Номер 560, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 560, страница 125.

Условие.

560. Упростите выражение:

а) $ (-x^2y^2)^4 \cdot (-xy)^2 $

б) $ -\left(\frac{1}{3}xy^3\right)^2 \cdot (-3x)^3 $

в) $ (-2x^3y^2)^3 \cdot (-2y^2)^3 $

г) $ \left(\frac{1}{3}a^2b\right)^3 \cdot (9ab^2)^2 $

д) $ (-5a^3b)^2 \cdot \left(\frac{1}{5}ab^3\right)^3 $

е) $ \left(-\frac{2}{7}ab^4\right)^2 \cdot \left(-3\frac{1}{2}a^3b\right)^2 $

ж) $ (x^3y)^2 \cdot (-5xy)^3 $

з) $ \left(\frac{1}{6}x^2y^2\right)^2 \cdot (-12x^3y^5)^2 $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы упростить выражение $(-x^2y^2)^4 \cdot (-xy)^2$, применим правила возведения в степень произведения и степени в степень: $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

Сначала возведем в степень каждый из множителей:

$(-x^2y^2)^4 = (-1)^4 \cdot (x^2)^4 \cdot (y^2)^4 = 1 \cdot x^{2 \cdot 4} \cdot y^{2 \cdot 4} = x^8y^8$.

$(-xy)^2 = (-1)^2 \cdot x^2 \cdot y^2 = 1 \cdot x^2y^2 = x^2y^2$.

Теперь перемножим полученные результаты, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^8y^8 \cdot x^2y^2 = x^{8+2}y^{8+2} = x^{10}y^{10}$.

Ответ: $x^{10}y^{10}$

б) Упростим выражение $-(\frac{1}{3}xy^3)^2 \cdot (-3x)^3$.

Возведем в степень каждый множитель в скобках:

$(\frac{1}{3}xy^3)^2 = (\frac{1}{3})^2 \cdot x^2 \cdot (y^3)^2 = \frac{1}{9}x^2y^6$.

$(-3x)^3 = (-3)^3 \cdot x^3 = -27x^3$.

Теперь подставим результаты обратно в исходное выражение, не забывая про знак минус перед первой скобкой:

$-(\frac{1}{9}x^2y^6) \cdot (-27x^3) = (-\frac{1}{9}x^2y^6) \cdot (-27x^3)$.

Перемножим коэффициенты и переменные:

$(-\frac{1}{9} \cdot -27) \cdot (x^2 \cdot x^3) \cdot y^6 = (\frac{27}{9}) \cdot (x^{2+3}) \cdot y^6 = 3x^5y^6$.

Ответ: $3x^5y^6$

в) Упростим выражение $(-2x^3y^2)^3 \cdot (-2y^2)^3$.

Возведем в степень каждый множитель:

$(-2x^3y^2)^3 = (-2)^3 \cdot (x^3)^3 \cdot (y^2)^3 = -8x^9y^6$.

$(-2y^2)^3 = (-2)^3 \cdot (y^2)^3 = -8y^6$.

Перемножим полученные одночлены:

$(-8x^9y^6) \cdot (-8y^6) = (-8 \cdot -8) \cdot x^9 \cdot (y^6 \cdot y^6) = 64x^9y^{6+6} = 64x^9y^{12}$.

Ответ: $64x^9y^{12}$

г) Упростим выражение $(\frac{1}{3}a^2b)^3 \cdot (9ab^2)^2$.

Возведем в степень каждый множитель:

$(\frac{1}{3}a^2b)^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3 = \frac{1}{27}a^6b^3$.

$(9ab^2)^2 = 9^2 \cdot a^2 \cdot (b^2)^2 = 81a^2b^4$.

Перемножим результаты:

$(\frac{1}{27}a^6b^3) \cdot (81a^2b^4) = (\frac{1}{27} \cdot 81) \cdot (a^6 \cdot a^2) \cdot (b^3 \cdot b^4) = 3a^{6+2}b^{3+4} = 3a^8b^7$.

Ответ: $3a^8b^7$

д) Упростим выражение $(-5a^3b)^2 \cdot (\frac{1}{5}ab^3)^3$.

Возведем в степень каждый множитель:

$(-5a^3b)^2 = (-5)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot b^2 = 25a^6b^2$.

$(\frac{1}{5}ab^3)^3 = (\frac{1}{5})^3 \cdot a^3 \cdot (b^3)^3 = \frac{1}{125}a^3b^9$.

Перемножим результаты:

$(25a^6b^2) \cdot (\frac{1}{125}a^3b^9) = (25 \cdot \frac{1}{125}) \cdot (a^6 \cdot a^3) \cdot (b^2 \cdot b^9) = \frac{25}{125}a^{6+3}b^{2+9} = \frac{1}{5}a^9b^{11}$.

Ответ: $\frac{1}{5}a^9b^{11}$

е) Упростим выражение $(-\frac{2}{7}ab^4)^2 \cdot (-3\frac{1}{2}a^3b)^2$.

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-3\frac{1}{2} = -\frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{7}{2}$.

Выражение принимает вид: $(-\frac{2}{7}ab^4)^2 \cdot (-\frac{7}{2}a^3b)^2$.

Возведем в степень каждый множитель:

$(-\frac{2}{7}ab^4)^2 = (-\frac{2}{7})^2 \cdot a^2 \cdot (b^4)^2 = \frac{4}{49}a^2b^8$.

$(-\frac{7}{2}a^3b)^2 = (-\frac{7}{2})^2 \cdot (a^3)^2 \cdot b^2 = \frac{49}{4}a^6b^2$.

Перемножим результаты:

$(\frac{4}{49}a^2b^8) \cdot (\frac{49}{4}a^6b^2) = (\frac{4}{49} \cdot \frac{49}{4}) \cdot (a^2 \cdot a^6) \cdot (b^8 \cdot b^2) = 1 \cdot a^{2+6}b^{8+2} = a^8b^{10}$.

Ответ: $a^8b^{10}$

ж) Упростим выражение $(x^3y)^2 \cdot (-5xy)^3$.

Возведем в степень каждый множитель:

$(x^3y)^2 = (x^3)^2 \cdot y^2 = x^6y^2$.

$(-5xy)^3 = (-5)^3 \cdot x^3 \cdot y^3 = -125x^3y^3$.

Перемножим результаты:

$(x^6y^2) \cdot (-125x^3y^3) = -125 \cdot (x^6 \cdot x^3) \cdot (y^2 \cdot y^3) = -125x^{6+3}y^{2+3} = -125x^9y^5$.

Ответ: $-125x^9y^5$

з) Упростим выражение $(\frac{1}{6}x^2y^2)^2 \cdot (-12x^3y^5)^2$.

Возведем в степень каждый множитель:

$(\frac{1}{6}x^2y^2)^2 = (\frac{1}{6})^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^2)^2 = \frac{1}{36}x^4y^4$.

$(-12x^3y^5)^2 = (-12)^2 \cdot (x^3)^2 \cdot (y^5)^2 = 144x^6y^{10}$.

Перемножим результаты:

$(\frac{1}{36}x^4y^4) \cdot (144x^6y^{10}) = (\frac{1}{36} \cdot 144) \cdot (x^4 \cdot x^6) \cdot (y^4 \cdot y^{10}) = \frac{144}{36}x^{4+6}y^{4+10} = 4x^{10}y^{14}$.

Ответ: $4x^{10}y^{14}$