Номер 564, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 564, страница 126.

Условие.

564. Точка $A(a; b)$ принадлежит графику функции:

а) $y = x^2$;

б) $y = x^3$.

Принадлежат ли этому графику точки $B(-a; b)$, $C(a; -b)$, $D(-a; -b)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить ее координаты $(x; y)$ в уравнение функции. Если в результате получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику, в противном случае — не принадлежит.

По условию, точка $A(a; b)$ принадлежит графику, что означает, что ее координаты удовлетворяют уравнению функции.

а) $y = x^2$

Раз точка $A(a; b)$ принадлежит графику функции $y = x^2$, то выполняется равенство: $b = a^2$. Будем использовать это соотношение для проверки других точек.

• Проверим точку $B(-a; b)$.
  Подставим ее координаты в уравнение функции. Вместо $x$ подставляем $-a$, вместо $y$ подставляем $b$:
  $b = (-a)^2$
  $b = a^2$
  Это равенство является верным согласно условию. Следовательно, точка $B$ принадлежит графику функции.

• Проверим точку $C(a; -b)$.
  Подставим ее координаты в уравнение: $-b = a^2$.
  Мы знаем, что $b = a^2$. Подставив это в наше проверяемое равенство, получим: $-b = b$.
  Это равенство верно только если $b=0$ (что означает, что и $a=0$). В общем случае (при $b \ne 0$) равенство неверно. Следовательно, точка $C$ не принадлежит графику (за исключением случая, когда A - начало координат).

• Проверим точку $D(-a; -b)$.
  Подставим ее координаты в уравнение: $-b = (-a)^2$.
  $-b = a^2$
  Аналогично предыдущему пункту, подставив $b = a^2$, получим $-b = b$, что верно только при $b=0$. Следовательно, точка $D$ не принадлежит графику (за исключением случая, когда A - начало координат).

Это объясняется тем, что функция $y=x^2$ является четной ($f(-x) = f(x)$), и ее график симметричен относительно оси Oy.

Ответ: графику функции $y=x^2$ принадлежит точка $B(-a; b)$; точки $C(a; -b)$ и $D(-a; -b)$ не принадлежат (за исключением случая $a=b=0$).

б) $y = x^3$

Раз точка $A(a; b)$ принадлежит графику функции $y = x^3$, то выполняется равенство: $b = a^3$. Будем использовать это соотношение для проверки других точек.

• Проверим точку $B(-a; b)$.
  Подставим ее координаты в уравнение: $b = (-a)^3$.
  $b = -a^3$
  Из условия мы знаем, что $b = a^3$. Подставив это в наше проверяемое равенство, получим: $b = -b$.
  Это равенство верно только если $b=0$ (и, соответственно, $a=0$). В общем случае точка $B$ не принадлежит графику.

• Проверим точку $C(a; -b)$.
  Подставим ее координаты в уравнение: $-b = a^3$.
  Мы знаем, что $b = a^3$. Подставив это, получим: $-b = b$.
  Это равенство верно только при $b=0$. В общем случае точка $C$ не принадлежит графику.

• Проверим точку $D(-a; -b)$.
  Подставим ее координаты в уравнение: $-b = (-a)^3$.
  $-b = -a^3$
  Умножив обе части на -1, получим $b = a^3$.
  Это равенство является верным согласно условию. Следовательно, точка $D$ принадлежит графику функции.

Это объясняется тем, что функция $y=x^3$ является нечетной ($f(-x) = -f(x)$), и ее график симметричен относительно начала координат.

Ответ: графику функции $y=x^3$ принадлежит точка $D(-a; -b)$; точки $B(-a; b)$ и $C(a; -b)$ не принадлежат (за исключением случая $a=b=0$).