроем скобки. Поскольку перед скобками стоит знак плюс, знаки членов внутри скобок не изменяются:

$-12c^2 + 5c + c + 11c^2$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-12c^2 + 11c^2) + (5c + c)$

Выполним сложение в каждой группе:

$-c^2 + 6c$

Полученный многочлен записан в стандартном виде.

Ответ: $-c^2 + 6c$

в) Чтобы преобразовать выражение $(b^2 + b - 1) - (b^2 - b + 1)$ в многочлен стандартного вида, раскроем скобки. Знаки членов во второй скобке меняются на противоположные, так как перед ней стоит знак минус:

$b^2 + b - 1 - b^2 + b - 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(b^2 - b^2) + (b + b) + (-1 - 1)$

Выполним действия в каждой группе:

$0 + 2b - 2 = 2b - 2$

Полученный многочлен записан в стандартном виде.

Ответ: $2b - 2$

г) Чтобы преобразовать выражение $(15 - 7y^2) - (y^3 - y^2 - 15)$ в многочлен стандартного вида, раскроем скобки, изменив знаки членов во второй скобке на противоположные:

$15 - 7y^2 - y^3 + y^2 + 15$

Для приведения к стандартному виду расположим члены в порядке убывания степеней переменной $y$ и сгруппируем подобные:

$-y^3 + (-7y^2 + y^2) + (15 + 15)$

Выполним действия в каждой группе:

$-y^3 - 6y^2 + 30$

Полученный многочлен записан в стандартном виде.

Ответ: $-y^3 - 6y^2 + 30$

592. Докажите, что выражение:

а) $(x - y) + (y - z) + (z - x)$ тождественно равно 0;

б) $(a^2 - 5ab) - (7 - 3ab) + (2ab - a^2)$ тождественно равно -7.

а)

Чтобы доказать, что выражение $(x - y) + (y - z) + (z - x)$ тождественно равно 0, нужно его упростить. Для этого раскроем скобки. Так как перед всеми скобками стоит знак плюс (или знак отсутствует, что эквивалентно плюсу), знаки слагаемых внутри скобок не меняются:

$(x - y) + (y - z) + (z - x) = x - y + y - z + z - x$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

$(x - x) + (y - y) + (z - z)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$0 + 0 + 0 = 0$

Значение выражения не зависит от значений переменных $x$, $y$ и $z$ и всегда равно 0. Следовательно, выражение тождественно равно 0, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

Чтобы доказать, что выражение $(a^2 - 5ab) - (7 - 3ab) + (2ab - a^2)$ тождественно равно -7, нужно его упростить. Раскроем скобки. Перед первыми и третьими скобками стоит знак плюс, поэтому знаки слагаемых внутри них не меняем. Перед вторыми скобками стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых внутри них меняем на противоположные:

$(a^2 - 5ab) - (7 - 3ab) + (2ab - a^2) = a^2 - 5ab - 7 + 3ab + 2ab - a^2$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-5ab + 3ab + 2ab) - 7$

Выполним вычисления в каждой группе:

$0 + ((-5 + 3 + 2)ab) - 7 = 0 + (0 \cdot ab) - 7 = 0 + 0 - 7 = -7$

Значение выражения не зависит от значений переменных $a$ и $b$ и всегда равно -7. Следовательно, выражение тождественно равно -7, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

587. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:

а) $ (1 + 3a) + (a^2 - 2a); $

б) $ (2x^2 + 3x) + (-x + 4); $

в) $ (y^2 - 5y) + (5y - 2y^2); $

г) $ (b^2 - b + 7) - (b^2 + b + 8); $

д) $ (8n^3 - 3n^2) - (7 + 8n^3 - 2n^2); $

е) $ (a^2 + 5a + 4) - (a^2 + 5a - 4). $

а) Чтобы преобразовать выражение $(1 + 3a) + (a^2 - 2a)$ в многочлен стандартного вида, необходимо сначала раскрыть скобки. Так как перед обеими скобками стоит знак плюс (или он отсутствует, что эквивалентно плюсу), знаки слагаемых внутри скобок не меняются:
$1 + 3a + a^2 - 2a$.
Далее, приведем подобные слагаемые, то есть слагаемые с одинаковой буквенной частью. Сгруппируем их:
$a^2 + (3a - 2a) + 1$.
Выполним действия в скобках:
$a^2 + a + 1$.
Многочлен записан в стандартном виде, так как его члены (одночлены) расположены в порядке убывания степеней переменной.
Ответ: $a^2 + a + 1$.

б) Раскроем скобки в выражении $(2x^2 + 3x) + (-x + 4)$. Перед второй скобкой стоит знак плюс, поэтому знаки слагаемых внутри нее сохраняются:
$2x^2 + 3x - x + 4$.
Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 + (3x - x) + 4 = 2x^2 + 2x + 4$.
Полученный многочлен записан в стандартном виде.
Ответ: $2x^2 + 2x + 4$.

в) Раскроем скобки в выражении $(y^2 - 5y) + (5y - 2y^2)$:
$y^2 - 5y + 5y - 2y^2$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(y^2 - 2y^2) + (-5y + 5y) = -y^2 + 0 = -y^2$.
Ответ: $-y^2$.

г) Чтобы преобразовать выражение $(b^2 - b + 7) - (b^2 + b + 8)$, раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых внутри нее нужно изменить на противоположные:
$b^2 - b + 7 - b^2 - b - 8$.
Приведем подобные слагаемые:
$(b^2 - b^2) + (-b - b) + (7 - 8) = 0 - 2b - 1 = -2b - 1$.
Ответ: $-2b - 1$.

д) Раскроем скобки в выражении $(8n^3 - 3n^2) - (7 + 8n^3 - 2n^2)$. Знак минус перед второй скобкой меняет знаки слагаемых в ней на противоположные:
$8n^3 - 3n^2 - 7 - 8n^3 + 2n^2$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые, расположив их по убыванию степеней:
$(8n^3 - 8n^3) + (-3n^2 + 2n^2) - 7 = 0 - n^2 - 7 = -n^2 - 7$.
Ответ: $-n^2 - 7$.

е) Раскроем скобки в выражении $(a^2 + 5a + 4) - (a^2 + 5a - 4)$, меняя знаки во второй скобке из-за знака минус перед ней:
$a^2 + 5a + 4 - a^2 - 5a + 4$.
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (5a - 5a) + (4 + 4) = 0 + 0 + 8 = 8$.
Ответ: $8$.

590. Найдите сумму и разность многочленов:

а) $a + b$ и $a - b$;

б) $a - b$ и $a + b$;

в) $-a - b$ и $a - b$;

г) $a - b$ и $b - a$.

а)

Даны многочлены $a + b$ и $a - b$.

Сумма:
Чтобы найти сумму, сложим многочлены, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
$(a + b) + (a - b) = a + b + a - b = (a + a) + (b - b) = 2a$.

Разность:
Чтобы найти разность, вычтем второй многочлен из первого. При вычитании многочлена в скобках, знаки всех его членов меняются на противоположные.
$(a + b) - (a - b) = a + b - a + b = (a - a) + (b + b) = 2b$.

Ответ: сумма равна $2a$, разность равна $2b$.

б)

Даны многочлены $a - b$ и $a + b$.

Сумма:
Сложим многочлены и приведем подобные слагаемые:
$(a - b) + (a + b) = a - b + a + b = (a + a) + (-b + b) = 2a$.

Разность:
Вычтем второй многочлен из первого и приведем подобные слагаемые:
$(a - b) - (a + b) = a - b - a - b = (a - a) + (-b - b) = -2b$.

Ответ: сумма равна $2a$, разность равна $-2b$.

в)

Даны многочлены $-a - b$ и $a - b$.

Сумма:
Сложим многочлены и приведем подобные слагаемые:
$(-a - b) + (a - b) = -a - b + a - b = (-a + a) + (-b - b) = -2b$.

Разность:
Вычтем второй многочлен из первого и приведем подобные слагаемые:
$(-a - b) - (a - b) = -a - b - a + b = (-a - a) + (-b + b) = -2a$.

Ответ: сумма равна $-2b$, разность равна $-2a$.

г)

Даны многочлены $a - b$ и $b - a$.

Сумма:
Сложим многочлены и приведем подобные слагаемые:
$(a - b) + (b - a) = a - b + b - a = (a - a) + (-b + b) = 0$.

Разность:
Вычтем второй многочлен из первого и приведем подобные слагаемые:
$(a - b) - (b - a) = a - b - b + a = (a + a) + (-b - b) = 2a - 2b$.

Ответ: сумма равна $0$, разность равна $2a - 2b$.

585. a) Составьте сумму многочленов $4x^3 - 5x - 7$ и $x^3 - 8x$ и преобразуйте её в многочлен стандартного вида.

б) Составьте разность многочленов $5y^2 - 9$ и $7y^2 - y + 5$ и преобразуйте её в многочлен стандартного вида.

а) Чтобы составить сумму многочленов, нужно сложить их, а затем преобразовать в многочлен стандартного вида, то есть привести подобные слагаемые и расположить их в порядке убывания степеней.

Запишем сумму заданных многочленов $4x^3 - 5x - 7$ и $x^3 - 8x$:

$(4x^3 - 5x - 7) + (x^3 - 8x)$

Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак плюс (или знака нет), знаки слагаемых не меняются:

$4x^3 - 5x - 7 + x^3 - 8x$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые (одночлены с одинаковой буквенной частью):

$(4x^3 + x^3) + (-5x - 8x) - 7$

Выполним сложение в каждой группе:

$5x^3 - 13x - 7$

Полученный многочлен записан в стандартном виде.

Ответ: $5x^3 - 13x - 7$

б) Чтобы составить разность многочленов, нужно из первого многочлена вычесть второй. При преобразовании в многочлен стандартного вида нужно также привести подобные слагаемые и расположить их в порядке убывания степеней.

Запишем разность многочленов $5y^2 - 9$ и $7y^2 - y + 5$:

$(5y^2 - 9) - (7y^2 - y + 5)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные:

$5y^2 - 9 - 7y^2 + y - 5$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(5y^2 - 7y^2) + y + (-9 - 5)$

Выполним действия в каждой группе:

$-2y^2 + y - 14$

Полученный многочлен записан в стандартном виде.

Ответ: $-2y^2 + y - 14$

588. Упростите выражение:

а) $5,2a - (4,5a + 4,8a^2)$;

б) $8x^2 + (4,5 - x^2) - (5,4x^2 - 1)$;

в) $-0,8b^2 + 7,4b + (5,6b - 0,2b^2)$;

г) $(7,3y - y^2 + 4) + 0,5y^2 - (8,7y - 2,4y^2)$.

а) Чтобы упростить выражение $5,2a - (4,5a + 4,8a^2)$, нужно сначала раскрыть скобки. Так как перед скобками стоит знак «минус», знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$5,2a - (4,5a + 4,8a^2) = 5,2a - 4,5a - 4,8a^2$

Теперь приведем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой буквенной частью):

$(5,2a - 4,5a) - 4,8a^2 = (5,2 - 4,5)a - 4,8a^2 = 0,7a - 4,8a^2$

Запишем многочлен в стандартном виде, расположив слагаемые по убыванию степеней переменной:

$-4,8a^2 + 0,7a$

Ответ: $-4,8a^2 + 0,7a$

б) Чтобы упростить выражение $8x^2 + (4,5 - x^2) - (5,4x^2 - 1)$, раскроем скобки. Перед первыми скобками стоит знак «плюс», поэтому знаки слагаемых не меняются. Перед вторыми скобками стоит знак «минус», поэтому знаки слагаемых меняются на противоположные:

$8x^2 + 4,5 - x^2 - 5,4x^2 + 1$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(8x^2 - x^2 - 5,4x^2) + (4,5 + 1)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$(8 - 1 - 5,4)x^2 + (4,5 + 1) = 1,6x^2 + 5,5$

Ответ: $1,6x^2 + 5,5$

в) Чтобы упростить выражение $-0,8b^2 + 7,4b + (5,6b - 0,2b^2)$, раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак «плюс», знаки слагаемых внутри не меняются:

$-0,8b^2 + 7,4b + 5,6b - 0,2b^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-0,8b^2 - 0,2b^2) + (7,4b + 5,6b)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$(-0,8 - 0,2)b^2 + (7,4 + 5,6)b = -1b^2 + 13b = -b^2 + 13b$

Ответ: $-b^2 + 13b$

г) Чтобы упростить выражение $(7,3y - y^2 + 4) + 0,5y^2 - (8,7y - 2,4y^2)$, раскроем скобки. Знаки в первых скобках не меняются, а во вторых — меняются на противоположные из-за знака «минус» перед ними:

$7,3y - y^2 + 4 + 0,5y^2 - 8,7y + 2,4y^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-y^2 + 0,5y^2 + 2,4y^2) + (7,3y - 8,7y) + 4$

Выполним вычисления в каждой группе:

$(-1 + 0,5 + 2,4)y^2 + (7,3 - 8,7)y + 4 = 1,9y^2 - 1,4y + 4$

Ответ: $1,9y^2 - 1,4y + 4$

591. Докажите, что:

а) сумма двух последовательных нечётных чисел кратна 4;

б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8.

а)

Любое нечётное число можно представить в виде $2n + 1$, где $n$ — целое число. Возьмём два последовательных нечётных числа. Если первое число равно $2n + 1$, то следующее за ним нечётное число будет на 2 больше, то есть $(2n + 1) + 2 = 2n + 3$.

Найдём сумму этих двух чисел: $$ (2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4 $$

Вынесем общий множитель 4 за скобки: $$ 4n + 4 = 4(n + 1) $$

Поскольку полученное выражение $4(n + 1)$ содержит множитель 4, оно всегда делится на 4 нацело при любом целом $n$. Следовательно, сумма двух последовательных нечётных чисел всегда кратна 4, что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма двух последовательных нечётных чисел может быть записана в виде $4(n+1)$, что доказывает её кратность 4.

б)

Возьмём четыре последовательных нечётных числа. Используя то же представление нечётного числа, где $n$ — целое число, мы можем записать эту последовательность как: $2n + 1$, $2n + 3$, $2n + 5$, $2n + 7$.

Найдём их сумму: $$ (2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7) $$

Сгруппируем и сложим слагаемые с переменной $n$ и свободные члены: $$ (2n + 2n + 2n + 2n) + (1 + 3 + 5 + 7) = 8n + 16 $$

Вынесем общий множитель 8 за скобки: $$ 8n + 16 = 8(n + 2) $$

Полученное выражение $8(n + 2)$ имеет множитель 8, следовательно, оно всегда делится на 8 нацело при любом целом $n$. Таким образом, сумма четырёх последовательных нечётных чисел всегда кратна 8, что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма четырёх последовательных нечётных чисел может быть записана в виде $8(n+2)$, что доказывает её кратность 8.