Страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

556. Представьте выражение в виде произведения двух одночленов стандартного вида, один из которых равен $20x^4y$:

а) $100x^5y^3$;

б) $-30x^4y^5$;

в) $-4x^{16}y$;

г) $x^{10}y^2$;

д) $5x^8y$;

е) $-x^4y^2$.

Чтобы представить данное выражение в виде произведения двух одночленов, один из которых равен $20x^4y$, необходимо исходное выражение разделить на этот известный одночлен. Второй множитель будет результатом этого деления.

а) Для выражения $100x^5y^3$ найдем второй множитель:

$\frac{100x^5y^3}{20x^4y} = (\frac{100}{20}) \cdot (x^{5-4}) \cdot (y^{3-1}) = 5x^1y^2 = 5xy^2$.

Таким образом, произведение имеет вид: $(20x^4y) \cdot (5xy^2)$.

Ответ: $(20x^4y) \cdot (5xy^2)$.

б) Для выражения $-30x^4y^5$ найдем второй множитель:

$\frac{-30x^4y^5}{20x^4y} = (\frac{-30}{20}) \cdot (x^{4-4}) \cdot (y^{5-1}) = -1.5x^0y^4 = -1.5y^4$.

Таким образом, произведение имеет вид: $(20x^4y) \cdot (-1.5y^4)$.

Ответ: $(20x^4y) \cdot (-1.5y^4)$.

в) Для выражения $-4x^{16}y$ найдем второй множитель:

$\frac{-4x^{16}y}{20x^4y} = (\frac{-4}{20}) \cdot (x^{16-4}) \cdot (y^{1-1}) = -0.2x^{12}y^0 = -0.2x^{12}$.

Таким образом, произведение имеет вид: $(20x^4y) \cdot (-0.2x^{12})$.

Ответ: $(20x^4y) \cdot (-0.2x^{12})$.

г) Для выражения $x^{10}y^2$ найдем второй множитель:

$\frac{x^{10}y^2}{20x^4y} = (\frac{1}{20}) \cdot (x^{10-4}) \cdot (y^{2-1}) = 0.05x^6y^1 = 0.05x^6y$.

Таким образом, произведение имеет вид: $(20x^4y) \cdot (0.05x^6y)$.

Ответ: $(20x^4y) \cdot (0.05x^6y)$.

д) Для выражения $5x^8y$ найдем второй множитель:

$\frac{5x^8y}{20x^4y} = (\frac{5}{20}) \cdot (x^{8-4}) \cdot (y^{1-1}) = 0.25x^4y^0 = 0.25x^4$.

Таким образом, произведение имеет вид: $(20x^4y) \cdot (0.25x^4)$.

Ответ: $(20x^4y) \cdot (0.25x^4)$.

е) Для выражения $-x^4y^2$ найдем второй множитель:

$\frac{-x^4y^2}{20x^4y} = (\frac{-1}{20}) \cdot (x^{4-4}) \cdot (y^{2-1}) = -0.05x^0y^1 = -0.05y$.

Таким образом, произведение имеет вид: $(20x^4y) \cdot (-0.05y)$.

Ответ: $(20x^4y) \cdot (-0.05y)$.

559. Представьте произведение одночленов в виде степени некоторого одночлена:

а) $27a^2b^5 \cdot 3a^{10}b^3$;

б) $-64a^8x^{11} \cdot (-0,25a^2x^9)$;

в) $0,01b^5c^3 \cdot (-0,1bc^6)$;

г) $-\frac{9}{16}p^9q^{14} \cdot \frac{3}{4}p^3q^4$.

а) Сначала перемножим одночлены, умножая отдельно коэффициенты и отдельно степени с одинаковыми основаниями (по правилу $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):
$27a^2b^5 \cdot 3a^{10}b^3 = (27 \cdot 3) \cdot (a^2 \cdot a^{10}) \cdot (b^5 \cdot b^3) = 81 \cdot a^{2+10} \cdot b^{5+3} = 81a^{12}b^8$.
Теперь представим полученный одночлен $81a^{12}b^8$ в виде степени. Показатель искомой степени должен быть общим делителем показателей степеней у переменных (12 и 8) и позволять извлечь корень из коэффициента 81. Наибольший общий делитель для 12 и 8 это 4. Проверим, подходит ли он: $81 = 3^4$. Да, подходит.
Таким образом, $81a^{12}b^8 = 3^4 \cdot a^{3 \cdot 4} \cdot b^{2 \cdot 4} = (3a^3b^2)^4$.
Ответ: $(3a^3b^2)^4$.

б) Выполним умножение одночленов:
$-64a^8x^{11} \cdot (-0,25a^2x^9) = (-64 \cdot (-0,25)) \cdot (a^8a^2) \cdot (x^{11}x^9) = 16 \cdot a^{8+2} \cdot x^{11+9} = 16a^{10}x^{20}$.
Представим результат $16a^{10}x^{20}$ в виде степени. Показатели степеней у переменных равны 10 и 20. Их общий делитель, который подходит для коэффициента 16, это 2, так как $16 = 4^2$.
Следовательно, $16a^{10}x^{20} = 4^2 \cdot a^{5 \cdot 2} \cdot x^{10 \cdot 2} = (4a^5x^{10})^2$.
Ответ: $(4a^5x^{10})^2$.

в) Умножим одночлены:
$0,01b^5c^3 \cdot (-0,1bc^6) = (0,01 \cdot (-0,1)) \cdot (b^5b) \cdot (c^3c^6) = -0,001 \cdot b^{5+1} \cdot c^{3+6} = -0,001b^6c^9$.
Представим результат $-0,001b^6c^9$ в виде степени. Наибольший общий делитель показателей 6 и 9 равен 3. Проверим коэффициент: $-0,001 = (-0,1)^3$. Показатель 3 подходит.
Таким образом, $-0,001b^6c^9 = (-0,1)^3 \cdot b^{2 \cdot 3} \cdot c^{3 \cdot 3} = (-0,1b^2c^3)^3$.
Ответ: $(-0,1b^2c^3)^3$.

г) Умножим одночлены:
$-\frac{9}{16}p^9q^{14} \cdot \frac{3}{4}p^3q^4 = (-\frac{9}{16} \cdot \frac{3}{4}) \cdot (p^9p^3) \cdot (q^{14}q^4) = -\frac{27}{64} \cdot p^{9+3} \cdot q^{14+4} = -\frac{27}{64}p^{12}q^{18}$.
Представим результат $-\frac{27}{64}p^{12}q^{18}$ в виде степени. Коэффициент отрицательный, значит, показатель степени должен быть нечетным. Общие делители показателей 12 и 18: 1, 2, 3, 6. Единственный нечетный общий делитель (кроме 1) - это 3. Проверим его.
Корень кубический из коэффициента: $\sqrt[3]{-\frac{27}{64}} = -\frac{3}{4}$. Это подходит.
Следовательно, $-\frac{27}{64}p^{12}q^{18} = (-\frac{3}{4})^3 \cdot p^{4 \cdot 3} \cdot q^{6 \cdot 3} = (-\frac{3}{4}p^4q^6)^3$.
Ответ: $(-\frac{3}{4}p^4q^6)^3$.

562. На рисунке 66 построены графики функций $y = x$, $y = x^2$, $y = x^3$, где $x \ge 0$. Пользуясь графиком, сравните:

а) 0,23 и $0,23^2$;
0,23 и $0,23^3$;
$0,23^2$ и $0,23^3$;

б) 1,47 и $1,47^2$;
1,47 и $1,47^3$;
$1,47^2$ и $1,47^3$.

Рис. 66

Для решения этой задачи мы воспользуемся предоставленными графиками функций $y=x$, $y=x^2$ и $y=x^3$. Сравнение двух чисел, например $a$ и $a^2$, эквивалентно сравнению значений функций $y=x$ и $y=x^2$ в точке $x=a$. Чтобы определить, какое значение больше, необходимо посмотреть, какой из графиков находится выше при данном значении $x$.

Анализируя графики, можно заметить ключевые особенности их взаимного расположения:

• На интервале $x \in (0, 1)$ график функции $y=x$ (прямая линия) расположен выше графика $y=x^2$ (парабола), который, в свою очередь, расположен выше графика $y=x^3$ (кубическая парабола). Таким образом, для любого числа $x$ из этого интервала справедливо неравенство: $x > x^2 > x^3$.
• В точках $x=0$ и $x=1$ все три графика пересекаются, то есть значения функций равны: $x = x^2 = x^3$.
• На интервале $x \in (1, +\infty)$ взаимное расположение графиков меняется. График $y=x^3$ оказывается самым высоким, за ним идет $y=x^2$, а самым нижним является график $y=x$. Таким образом, для любого числа $x > 1$ справедливо неравенство: $x < x^2 < x^3$.

Используя эти наблюдения, сравним предложенные числа.

а)

В этом пункте все числа являются степенями основания $x = 0,23$. Так как $0 < 0,23 < 1$, мы используем соотношение $x > x^2 > x^3$.

Сравнение $0,23$ и $0,23^2$. Это соответствует сравнению значений $y=x$ и $y=x^2$ при $x=0,23$. На интервале $(0,1)$ график $y=x$ лежит выше графика $y=x^2$, следовательно, $x > x^2$.
Ответ: $0,23 > 0,23^2$.

Сравнение $0,23$ и $0,23^3$. Это соответствует сравнению значений $y=x$ и $y=x^3$ при $x=0,23$. На интервале $(0,1)$ график $y=x$ лежит выше графика $y=x^3$, следовательно, $x > x^3$.
Ответ: $0,23 > 0,23^3$.

Сравнение $0,23^2$ и $0,23^3$. Это соответствует сравнению значений $y=x^2$ и $y=x^3$ при $x=0,23$. На интервале $(0,1)$ график $y=x^2$ лежит выше графика $y=x^3$, следовательно, $x^2 > x^3$.
Ответ: $0,23^2 > 0,23^3$.

б)

В этом пункте все числа являются степенями основания $x = 1,47$. Так как $1,47 > 1$, мы используем соотношение $x < x^2 < x^3$.

Сравнение $1,47$ и $1,47^2$. Это соответствует сравнению значений $y=x$ и $y=x^2$ при $x=1,47$. При $x>1$ график $y=x^2$ лежит выше графика $y=x$, следовательно, $x < x^2$.
Ответ: $1,47 < 1,47^2$.

Сравнение $1,47$ и $1,47^3$. Это соответствует сравнению значений $y=x$ и $y=x^3$ при $x=1,47$. При $x>1$ график $y=x^3$ лежит выше графика $y=x$, следовательно, $x < x^3$.
Ответ: $1,47 < 1,47^3$.

Сравнение $1,47^2$ и $1,47^3$. Это соответствует сравнению значений $y=x^2$ и $y=x^3$ при $x=1,47$. При $x>1$ график $y=x^3$ лежит выше графика $y=x^2$, следовательно, $x^2 < x^3$.
Ответ: $1,47^2 < 1,47^3$.

557. Представьте данный одночлен в виде произведения двух каких-нибудь одночленов стандартного вида:

а) $ -8a^5c^3; $

б) $ -b^6y^9; $

в) $ 60x^{10}y^{15}. $

Чтобы представить данный одночлен в виде произведения двух других одночленов стандартного вида, необходимо разбить его коэффициент на два множителя и представить каждую переменную в степени как произведение двух степеней с тем же основанием. Это можно сделать множеством способов. Ниже приведен один из возможных вариантов для каждого случая.

а) Представим одночлен $-8a^5c^8$ в виде произведения.

1. Коэффициент $-8$ можно представить как произведение двух чисел, например, $-2$ и $4$.

2. Степень $a^5$ можно представить как произведение $a^2 \cdot a^3$, так как по свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, здесь $2+3=5$.

3. Степень $c^8$ можно представить как произведение $c^3 \cdot c^5$, так как $3+5=8$.

Теперь объединим полученные множители в два одночлена. Например, первый одночлен будет $(-2a^2c^3)$, а второй — $(4a^3c^5)$.

Проверим результат: $(-2a^2c^3) \cdot (4a^3c^5) = (-2 \cdot 4) \cdot (a^2 \cdot a^3) \cdot (c^3 \cdot c^5) = -8a^{2+3}c^{3+5} = -8a^5c^8$.

Ответ: $(-2a^2c^3) \cdot (4a^3c^5)$

б) Представим одночлен $-b^6y^9$ в виде произведения.

1. Коэффициент этого одночлена равен $-1$. Представим его как произведение $-1$ и $1$.

2. Степень $b^6$ представим как произведение, например, $b \cdot b^5$ (здесь $1+5=6$).

3. Степень $y^9$ представим как произведение, например, $y^4 \cdot y^5$ (здесь $4+5=9$).

Объединим множители. Первый одночлен: $(-1 \cdot b \cdot y^4) = -by^4$. Второй одночлен: $(1 \cdot b^5 \cdot y^5) = b^5y^5$.

Проверим результат: $(-by^4) \cdot (b^5y^5) = (-1) \cdot (b^1 \cdot b^5) \cdot (y^4 \cdot y^5) = -b^{1+5}y^{4+5} = -b^6y^9$.

Ответ: $(-by^4) \cdot (b^5y^5)$

в) Представим одночлен $60x^{10}y^{15}$ в виде произведения.

1. Коэффициент $60$ можно разложить на множители множеством способов, например, $6$ и $10$.

2. Степень $x^{10}$ представим как $x^5 \cdot x^5$, так как $5+5=10$.

3. Степень $y^{15}$ представим как $y^7 \cdot y^8$, так как $7+8=15$.

Скомбинируем множители в два одночлена: $(6x^5y^7)$ и $(10x^5y^8)$.

Проверим результат: $(6x^5y^7) \cdot (10x^5y^8) = (6 \cdot 10) \cdot (x^5 \cdot x^5) \cdot (y^7 \cdot y^8) = 60x^{5+5}y^{7+8} = 60x^{10}y^{15}$.

Ответ: $(6x^5y^7) \cdot (10x^5y^8)$

560. Упростите выражение:

а) $ (-x^2y^2)^4 \cdot (-xy)^2 $

б) $ -\left(\frac{1}{3}xy^3\right)^2 \cdot (-3x)^3 $

в) $ (-2x^3y^2)^3 \cdot (-2y^2)^3 $

г) $ \left(\frac{1}{3}a^2b\right)^3 \cdot (9ab^2)^2 $

д) $ (-5a^3b)^2 \cdot \left(\frac{1}{5}ab^3\right)^3 $

е) $ \left(-\frac{2}{7}ab^4\right)^2 \cdot \left(-3\frac{1}{2}a^3b\right)^2 $

ж) $ (x^3y)^2 \cdot (-5xy)^3 $

з) $ \left(\frac{1}{6}x^2y^2\right)^2 \cdot (-12x^3y^5)^2 $

а) Чтобы упростить выражение $(-x^2y^2)^4 \cdot (-xy)^2$, применим правила возведения в степень произведения и степени в степень: $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

Сначала возведем в степень каждый из множителей:

$(-x^2y^2)^4 = (-1)^4 \cdot (x^2)^4 \cdot (y^2)^4 = 1 \cdot x^{2 \cdot 4} \cdot y^{2 \cdot 4} = x^8y^8$.

$(-xy)^2 = (-1)^2 \cdot x^2 \cdot y^2 = 1 \cdot x^2y^2 = x^2y^2$.

Теперь перемножим полученные результаты, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^8y^8 \cdot x^2y^2 = x^{8+2}y^{8+2} = x^{10}y^{10}$.

Ответ: $x^{10}y^{10}$

б) Упростим выражение $-(\frac{1}{3}xy^3)^2 \cdot (-3x)^3$.

Возведем в степень каждый множитель в скобках:

$(\frac{1}{3}xy^3)^2 = (\frac{1}{3})^2 \cdot x^2 \cdot (y^3)^2 = \frac{1}{9}x^2y^6$.

$(-3x)^3 = (-3)^3 \cdot x^3 = -27x^3$.

Теперь подставим результаты обратно в исходное выражение, не забывая про знак минус перед первой скобкой:

$-(\frac{1}{9}x^2y^6) \cdot (-27x^3) = (-\frac{1}{9}x^2y^6) \cdot (-27x^3)$.

Перемножим коэффициенты и переменные:

$(-\frac{1}{9} \cdot -27) \cdot (x^2 \cdot x^3) \cdot y^6 = (\frac{27}{9}) \cdot (x^{2+3}) \cdot y^6 = 3x^5y^6$.

Ответ: $3x^5y^6$

в) Упростим выражение $(-2x^3y^2)^3 \cdot (-2y^2)^3$.

Возведем в степень каждый множитель:

$(-2x^3y^2)^3 = (-2)^3 \cdot (x^3)^3 \cdot (y^2)^3 = -8x^9y^6$.

$(-2y^2)^3 = (-2)^3 \cdot (y^2)^3 = -8y^6$.

Перемножим полученные одночлены:

$(-8x^9y^6) \cdot (-8y^6) = (-8 \cdot -8) \cdot x^9 \cdot (y^6 \cdot y^6) = 64x^9y^{6+6} = 64x^9y^{12}$.

Ответ: $64x^9y^{12}$

г) Упростим выражение $(\frac{1}{3}a^2b)^3 \cdot (9ab^2)^2$.

Возведем в степень каждый множитель:

$(\frac{1}{3}a^2b)^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3 = \frac{1}{27}a^6b^3$.

$(9ab^2)^2 = 9^2 \cdot a^2 \cdot (b^2)^2 = 81a^2b^4$.

Перемножим результаты:

$(\frac{1}{27}a^6b^3) \cdot (81a^2b^4) = (\frac{1}{27} \cdot 81) \cdot (a^6 \cdot a^2) \cdot (b^3 \cdot b^4) = 3a^{6+2}b^{3+4} = 3a^8b^7$.

Ответ: $3a^8b^7$

д) Упростим выражение $(-5a^3b)^2 \cdot (\frac{1}{5}ab^3)^3$.

Возведем в степень каждый множитель:

$(-5a^3b)^2 = (-5)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot b^2 = 25a^6b^2$.

$(\frac{1}{5}ab^3)^3 = (\frac{1}{5})^3 \cdot a^3 \cdot (b^3)^3 = \frac{1}{125}a^3b^9$.

Перемножим результаты:

$(25a^6b^2) \cdot (\frac{1}{125}a^3b^9) = (25 \cdot \frac{1}{125}) \cdot (a^6 \cdot a^3) \cdot (b^2 \cdot b^9) = \frac{25}{125}a^{6+3}b^{2+9} = \frac{1}{5}a^9b^{11}$.

Ответ: $\frac{1}{5}a^9b^{11}$

е) Упростим выражение $(-\frac{2}{7}ab^4)^2 \cdot (-3\frac{1}{2}a^3b)^2$.

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-3\frac{1}{2} = -\frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{7}{2}$.

Выражение принимает вид: $(-\frac{2}{7}ab^4)^2 \cdot (-\frac{7}{2}a^3b)^2$.

Возведем в степень каждый множитель:

$(-\frac{2}{7}ab^4)^2 = (-\frac{2}{7})^2 \cdot a^2 \cdot (b^4)^2 = \frac{4}{49}a^2b^8$.

$(-\frac{7}{2}a^3b)^2 = (-\frac{7}{2})^2 \cdot (a^3)^2 \cdot b^2 = \frac{49}{4}a^6b^2$.

Перемножим результаты:

$(\frac{4}{49}a^2b^8) \cdot (\frac{49}{4}a^6b^2) = (\frac{4}{49} \cdot \frac{49}{4}) \cdot (a^2 \cdot a^6) \cdot (b^8 \cdot b^2) = 1 \cdot a^{2+6}b^{8+2} = a^8b^{10}$.

Ответ: $a^8b^{10}$

ж) Упростим выражение $(x^3y)^2 \cdot (-5xy)^3$.

Возведем в степень каждый множитель:

$(x^3y)^2 = (x^3)^2 \cdot y^2 = x^6y^2$.

$(-5xy)^3 = (-5)^3 \cdot x^3 \cdot y^3 = -125x^3y^3$.

Перемножим результаты:

$(x^6y^2) \cdot (-125x^3y^3) = -125 \cdot (x^6 \cdot x^3) \cdot (y^2 \cdot y^3) = -125x^{6+3}y^{2+3} = -125x^9y^5$.

Ответ: $-125x^9y^5$

з) Упростим выражение $(\frac{1}{6}x^2y^2)^2 \cdot (-12x^3y^5)^2$.

Возведем в степень каждый множитель:

$(\frac{1}{6}x^2y^2)^2 = (\frac{1}{6})^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^2)^2 = \frac{1}{36}x^4y^4$.

$(-12x^3y^5)^2 = (-12)^2 \cdot (x^3)^2 \cdot (y^5)^2 = 144x^6y^{10}$.

Перемножим результаты:

$(\frac{1}{36}x^4y^4) \cdot (144x^6y^{10}) = (\frac{1}{36} \cdot 144) \cdot (x^4 \cdot x^6) \cdot (y^4 \cdot y^{10}) = \frac{144}{36}x^{4+6}y^{4+10} = 4x^{10}y^{14}$.

Ответ: $4x^{10}y^{14}$

558. Преобразуйте выражение в тождественно равный одночлен стандартного вида:

а) $(-10ab^{12})^2$;

в) $(-3xy^2a^3)^3$;

б) $(-0,2x^4y)^4$;

г) $(-0,5ab^2c^3)^4$.

а) Чтобы преобразовать выражение $(-10ab^{12})^2$ в одночлен стандартного вида, необходимо возвести в квадрат каждый множитель, находящийся в скобках. Для этого мы используем свойство возведения произведения в степень: $(xyz)^n = x^n y^n z^n$.
Применяем это свойство к нашему выражению: $(-10ab^{12})^2 = (-10)^2 \cdot a^2 \cdot (b^{12})^2$.
Теперь вычислим значение каждого множителя по отдельности:

• Возводим в квадрат числовой коэффициент: $(-10)^2 = 100$.
• Возводим в квадрат переменную $a$: $a^2$.
• Возводим в степень переменную $b^{12}$, используя свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$: $(b^{12})^2 = b^{12 \cdot 2} = b^{24}$.

Объединив полученные результаты, получаем одночлен стандартного вида: $100a^2b^{24}$.
Ответ: $100a^2b^{24}$

б) Для преобразования выражения $(-0,2x^4y)^4$ возведем в четвертую степень каждый множитель в скобках.
$(-0,2x^4y)^4 = (-0,2)^4 \cdot (x^4)^4 \cdot y^4$.
Вычислим каждый множитель:

• Числовой коэффициент: так как степень четная (4), знак минус исчезает. $(-0,2)^4 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,0016$.
• Переменная $x$: $(x^4)^4 = x^{4 \cdot 4} = x^{16}$.
• Переменная $y$: $y^4$.

Собираем все вместе и получаем итоговый одночлен: $0,0016x^{16}y^4$.
Ответ: $0,0016x^{16}y^4$

в) Преобразуем выражение $(-3xy^2a^3)^3$. Для этого возведем в куб каждый множитель.
$(-3xy^2a^3)^3 = (-3)^3 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3 \cdot (a^3)^3$.
Вычислим каждый множитель:

• Числовой коэффициент: так как степень нечетная (3), знак минус сохраняется. $(-3)^3 = -27$.
• Переменная $x$: $x^3$.
• Переменная $y$: $(y^2)^3 = y^{2 \cdot 3} = y^6$.
• Переменная $a$: $(a^3)^3 = a^{3 \cdot 3} = a^9$.

Для приведения к стандартному виду запишем переменные в алфавитном порядке: $-27a^9x^3y^6$.
Ответ: $-27a^9x^3y^6$

г) Преобразуем выражение $(-0,5ab^2c^3)^4$, возведя в четвертую степень каждый множитель.
$(-0,5ab^2c^3)^4 = (-0,5)^4 \cdot a^4 \cdot (b^2)^4 \cdot (c^3)^4$.
Вычислим каждый множитель:

• Числовой коэффициент: степень четная, поэтому результат будет положительным. $(-0,5)^4 = (1/2)^4 = 1/16 = 0,0625$.
• Переменная $a$: $a^4$.
• Переменная $b$: $(b^2)^4 = b^{2 \cdot 4} = b^8$.
• Переменная $c$: $(c^3)^4 = c^{3 \cdot 4} = c^{12}$.

Объединяем результаты и получаем одночлен стандартного вида: $0,0625a^4b^8c^{12}$.
Ответ: $0,0625a^4b^8c^{12}$

561. Представьте выражение в виде произведения числа 3 и квадрата некоторого выражения:

а) $3m^4n^2$

б) $12x^6y^4z^2$

в) $\frac{3}{4}m^8n^4$

а) Чтобы представить выражение $3m^4n^2$ в виде произведения числа 3 и квадрата некоторого выражения, нужно выделить множитель 3. Исходное выражение уже содержит множитель 3, поэтому мы можем записать: $3m^4n^2 = 3 \cdot (m^4n^2)$. Теперь представим выражение в скобках, $m^4n^2$, как квадрат некоторого выражения. Для этого воспользуемся свойством степени $(a^k)^p = a^{k \cdot p}$ и свойством произведения степеней $(ab)^k = a^k b^k$. $m^4 = (m^2)^2$ $n^2 = (n^1)^2$ Следовательно, $m^4n^2 = (m^2)^2 \cdot (n^1)^2 = (m^2n)^2$. Таким образом, исходное выражение преобразуется к виду $3 \cdot (m^2n)^2$.
Ответ: $3 \cdot (m^2n)^2$.

б) Чтобы представить выражение $12x^6y^4z^2$ в виде произведения числа 3 и квадрата некоторого выражения, сначала вынесем множитель 3 из числового коэффициента 12. $12 = 3 \cdot 4$. Тогда выражение можно переписать как: $12x^6y^4z^2 = 3 \cdot 4 \cdot x^6y^4z^2 = 3 \cdot (4x^6y^4z^2)$. Теперь представим выражение в скобках, $4x^6y^4z^2$, как квадрат некоторого выражения. Разложим каждый множитель на квадраты: $4 = 2^2$ $x^6 = (x^3)^2$ $y^4 = (y^2)^2$ $z^2 = (z^1)^2$ Объединив все вместе, получаем: $4x^6y^4z^2 = 2^2 \cdot (x^3)^2 \cdot (y^2)^2 \cdot (z)^2 = (2x^3y^2z)^2$. Таким образом, исходное выражение равно $3 \cdot (2x^3y^2z)^2$.
Ответ: $3 \cdot (2x^3y^2z)^2$.

в) Чтобы представить выражение $\frac{3}{4}m^8n^4$ в виде произведения числа 3 и квадрата некоторого выражения, выделим множитель 3. $\frac{3}{4}m^8n^4 = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot m^8n^4 = 3 \cdot (\frac{1}{4}m^8n^4)$. Теперь представим выражение в скобках, $\frac{1}{4}m^8n^4$, как квадрат некоторого выражения. Разложим каждый множитель на квадраты: $\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$ $m^8 = (m^4)^2$ $n^4 = (n^2)^2$ Объединив все вместе, получаем: $\frac{1}{4}m^8n^4 = (\frac{1}{2})^2 \cdot (m^4)^2 \cdot (n^2)^2 = (\frac{1}{2}m^4n^2)^2$. Таким образом, исходное выражение равно $3 \cdot (\frac{1}{2}m^4n^2)^2$.
Ответ: $3 \cdot (\frac{1}{2}m^4n^2)^2$.