Страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

571. Запишите в стандартном виде многочлен:

a) $2a^2x^3 - ax^3 - a^4 - a^2x^3 + ax^3 + 2a^4$;

б) $5x \cdot 2y^2 - 5x \cdot 3xy - x^2y + 6xy^2$.

а) $2a^2x^3 - ax^3 - a^4 - a^2x^3 + ax^3 + 2a^4$

Для того чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно найти и сложить подобные члены. Подобными называются члены, имеющие одинаковую буквенную часть.

Выделим группы подобных членов в данном выражении:

• Члены с $a^2x^3$: $2a^2x^3$ и $-a^2x^3$
• Члены с $ax^3$: $-ax^3$ и $ax^3$
• Члены с $a^4$: $-a^4$ и $2a^4$

Теперь выполним приведение подобных слагаемых, то есть сложим их коэффициенты:

$(2a^2x^3 - a^2x^3) + (-ax^3 + ax^3) + (-a^4 + 2a^4) = (2-1)a^2x^3 + (-1+1)ax^3 + (-1+2)a^4 = 1 \cdot a^2x^3 + 0 \cdot ax^3 + 1 \cdot a^4 = a^2x^3 + 0 + a^4 = a^2x^3 + a^4$

Запишем полученный многочлен, располагая его члены в порядке убывания их степеней. Степень члена $a^2x^3$ равна $2+3=5$. Степень члена $a^4$ равна 4. Таким образом, стандартный вид многочлена:

$a^2x^3 + a^4$

Ответ: $a^2x^3 + a^4$

б) $5x \cdot 2y^2 - 5x \cdot 3xy - x^2y + 6xy^2$

Сначала необходимо привести к стандартному виду каждый член многочлена, выполнив операции умножения:

$5x \cdot 2y^2 = (5 \cdot 2)xy^2 = 10xy^2$

$5x \cdot 3xy = (5 \cdot 3)(x \cdot x)y = 15x^2y$

Теперь подставим полученные одночлены в исходное выражение:

$10xy^2 - 15x^2y - x^2y + 6xy^2$

Далее сгруппируем и приведем подобные члены:

$(10xy^2 + 6xy^2) + (-15x^2y - x^2y)$

Сложим коэффициенты в каждой группе:

$(10+6)xy^2 + (-15-1)x^2y = 16xy^2 - 16x^2y$

Для записи в стандартном виде принято располагать члены многочлена в определенном порядке, например, в лексикографическом (по убыванию степени переменной $x$, а затем $y$). Степень $x$ в члене $-16x^2y$ равна 2, а в члене $16xy^2$ равна 1. Поэтому член $-16x^2y$ будет первым.

$-16x^2y + 16xy^2$

Ответ: $-16x^2y + 16xy^2$

574. Найдите значение многочлена $2x^2 + 1$ при $x = 0$; $-2$; $3$; $-4$. Существует ли такое значение $x$, при котором значение многочлена равно нулю? отрицательно?

Найдем значение многочлена при $x = 0$
Для нахождения значения многочлена $2x^2 + 1$ подставим вместо $x$ число 0:
$2 \cdot 0^2 + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1$.
Ответ: 1

Найдем значение многочлена при $x = -2$
Подставим вместо $x$ число -2:
$2 \cdot (-2)^2 + 1 = 2 \cdot 4 + 1 = 8 + 1 = 9$.
Ответ: 9

Найдем значение многочлена при $x = 3$
Подставим вместо $x$ число 3:
$2 \cdot 3^2 + 1 = 2 \cdot 9 + 1 = 18 + 1 = 19$.
Ответ: 19

Найдем значение многочлена при $x = -4$
Подставим вместо $x$ число -4:
$2 \cdot (-4)^2 + 1 = 2 \cdot 16 + 1 = 32 + 1 = 33$.
Ответ: 33

Существует ли такое значение $x$, при котором значение многочлена равно нулю?
Чтобы выяснить это, приравняем многочлен к нулю и решим полученное уравнение:
$2x^2 + 1 = 0$
$2x^2 = -1$
$x^2 = -\frac{1}{2}$
Квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$. Так как $-\frac{1}{2}$ — отрицательное число, данное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором значение многочлена равно нулю.
Ответ: нет, не существует.

Существует ли такое значение $x$, при котором значение многочлена отрицательно?
Чтобы ответить на этот вопрос, проанализируем выражение $2x^2 + 1$.
Как мы уже установили, $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$.
Умножим обе части неравенства на 2 (положительное число), знак неравенства не изменится: $2x^2 \ge 0$.
Теперь прибавим к обеим частям 1: $2x^2 + 1 \ge 1$.
Это означает, что значение многочлена $2x^2 + 1$ всегда больше или равно 1. Следовательно, оно никогда не может быть отрицательным.
Ответ: нет, не существует.

577. Расположите члены многочлена по убывающим степеням переменной:

a) $17a^4 - 8a^5 + 3a - a^3 - 1;$

б) $35 - c^6 + 5c^2 - c^4.$

а) Чтобы расположить члены многочлена $17a^4 - 8a^5 + 3a - a^3 - 1$ по убывающим степеням переменной $a$, необходимо найти степень каждого одночлена и записать их в порядке от наибольшей степени к наименьшей.

Определим степени каждого члена многочлена:

• Степень члена $-8a^5$ равна 5.
• Степень члена $17a^4$ равна 4.
• Степень члена $-a^3$ равна 3.
• Степень члена $3a$ (или $3a^1$) равна 1.
• Степень свободного члена $-1$ (или $-1a^0$) равна 0.

Теперь расположим члены многочлена в порядке убывания их степеней (5, 4, 3, 1, 0), сохраняя их знаки:

$-8a^5 + 17a^4 - a^3 + 3a - 1$

Ответ: $-8a^5 + 17a^4 - a^3 + 3a - 1$.

б) Чтобы расположить члены многочлена $35 - c^6 + 5c^2 - c^4$ по убывающим степеням переменной $c$, необходимо найти степень каждого одночлена и записать их в порядке от наибольшей степени к наименьшей.

Определим степени каждого члена многочлена:

• Степень члена $-c^6$ равна 6.
• Степень члена $-c^4$ равна 4.
• Степень члена $5c^2$ равна 2.
• Степень свободного члена $35$ (или $35c^0$) равна 0.

Теперь расположим члены многочлена в порядке убывания их степеней (6, 4, 2, 0), сохраняя их знаки:

$-c^6 - c^4 + 5c^2 + 35$

Ответ: $-c^6 - c^4 + 5c^2 + 35$.

580. Используя калькулятор, найдите значение многочлена:

a) $x^2 + 4,23$ при $x = 1,97$;

б) $a^4 + 2a$ при $a = 2,3$.

а) Для нахождения значения многочлена $x^2 + 4,23$ при $x = 1,97$, необходимо подставить указанное значение $x$ в выражение и выполнить вычисления.
Сначала возведем $1,97$ в квадрат:
$1,97^2 = 1,97 \cdot 1,97 = 3,8809$.
Теперь прибавим к полученному результату $4,23$:
$3,8809 + 4,23 = 8,1109$.
Таким образом, значение многочлена равно $8,1109$.
Ответ: $8,1109$

б) Для нахождения значения многочлена $a^4 + 2a$ при $a = 2,3$, необходимо подставить указанное значение $a$ в выражение и выполнить вычисления.
Сначала возведем $2,3$ в четвертую степень:
$2,3^4 = 2,3 \cdot 2,3 \cdot 2,3 \cdot 2,3 = 27,9841$.
Затем найдем произведение $2a$:
$2 \cdot 2,3 = 4,6$.
Теперь сложим полученные результаты:
$27,9841 + 4,6 = 32,5841$.
Таким образом, значение многочлена равно $32,5841$.
Ответ: $32,5841$

569. Из данных многочленов выберите многочлен, тождественно равный выражению $3a^2 + b$.

1. $4a^2 - 4b - a^2 + 17b - b$

2. $-0,7a^2 - 7b - 2,3a^2 + 8b$

3. $12a^2 - 9b - 9a^2 + 6b + b$

4. $1,8a^2 - 4,2b + 1,2a^2 + 5b + 0,2b$

Чтобы определить, какой из данных многочленов тождественно равен выражению $3a^2 + b$, необходимо упростить каждый из них, приведя подобные слагаемые.

1. Упростим многочлен $4a^2 - 4b - a^2 + 17b - b$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: члены с $a^2$ и члены с $b$.
$(4a^2 - a^2) + (-4b + 17b - b) = (4-1)a^2 + (-4+17-1)b = 3a^2 + 12b$.
Полученный многочлен $3a^2 + 12b$ не равен $3a^2 + b$.
Ответ: $3a^2 + 12b$.

2. Упростим многочлен $-0,7a^2 - 7b - 2,3a^2 + 8b$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(-0,7a^2 - 2,3a^2) + (-7b + 8b) = (-0,7 - 2,3)a^2 + (-7 + 8)b = -3a^2 + b$.
Полученный многочлен $-3a^2 + b$ не равен $3a^2 + b$.
Ответ: $-3a^2 + b$.

3. Упростим многочлен $12a^2 - 9b - 9a^2 + 6b + b$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(12a^2 - 9a^2) + (-9b + 6b + b) = (12 - 9)a^2 + (-9 + 6 + 1)b = 3a^2 - 2b$.
Полученный многочлен $3a^2 - 2b$ не равен $3a^2 + b$.
Ответ: $3a^2 - 2b$.

4. Упростим многочлен $1,8a^2 - 4,2b + 1,2a^2 + 5b + 0,2b$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(1,8a^2 + 1,2a^2) + (-4,2b + 5b + 0,2b) = (1,8 + 1,2)a^2 + (-4,2 + 5 + 0,2)b = 3a^2 + 1b = 3a^2 + b$.
Полученный многочлен $3a^2 + b$ тождественно равен исходному выражению.
Ответ: $3a^2 + b$.

Таким образом, многочлен из пункта 4 тождественно равен выражению $3a^2 + b$.

572. Найдите значение многочлена:

a) $5x^6 - 3x^2 + 7 - 2x^6 - 3x^6 + 4x^2$ при $x = -10;$

б) $4a^2b - ab^2 - 3a^2b + ab^2 - ab + 6$ при $a = -3, b = 2.$

а) Для того чтобы найти значение многочлена $5x^6 - 3x^2 + 7 - 2x^6 - 3x^6 + 4x^2$ при $x = -10$, сначала упростим его, приведя подобные слагаемые. Подобными слагаемыми являются те, у которых одинаковая буквенная часть.
Сгруппируем слагаемые с $x^6$, с $x^2$ и свободные члены:
$(5x^6 - 2x^6 - 3x^6) + (-3x^2 + 4x^2) + 7$
Выполним действия с коэффициентами:
$(5 - 2 - 3)x^6 + (-3 + 4)x^2 + 7 = 0 \cdot x^6 + 1 \cdot x^2 + 7 = x^2 + 7$
Теперь, когда многочлен упрощен, подставим в него значение $x = -10$:
$(-10)^2 + 7 = 100 + 7 = 107$
Ответ: $107$

б) Для того чтобы найти значение многочлена $4a^2b - ab^2 - 3a^2b + ab^2 - ab + 6$ при $a = -3$ и $b = 2$, сначала упростим его, приведя подобные слагаемые.
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми буквенными частями ($a^2b$, $ab^2$, $ab$) и свободные члены:
$(4a^2b - 3a^2b) + (-ab^2 + ab^2) - ab + 6$
Выполним действия с коэффициентами:
$(4 - 3)a^2b + (-1 + 1)ab^2 - ab + 6 = 1 \cdot a^2b + 0 \cdot ab^2 - ab + 6 = a^2b - ab + 6$
Теперь подставим в упрощенное выражение значения $a = -3$ и $b = 2$:
$(-3)^2 \cdot 2 - (-3) \cdot 2 + 6$
Выполним вычисления, соблюдая порядок действий:
$9 \cdot 2 - (-6) + 6 = 18 + 6 + 6 = 30$
Ответ: $30$

575. Докажите, что многочлен $x^2+y^2+1$ при любых значениях $x$ и $y$ принимает положительные значения.

Рассмотрим данный многочлен $x^2 + y^2 + 1$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Это означает, что для любого значения $x$ выполняется неравенство $x^2 \ge 0$, и для любого значения $y$ выполняется неравенство $y^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых, $x^2$ и $y^2$, также будет неотрицательной:

$x^2 + y^2 \ge 0$

Теперь прибавим к обеим частям этого неравенства число 1. Знак неравенства при этом не изменится:

$x^2 + y^2 + 1 \ge 0 + 1$

$x^2 + y^2 + 1 \ge 1$

Поскольку значение многочлена $x^2 + y^2 + 1$ всегда больше или равно 1, а число 1 является положительным ($1 > 0$), то и сам многочлен при любых значениях $x$ и $y$ принимает только положительные значения.

Ответ: Утверждение доказано. Так как $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$, то их сумма $x^2 + y^2 \ge 0$. Следовательно, $x^2 + y^2 + 1 \ge 1$. Поскольку $1 > 0$, то и значение многочлена $x^2 + y^2 + 1$ всегда положительно.

578. Расположите члены многочлена по возрастающим степеням переменной:

а) $x^4 - 5 - x^2 + 12x;$

б) $2y + y^3 - y^2 + 1.$

а) Чтобы расположить члены многочлена $x^4 - 5 - x^2 + 12x$ по возрастающим степеням переменной $x$, необходимо определить степень каждого одночлена и записать их в порядке от наименьшей степени к наибольшей.

Рассмотрим степени каждого члена многочлена:

- член $x^4$ имеет степень 4;
- член $-5$ является свободным членом, его степень равна 0 (т.к. $-5 = -5x^0$);
- член $-x^2$ имеет степень 2;
- член $12x$ имеет степень 1 (т.к. $12x = 12x^1$).

Расположим степени по возрастанию: 0, 1, 2, 4.

Теперь запишем члены многочлена в соответствующем порядке, сохраняя их знаки: сначала член со степенью 0 ($-5$), затем член со степенью 1 ($+12x$), затем член со степенью 2 ($-x^2$), и в конце член со степенью 4 ($+x^4$).

Получаем многочлен: $-5 + 12x - x^2 + x^4$.

Ответ: $-5 + 12x - x^2 + x^4$

б) Рассмотрим многочлен $2y + y^3 - y^2 + 1$. Чтобы расположить его члены по возрастающим степеням переменной $y$, определим степень каждого из них.

Степени членов следующие:

- член $2y$ имеет степень 1 (т.к. $2y = 2y^1$);
- член $y^3$ имеет степень 3;
- член $-y^2$ имеет степень 2;
- член $1$ является свободным членом, его степень равна 0 (т.к. $1 = 1y^0$).

Располагая степени по возрастанию, получаем последовательность: 0, 1, 2, 3.

Теперь запишем члены многочлена в этом порядке: сначала член со степенью 0 ($1$), затем член со степенью 1 ($+2y$), затем член со степенью 2 ($-y^2$), и в конце член со степенью 3 ($+y^3$).

Получаем многочлен: $1 + 2y - y^2 + y^3$.

Ответ: $1 + 2y - y^2 + y^3$

570. Представьте в стандартном виде многочлен:

а) $-8p^4 + 12p^3 + 4p^4 - 8p^2 + 3p^2;$

б) $2aa^2 + a^2 - 3a^2 + a^3 - a;$

в) $3xx^4 + 3xx^3 - 5x^2x^3 - 5x^2x;$

г) $3a \cdot 4b^2 - 0.8b \cdot 4b^2 - 2ab \cdot 3b + b \cdot 3b^2 - 1.$

а) Чтобы представить многочлен в стандартном виде, необходимо привести подобные члены. Подобными членами называются одночлены с одинаковой буквенной частью. В данном выражении это $-8p^4$ и $4p^4$, а также $-8p^2$ и $3p^2$.
Выполним приведение подобных членов:
$-8p^4 + 12p^3 + 4p^4 - 8p^2 + 3p^2 = (-8p^4 + 4p^4) + 12p^3 + (-8p^2 + 3p^2) = (-8+4)p^4 + 12p^3 + (-8+3)p^2 = -4p^4 + 12p^3 - 5p^2$.
Члены многочлена уже расположены в порядке убывания степеней переменной $p$.
Ответ: $-4p^4 + 12p^3 - 5p^2$.

б) Сначала приведём каждый член многочлена к стандартному виду.
$2aa^2 = 2a^{1+2} = 2a^3$.
Теперь многочлен имеет вид: $2a^3 + a^2 - 3a^2 + a^3 - a$.
Приведём подобные члены. Подобными являются $2a^3$ и $a^3$, а также $a^2$ и $-3a^2$.
$(2a^3 + a^3) + (a^2 - 3a^2) - a = (2+1)a^3 + (1-3)a^2 - a = 3a^3 - 2a^2 - a$.
Члены многочлена расположены в порядке убывания степеней переменной $a$.
Ответ: $3a^3 - 2a^2 - a$.

в) Приведём каждый член многочлена к стандартному виду, используя свойство умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
$3xx^4 = 3x^{1+4} = 3x^5$
$3xx^3 = 3x^{1+3} = 3x^4$
$5x^2x^3 = 5x^{2+3} = 5x^5$
$5x^2x = 5x^{2+1} = 5x^3$
Получаем многочлен: $3x^5 + 3x^4 - 5x^5 - 5x^3$.
Теперь приведём подобные члены ($3x^5$ и $-5x^5$):
$(3x^5 - 5x^5) + 3x^4 - 5x^3 = (3-5)x^5 + 3x^4 - 5x^3 = -2x^5 + 3x^4 - 5x^3$.
Члены многочлена расположены в порядке убывания степеней переменной $x$.
Ответ: $-2x^5 + 3x^4 - 5x^3$.

г) Сначала упростим каждый член многочлена, выполнив умножение числовых коэффициентов и степеней с одинаковым основанием.
$3a \cdot 4b^2 = (3 \cdot 4)ab^2 = 12ab^2$
$0.8b \cdot 4b^2 = (0.8 \cdot 4)b^{1+2} = 3.2b^3$
$2ab \cdot 3b = (2 \cdot 3)ab^{1+1} = 6ab^2$
$b \cdot 3b^2 = 3b^{1+2} = 3b^3$
Получаем многочлен: $12ab^2 - 3.2b^3 - 6ab^2 + 3b^3 - 1$.
Приведём подобные члены. Подобными являются $12ab^2$ и $-6ab^2$, а также $-3.2b^3$ и $3b^3$.
$(12ab^2 - 6ab^2) + (-3.2b^3 + 3b^3) - 1 = (12-6)ab^2 + (-3.2+3)b^3 - 1 = 6ab^2 - 0.2b^3 - 1$.
Расположим члены многочлена в порядке убывания степени переменной $b$: $-0.2b^3 + 6ab^2 - 1$.
Ответ: $-0.2b^3 + 6ab^2 - 1$.

573. Найдите значение многочлена:

а) $6a^3 - a^{10} + 4a^3 + a^{10} - 8a^3 + a$ при $a = -3;$

б) $4x^6y^3 - 3x^6y^3 + 2x^2y^2 - x^6y^3 - x^2y^2 + y$ при $x = -2, y = -1.$

а)

Для того чтобы найти значение многочлена $6a^3 - a^{10} + 4a^3 + a^{10} - 8a^3 + a$ при $a = -3$, сначала упростим его, приведя подобные слагаемые. Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью.

Сгруппируем подобные члены:

$(6a^3 + 4a^3 - 8a^3) + (-a^{10} + a^{10}) + a$

Выполним действия с коэффициентами:

$(6 + 4 - 8)a^3 + (-1 + 1)a^{10} + a = 2a^3 + 0 \cdot a^{10} + a = 2a^3 + a$

Теперь, когда многочлен упрощен, подставим в него значение $a = -3$:

$2a^3 + a = 2 \cdot (-3)^3 + (-3)$

Вычислим значение:

$2 \cdot (-27) + (-3) = -54 - 3 = -57$

Ответ: -57

б)

Для нахождения значения многочлена $4x^6y^3 - 3x^6y^3 + 2x^2y^2 - x^6y^3 - x^2y^2 + y$ при $x = -2$ и $y = -1$, мы также сначала упростим его.

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(4x^6y^3 - 3x^6y^3 - x^6y^3) + (2x^2y^2 - x^2y^2) + y$

Выполним действия с коэффициентами:

$(4 - 3 - 1)x^6y^3 + (2 - 1)x^2y^2 + y = 0 \cdot x^6y^3 + 1 \cdot x^2y^2 + y = x^2y^2 + y$

Теперь подставим значения $x = -2$ и $y = -1$ в упрощенное выражение:

$x^2y^2 + y = (-2)^2 \cdot (-1)^2 + (-1)$

Вычислим значение:

$4 \cdot 1 + (-1) = 4 - 1 = 3$

Ответ: 3

576. Запишите в виде многочлена число, состоящее из:

а) a десятков и b единиц;

б) a сотен, b десятков и c единиц.

а)

Чтобы представить число в виде многочлена на основе его разрядного состава, нужно умножить количество единиц в каждом разряде на значение этого разряда и сложить полученные произведения. Это называется разложением числа по разрядам.

В данном случае число состоит из a десятков и b единиц. Значение разряда десятков равно 10, а разряда единиц — 1.

Следовательно, значение, вносимое a десятками, равно $a \cdot 10$.

Значение, вносимое b единицами, равно $b \cdot 1$.

Суммируя эти значения, мы получаем многочлен, представляющий исходное число:

$10a + b$

Ответ: $10a + b$

б)

Аналогично предыдущему пункту, мы представляем число как сумму его разрядных слагаемых.

Число состоит из a сотен, b десятков и c единиц. Значения разрядов сотен, десятков и единиц равны 100, 10 и 1 соответственно.

Значение, вносимое a сотнями, равно $a \cdot 100$.

Значение, вносимое b десятками, равно $b \cdot 10$.

Значение, вносимое c единицами, равно $c \cdot 1$.

Складываем эти значения, чтобы получить итоговый многочлен:

$100a + 10b + c$

Ответ: $100a + 10b + c$

579. Какова степень многочлена:

а) $4a^6 - 2a^7 + a - 1;$

б) $5p^3 - p - 2;$

в) $1 - 3x;$

г) $4xy + xy^2 - 5x^2 + y;$

д) $8x^4y + 5x^2y^3 - 11;$

е) $xy + yz + xz - 1?$

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Если многочлен является числом, не равным нулю, то его степень считают равной нулю.

а) $4a^6 - 2a^7 + a - 1$
Данный многочлен состоит из одночленов $4a^6$, $-2a^7$, $a$ и $-1$.
Степень одночлена $4a^6$ равна 6.
Степень одночлена $-2a^7$ равна 7.
Степень одночлена $a$ (можно записать как $a^1$) равна 1.
Степень члена $-1$ (свободного члена) равна 0.
Наибольшая из степеней одночленов (6, 7, 1, 0) равна 7. Следовательно, степень многочлена равна 7.
Ответ: 7.

б) $5p^3 - p - 2$
Одночлены: $5p^3$, $-p$, $-2$.
Степени одночленов: 3, 1, 0.
Наибольшая степень равна 3.
Ответ: 3.

в) $1 - 3x$
Одночлены: $1$, $-3x$.
Степени одночленов: 0, 1.
Наибольшая степень равна 1.
Ответ: 1.

г) $4xy + xy^2 - 5x^2 + y$
Данный многочлен состоит из одночленов $4xy$, $xy^2$, $-5x^2$ и $y$.
Степень одночлена $4xy$ (то есть $4x^1y^1$) равна $1+1=2$.
Степень одночлена $xy^2$ (то есть $x^1y^2$) равна $1+2=3$.
Степень одночлена $-5x^2$ равна 2.
Степень одночлена $y$ (то есть $y^1$) равна 1.
Наибольшая из степеней (2, 3, 2, 1) равна 3.
Ответ: 3.

д) $8x^4y + 5x^2y^3 - 11$
Одночлены: $8x^4y$, $5x^2y^3$, $-11$.
Степень одночлена $8x^4y$ (то есть $8x^4y^1$) равна $4+1=5$.
Степень одночлена $5x^2y^3$ равна $2+3=5$.
Степень одночлена $-11$ равна 0.
Наибольшая из степеней (5, 5, 0) равна 5.
Ответ: 5.

е) $xy + yz + xz - 1$
Одночлены: $xy$, $yz$, $xz$, $-1$.
Степень одночлена $xy$ (то есть $x^1y^1$) равна $1+1=2$.
Степень одночлена $yz$ (то есть $y^1z^1$) равна $1+1=2$.
Степень одночлена $xz$ (то есть $x^1z^1$) равна $1+1=2$.
Степень одночлена $-1$ равна 0.
Наибольшая из степеней (2, 2, 2, 0) равна 2.
Ответ: 2.