Номер 591, страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Сложение и вычитание многочленов. Параграф 9. Сумм и разность многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 591, страница 131.

Условие.

591. Докажите, что:

а) сумма двух последовательных нечётных чисел кратна 4;

б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Любое нечётное число можно представить в виде $2n + 1$, где $n$ — целое число. Возьмём два последовательных нечётных числа. Если первое число равно $2n + 1$, то следующее за ним нечётное число будет на 2 больше, то есть $(2n + 1) + 2 = 2n + 3$.

Найдём сумму этих двух чисел: $$ (2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4 $$

Вынесем общий множитель 4 за скобки: $$ 4n + 4 = 4(n + 1) $$

Поскольку полученное выражение $4(n + 1)$ содержит множитель 4, оно всегда делится на 4 нацело при любом целом $n$. Следовательно, сумма двух последовательных нечётных чисел всегда кратна 4, что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма двух последовательных нечётных чисел может быть записана в виде $4(n+1)$, что доказывает её кратность 4.

б)

Возьмём четыре последовательных нечётных числа. Используя то же представление нечётного числа, где $n$ — целое число, мы можем записать эту последовательность как: $2n + 1$, $2n + 3$, $2n + 5$, $2n + 7$.

Найдём их сумму: $$ (2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7) $$

Сгруппируем и сложим слагаемые с переменной $n$ и свободные члены: $$ (2n + 2n + 2n + 2n) + (1 + 3 + 5 + 7) = 8n + 16 $$

Вынесем общий множитель 8 за скобки: $$ 8n + 16 = 8(n + 2) $$

Полученное выражение $8(n + 2)$ имеет множитель 8, следовательно, оно всегда делится на 8 нацело при любом целом $n$. Таким образом, сумма четырёх последовательных нечётных чисел всегда кратна 8, что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма четырёх последовательных нечётных чисел может быть записана в виде $8(n+2)$, что доказывает её кратность 8.