Номер 570, страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Многочлен и его стандартный вид. Параграф 9. Сумм и разность многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 570, страница 129.

Условие.

570. Представьте в стандартном виде многочлен:

а) $-8p^4 + 12p^3 + 4p^4 - 8p^2 + 3p^2;$

б) $2aa^2 + a^2 - 3a^2 + a^3 - a;$

в) $3xx^4 + 3xx^3 - 5x^2x^3 - 5x^2x;$

г) $3a \cdot 4b^2 - 0.8b \cdot 4b^2 - 2ab \cdot 3b + b \cdot 3b^2 - 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить многочлен в стандартном виде, необходимо привести подобные члены. Подобными членами называются одночлены с одинаковой буквенной частью. В данном выражении это $-8p^4$ и $4p^4$, а также $-8p^2$ и $3p^2$.
Выполним приведение подобных членов:
$-8p^4 + 12p^3 + 4p^4 - 8p^2 + 3p^2 = (-8p^4 + 4p^4) + 12p^3 + (-8p^2 + 3p^2) = (-8+4)p^4 + 12p^3 + (-8+3)p^2 = -4p^4 + 12p^3 - 5p^2$.
Члены многочлена уже расположены в порядке убывания степеней переменной $p$.
Ответ: $-4p^4 + 12p^3 - 5p^2$.

б) Сначала приведём каждый член многочлена к стандартному виду.
$2aa^2 = 2a^{1+2} = 2a^3$.
Теперь многочлен имеет вид: $2a^3 + a^2 - 3a^2 + a^3 - a$.
Приведём подобные члены. Подобными являются $2a^3$ и $a^3$, а также $a^2$ и $-3a^2$.
$(2a^3 + a^3) + (a^2 - 3a^2) - a = (2+1)a^3 + (1-3)a^2 - a = 3a^3 - 2a^2 - a$.
Члены многочлена расположены в порядке убывания степеней переменной $a$.
Ответ: $3a^3 - 2a^2 - a$.

в) Приведём каждый член многочлена к стандартному виду, используя свойство умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
$3xx^4 = 3x^{1+4} = 3x^5$
$3xx^3 = 3x^{1+3} = 3x^4$
$5x^2x^3 = 5x^{2+3} = 5x^5$
$5x^2x = 5x^{2+1} = 5x^3$
Получаем многочлен: $3x^5 + 3x^4 - 5x^5 - 5x^3$.
Теперь приведём подобные члены ($3x^5$ и $-5x^5$):
$(3x^5 - 5x^5) + 3x^4 - 5x^3 = (3-5)x^5 + 3x^4 - 5x^3 = -2x^5 + 3x^4 - 5x^3$.
Члены многочлена расположены в порядке убывания степеней переменной $x$.
Ответ: $-2x^5 + 3x^4 - 5x^3$.

г) Сначала упростим каждый член многочлена, выполнив умножение числовых коэффициентов и степеней с одинаковым основанием.
$3a \cdot 4b^2 = (3 \cdot 4)ab^2 = 12ab^2$
$0.8b \cdot 4b^2 = (0.8 \cdot 4)b^{1+2} = 3.2b^3$
$2ab \cdot 3b = (2 \cdot 3)ab^{1+1} = 6ab^2$
$b \cdot 3b^2 = 3b^{1+2} = 3b^3$
Получаем многочлен: $12ab^2 - 3.2b^3 - 6ab^2 + 3b^3 - 1$.
Приведём подобные члены. Подобными являются $12ab^2$ и $-6ab^2$, а также $-3.2b^3$ и $3b^3$.
$(12ab^2 - 6ab^2) + (-3.2b^3 + 3b^3) - 1 = (12-6)ab^2 + (-3.2+3)b^3 - 1 = 6ab^2 - 0.2b^3 - 1$.
Расположим члены многочлена в порядке убывания степени переменной $b$: $-0.2b^3 + 6ab^2 - 1$.
Ответ: $-0.2b^3 + 6ab^2 - 1$.