Страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

517. Найдите значение выражения:

а) $0,001x^2$ при $x = -2;$

б) $1000y^3$ при $y = 0,1;$

в) $x^2y^4$ при $x = 5, y = 2;$

г) $3x^3y^3$ при $x = -2, y = -5.$

а) Чтобы найти значение выражения $0,001x^2$ при $x = -2$, необходимо подставить значение $x$ в это выражение.

Подставляем $x = -2$:

$0,001 \cdot (-2)^2 = 0,001 \cdot 4 = 0,004$

Ответ: 0,004

б) Чтобы найти значение выражения $1000y^3$ при $y = 0,1$, необходимо подставить значение $y$ в это выражение.

Подставляем $y = 0,1$:

$1000 \cdot (0,1)^3 = 1000 \cdot 0,001 = 1$

Ответ: 1

в) Чтобы найти значение выражения $x^2y^4$ при $x = 5$ и $y = 2$, необходимо подставить значения $x$ и $y$ в это выражение.

Подставляем $x = 5$ и $y = 2$:

$5^2 \cdot 2^4 = 25 \cdot 16$

Вычисляем произведение:

$25 \cdot 16 = 400$

Ответ: 400

г) Чтобы найти значение выражения $3x^3y^3$ при $x = -2$ и $y = -5$, необходимо подставить значения $x$ и $y$ в это выражение. Для удобства вычислений можно сначала воспользоваться свойством степени произведения: $a^n b^n = (ab)^n$.

$3x^3y^3 = 3(xy)^3$

Теперь подставляем значения $x = -2$ и $y = -5$:

$3 \cdot ((-2) \cdot (-5))^3 = 3 \cdot (10)^3 = 3 \cdot 1000 = 3000$

Ответ: 3000

520. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:

а) $(-0,03)^8$ и $0$;

б) $0$ и $(-1,25)^7$;

в) $(-1,75)^3$ и $(-0,29)^2$;

г) $0,98^6$ и $1,02^6$.

а) Сравниваем $(-0,03)^8$ и $0$.

Основание степени $-0,03$ является отрицательным числом. Показатель степени $8$ является четным числом. При возведении любого ненулевого числа в четную степень результат всегда будет положительным. Следовательно, $(-0,03)^8 > 0$.

Ответ: $(-0,03)^8 > 0$.

б) Сравниваем $0$ и $(-1,25)^7$.

Основание степени $-1,25$ является отрицательным числом. Показатель степени $7$ является нечетным числом. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат всегда будет отрицательным. Любое отрицательное число меньше нуля. Следовательно, $(-1,25)^7 < 0$.

Ответ: $0 > (-1,25)^7$.

в) Сравниваем $(-1,75)^3$ и $(-0,29)^2$.

Рассмотрим первое выражение: $(-1,75)^3$. Основание степени отрицательное, а показатель степени нечетный, значит, результат будет отрицательным числом: $(-1,75)^3 < 0$.

Рассмотрим второе выражение: $(-0,29)^2$. Основание степени отрицательное, а показатель степени четный, значит, результат будет положительным числом: $(-0,29)^2 > 0$.

Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Следовательно, $(-1,75)^3 < (-0,29)^2$.

Ответ: $(-1,75)^3 < (-0,29)^2$.

г) Сравниваем $0,98^6$ и $1,02^6$.

Показатели степеней у обоих выражений одинаковы и равны $6$. Сравним основания степеней: $0,98$ и $1,02$.

Так как $0,98 < 1,02$ и оба основания положительны, а функция $y = x^6$ является возрастающей при $x > 0$, то при возведении в одну и ту же положительную степень знак неравенства сохранится.

Следовательно, $0,98^6 < 1,02^6$.

Также можно рассуждать иначе: так как $0 < 0,98 < 1$, то $0,98^6 < 1^6$, то есть $0,98^6 < 1$. А так как $1,02 > 1$, то $1,02^6 > 1^6$, то есть $1,02^6 > 1$. Из этого следует, что $0,98^6 < 1 < 1,02^6$.

Ответ: $0,98^6 < 1,02^6$.

523. Найдите при $x = 1,5$ и $x = -2$ значения выражений:

a) $x^2$, $-x^2$, $(-x)^2$;

б) $x^3$, $-x^3$, $(-x)^3$.

а) Найдем значения выражений $x^2$, $-x^2$ и $(-x)^2$ при заданных значениях $x$.

При $x = 1,5$:

Для выражения $x^2$ имеем: $x^2 = (1,5)^2 = 1,5 \cdot 1,5 = 2,25$.

Для выражения $-x^2$ имеем: $-x^2 = -(1,5)^2 = -2,25$. Здесь сначала выполняется возведение в степень, а затем применяется унарный минус.

Для выражения $(-x)^2$ имеем: $(-x)^2 = (-1,5)^2 = (-1,5) \cdot (-1,5) = 2,25$. Здесь сначала меняется знак у числа $x$, а затем результат возводится в квадрат.

При $x = -2$:

Для выражения $x^2$ имеем: $x^2 = (-2)^2 = 4$.

Для выражения $-x^2$ имеем: $-x^2 = -(-2)^2 = -(4) = -4$.

Для выражения $(-x)^2$ имеем: $(-x)^2 = (-(-2))^2 = 2^2 = 4$.

Ответ: при $x=1,5$ значения выражений равны соответственно $2,25; -2,25; 2,25$. При $x=-2$ значения равны $4; -4; 4$.

б) Найдем значения выражений $x^3$, $-x^3$ и $(-x)^3$ при заданных значениях $x$.

При $x = 1,5$:

Для выражения $x^3$ имеем: $x^3 = (1,5)^3 = 1,5 \cdot 1,5 \cdot 1,5 = 2,25 \cdot 1,5 = 3,375$.

Для выражения $-x^3$ имеем: $-x^3 = -(1,5)^3 = -3,375$.

Для выражения $(-x)^3$ имеем: $(-x)^3 = (-1,5)^3 = -3,375$. Нечетная степень отрицательного числа является отрицательным числом.

При $x = -2$:

Для выражения $x^3$ имеем: $x^3 = (-2)^3 = -8$.

Для выражения $-x^3$ имеем: $-x^3 = -(-2)^3 = -(-8) = 8$.

Для выражения $(-x)^3$ имеем: $(-x)^3 = (-(-2))^3 = 2^3 = 8$.

Ответ: при $x=1,5$ значения выражений равны соответственно $3,375; -3,375; -3,375$. При $x=-2$ значения равны $-8; 8; 8$.

526. Докажите, что не имеет корней уравнение:

а) $x^2 + 1 = 0$;

б) $2x^6 + 3x^4 + x^2 + 1 = 0$.

а) $x^2 + 1 = 0$

Чтобы доказать, что данное уравнение не имеет корней, проанализируем его левую часть. Выражение $x^2$ представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$.

Если к неотрицательному числу $x^2$ прибавить 1, то результат всегда будет больше или равен 1. Это можно записать в виде неравенства: $x^2 + 1 \ge 0 + 1$ $x^2 + 1 \ge 1$

Таким образом, левая часть уравнения ($x^2 + 1$) при любом действительном значении $x$ всегда будет строго положительным числом (не меньше 1). Следовательно, она никогда не сможет равняться нулю. Это доказывает, что у уравнения нет действительных корней.

Ответ: уравнение не имеет корней, так как для любого действительного $x$ выполняется неравенство $x^2 \ge 0$, из которого следует, что $x^2 + 1 \ge 1$, а значит, левая часть уравнения не может равняться нулю.

б) $2x^6 + 3x^4 + x^2 + 1 = 0$

Рассмотрим левую часть уравнения. Все степени переменной $x$ являются четными ($x^6$, $x^4$, $x^2$). Для любого действительного числа $x$ значение выражения с четной степенью неотрицательно:

$x^6 \ge 0$
$x^4 \ge 0$
$x^2 \ge 0$

Поскольку все коэффициенты при этих степенях (2, 3 и 1) положительны, то и каждое слагаемое, содержащее $x$, также будет неотрицательным:

$2x^6 \ge 0$
$3x^4 \ge 0$
$x^2 \ge 0$

Левая часть уравнения является суммой трех неотрицательных слагаемых и положительного числа 1. Сумма неотрицательных чисел и положительного числа всегда положительна. Оценим наименьшее возможное значение левой части: $2x^6 + 3x^4 + x^2 + 1 \ge 0 + 0 + 0 + 1 = 1$.

Таким образом, значение левой части уравнения при любом действительном $x$ всегда больше или равно 1. Следовательно, оно никогда не может быть равно 0.

Ответ: уравнение не имеет корней, так как левая часть уравнения, будучи суммой нескольких неотрицательных слагаемых и единицы, при любом действительном значении $x$ всегда больше или равна 1.

529. Имеет ли уравнение $x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = 0$ отрицательные корни?

Для того чтобы ответить на вопрос, имеет ли уравнение $x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = 0$ отрицательные корни, проанализируем левую часть уравнения при $x < 0$.

Предположим, что $x$ является отрицательным числом. Рассмотрим знаки каждого слагаемого в выражении $x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1$. Если $x < 0$, то:

$x^6 > 0$, так как любое отрицательное число, возведенное в чётную степень, является положительным.

$-x^5 > 0$, так как $x^5$ будет отрицательным (нечётная степень отрицательного числа), а знак минус перед ним делает всё выражение положительным.

$x^4 > 0$ (аналогично $x^6$, чётная степень).

$-x^3 > 0$ (аналогично $-x^5$, нечётная степень со знаком минус).

$x^2 > 0$ (чётная степень).

$-x > 0$, так как $x$ отрицательно, и умножение на $-1$ меняет знак на противоположный.

$1 > 0$ (положительная константа).

Таким образом, для любого отрицательного значения $x$ левая часть уравнения представляет собой сумму семи строго положительных слагаемых. Сумма положительных чисел всегда положительна и, следовательно, не может равняться нулю.

Поскольку левая часть уравнения $x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1$ всегда больше нуля при $x < 0$, она никогда не сможет обратиться в ноль. Это доказывает, что у данного уравнения нет отрицательных корней.

Ответ: Нет, данное уравнение не имеет отрицательных корней.

518. Найдите значение выражения $(-1)^n$ при $n$, равном:

а) 6;

б) 11;

в) 23;

г) 70.

Чтобы найти значение выражения $(-1)^n$, необходимо определить, является ли показатель степени $n$ четным или нечетным числом. Действует следующее правило:

• Если показатель степени $n$ является четным числом (то есть делится на 2 без остатка), то значение выражения $(-1)^n$ равно $1$.
• Если показатель степени $n$ является нечетным числом (то есть при делении на 2 дает остаток 1), то значение выражения $(-1)^n$ равно $-1$.

Применим это правило для каждого из заданных значений $n$.

а)

Находим значение выражения при $n = 6$. Число 6 является четным, поскольку $6 \div 2 = 3$. Следовательно, результат возведения в степень будет положительным.

$(-1)^6 = 1$

Ответ: 1

б)

Находим значение выражения при $n = 11$. Число 11 является нечетным. Следовательно, результат возведения в степень будет отрицательным.

$(-1)^{11} = -1$

Ответ: -1

в)

Находим значение выражения при $n = 23$. Число 23 является нечетным. Следовательно, результат возведения в степень будет отрицательным.

$(-1)^{23} = -1$

Ответ: -1

г)

Находим значение выражения при $n = 70$. Число 70 является четным, поскольку $70 \div 2 = 35$. Следовательно, результат возведения в степень будет положительным.

$(-1)^{70} = 1$

Ответ: 1

521. Что больше и на сколько:

a) $2^3$ или $3^2$;

б) $5^2$ или $2^5$;

в) $2 \cdot 3^2$ или $3 \cdot 2^3$;

г) $(11 + 19)^2$ или $11^2 + 19^2$?

а) Чтобы сравнить числа $2^3$ и $3^2$, необходимо вычислить их значения.

Вычисляем первое число: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Вычисляем второе число: $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.

Сравниваем полученные результаты: $9 > 8$.

Теперь найдем, на сколько одно число больше другого, для этого вычтем из большего меньшее: $9 - 8 = 1$.

Ответ: $3^2$ больше, чем $2^3$, на 1.

б) Чтобы сравнить числа $5^2$ и $2^5$, вычислим их значения.

Вычисляем первое число: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.

Вычисляем второе число: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Сравниваем полученные результаты: $32 > 25$.

Находим разность: $32 - 25 = 7$.

Ответ: $2^5$ больше, чем $5^2$, на 7.

в) Чтобы сравнить выражения $2 \cdot 3^2$ и $3 \cdot 2^3$, вычислим их значения, соблюдая порядок действий (сначала возведение в степень, затем умножение).

Вычисляем первое выражение: $2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$.

Вычисляем второе выражение: $3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$.

Сравниваем полученные результаты: $24 > 18$.

Находим разность: $24 - 18 = 6$.

Ответ: $3 \cdot 2^3$ больше, чем $2 \cdot 3^2$, на 6.

г) Чтобы сравнить выражения $(11 + 19)^2$ и $11^2 + 19^2$, можно пойти двумя путями.

Способ 1: Прямое вычисление.

Вычисляем первое выражение, сначала выполняя действие в скобках: $(11 + 19)^2 = 30^2 = 900$.

Вычисляем второе выражение, сначала возводя в степень: $11^2 + 19^2 = 121 + 361 = 482$.

Сравниваем полученные результаты: $900 > 482$.

Находим разность: $900 - 482 = 418$.

Способ 2: Использование формулы сокращенного умножения.

Используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=11$ и $b=19$. Тогда $(11+19)^2 = 11^2 + 2 \cdot 11 \cdot 19 + 19^2$.

Сравнивая выражение $11^2 + 2 \cdot 11 \cdot 19 + 19^2$ с выражением $11^2 + 19^2$, видим, что первое больше на $2 \cdot 11 \cdot 19$.

Вычислим эту разницу: $2 \cdot 11 \cdot 19 = 22 \cdot 19 = 418$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $(11 + 19)^2$ больше, чем $11^2 + 19^2$, на 418.

524. Докажите, что при любом натуральном n значение дроби является натуральным числом:

а) $\frac{10^n - 1}{9}$;

б) $\frac{10^n + 8}{9}$;

в) $\frac{10^n - 4}{3}$.

а) Чтобы доказать, что значение дроби $\frac{10^n - 1}{9}$ является натуральным числом при любом натуральном $n$, необходимо показать, что числитель $10^n - 1$ делится на 9 без остатка и результат является натуральным числом. Рассмотрим число $10^n$. При любом натуральном $n$ это число записывается как единица, за которой следуют $n$ нулей (например, $10^3 = 1000$). Соответственно, число $10^n - 1$ будет состоять из $n$ цифр 9. Например, $10^1 - 1 = 9$, $10^2 - 1 = 99$, $10^3 - 1 = 999$. В общем виде, $10^n - 1 = \underbrace{99...9}_{n \text{ раз}}$. Такое число очевидно делится на 9. Результатом деления будет число, состоящее из $n$ единиц: $\frac{10^n - 1}{9} = \frac{\overbrace{99...9}^{n \text{ раз}}}{9} = \underbrace{11...1}_{n \text{ раз}}$. Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то число, состоящее из $n$ единиц, всегда является натуральным числом (например, 1, 11, 111 и т.д.).
Ответ: Утверждение доказано. Значение дроби равно числу, состоящему из $n$ единиц, которое является натуральным для любого натурального $n$.

б) Чтобы доказать, что значение дроби $\frac{10^n + 8}{9}$ является натуральным числом, преобразуем выражение в числителе: $10^n + 8 = (10^n - 1) + 9$. Теперь подставим это в дробь: $\frac{10^n + 8}{9} = \frac{(10^n - 1) + 9}{9} = \frac{10^n - 1}{9} + \frac{9}{9} = \frac{10^n - 1}{9} + 1$. Из пункта а) мы уже доказали, что выражение $\frac{10^n - 1}{9}$ является натуральным числом для любого натурального $n$. Сумма натурального числа и 1 также всегда является натуральным числом.
Ответ: Утверждение доказано. Значение дроби можно представить как сумму натурального числа (доказано в пункте а) и 1, что также является натуральным числом.

в) Чтобы доказать, что значение дроби $\frac{10^n - 4}{3}$ является натуральным числом, нужно показать, что числитель $10^n - 4$ делится на 3 нацело. Для этого воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Рассмотрим число $10^n - 4$ для нескольких значений $n$: При $n=1$: $10^1 - 4 = 6$. Сумма цифр равна 6, $6 \div 3 = 2$. При $n=2$: $10^2 - 4 = 96$. Сумма цифр $9+6=15$, $15 \div 3 = 5$. При $n=3$: $10^3 - 4 = 996$. Сумма цифр $9+9+6=24$, $24 \div 3 = 8$. В общем случае, для любого натурального $n \ge 2$, число $10^n - 4$ будет записываться как $n-1$ цифр 9, за которыми следует цифра 6. То есть, $\underbrace{99...9}_{n-1 \text{ раз}}6$. Сумма цифр этого числа равна: $S = (n-1) \cdot 9 + 6 = 9n - 9 + 6 = 9n - 3 = 3(3n - 1)$. Так как сумма цифр $S = 3(3n - 1)$ является произведением 3 и целого числа $(3n-1)$, она всегда делится на 3. Следовательно, и само число $10^n - 4$ делится на 3 для любого натурального $n$. Поскольку $n$ — натуральное число, $10^n - 4 \ge 10 - 4 = 6 > 0$, результат деления будет положительным целым числом, то есть натуральным числом.
Ответ: Утверждение доказано. Сумма цифр числа $10^n - 4$ всегда делится на 3, следовательно, само число делится на 3, а результат деления является натуральным числом.

527. При каком значении x значение выражения $(2x + 3)^2$ равно нулю?

Чтобы найти значение x, при котором значение выражения $(2x + 3)^2$ равно нулю, необходимо составить и решить уравнение, приравняв данное выражение к нулю:

$(2x + 3)^2 = 0$

Квадрат выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение (основание степени) равно нулю. Следовательно, мы можем упростить уравнение, избавившись от квадрата:

$2x + 3 = 0$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Первым шагом перенесем слагаемое 3 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$2x = -3$

Чтобы найти x, разделим обе части уравнения на коэффициент при x, то есть на 2:

$x = \frac{-3}{2}$

Результат можно представить в виде десятичной дроби:

$x = -1.5$

Таким образом, при x = -1.5 значение выражения $(2x + 3)^2$ обращается в ноль.

Ответ: -1.5

516. Представьте число в виде степени с показателем, отличным от 1:

а) 121;

б) -32;

в) 0,125;

г) 625;

д) -0,216;

е) 0,343.

а) Чтобы представить число 121 в виде степени, нужно найти число, которое при умножении само на себя даст 121. Мы знаем, что $11 \times 11 = 121$. Таким образом, 121 можно записать как квадрат числа 11. Показатель степени 2 не равен 1, что соответствует условию задачи.

Ответ: $121 = 11^2$.

б) Для отрицательного числа -32 нужно найти отрицательное основание и нечетный показатель степени. Проверим степени числа -2.$(-2)^1 = -2$$(-2)^2 = 4$$(-2)^3 = -8$$(-2)^4 = 16$$(-2)^5 = -32$Следовательно, -32 является пятой степенью числа -2. Показатель степени 5 не равен 1.

Ответ: $-32 = (-2)^5$.

в) Десятичную дробь 0,125 удобнее представить в виде обыкновенной дроби: $0,125 = \frac{125}{1000}$. Сократив дробь на 125, получим $\frac{1}{8}$. Так как $8 = 2^3$, то $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = (\frac{1}{2})^3$. Переведем основание $\frac{1}{2}$ обратно в десятичную дробь, получим 0,5. Показатель степени 3 не равен 1.

Ответ: $0,125 = (0,5)^3$.

г) Число 625 оканчивается на 5,

519. Вычислите:

а) сумму кубов чисел 5 и -3; $5^3 + (-3)^3$

б) куб суммы чисел 9 и -11; $(9 + (-11))^3$

в) разность квадратов чисел 12 и 8; $12^2 - 8^2$

г) квадрат разности чисел 96 и -4; $(96 - (-4))^2$

д) удвоенное произведение квадратов чисел 7 и -5; $2 \cdot 7^2 \cdot (-5)^2$

е) утроенное произведение числа 15 и квадрата числа 4. $3 \cdot 15 \cdot 4^2$

а) Требуется найти сумму кубов чисел 5 и -3. Это можно записать в виде выражения: $5^3 + (-3)^3$.

Сначала вычислим куб каждого числа:

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

$(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot (-3) = -27$

Теперь сложим полученные значения:

$125 + (-27) = 125 - 27 = 98$

Ответ: 98

б) Требуется найти куб суммы чисел 9 и -11. Выражение для вычисления: $(9 + (-11))^3$.

Сначала найдем сумму чисел в скобках:

$9 + (-11) = 9 - 11 = -2$

Затем возведем полученную сумму в куб:

$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$

Ответ: -8

в) Требуется найти разность квадратов чисел 12 и 8. Это можно записать как $12^2 - 8^2$.

Вычислим квадрат каждого числа:

$12^2 = 144$

$8^2 = 64$

Теперь найдем разность полученных значений:

$144 - 64 = 80$

Также можно использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$12^2 - 8^2 = (12-8)(12+8) = 4 \cdot 20 = 80$

Ответ: 80

г) Требуется найти квадрат разности чисел 96 и -4. Выражение для вычисления: $(96 - (-4))^2$.

Сначала найдем разность чисел в скобках:

$96 - (-4) = 96 + 4 = 100$

Теперь возведем полученное значение в квадрат:

$100^2 = 10000$

Ответ: 10000

д) Требуется найти удвоенное произведение квадратов чисел 7 и -5. Выражение: $2 \cdot (7^2 \cdot (-5)^2)$.

Вычислим квадраты чисел:

$7^2 = 49$

$(-5)^2 = 25$

Найдем их произведение:

$49 \cdot 25 = 1225$

Теперь удвоим результат:

$2 \cdot 1225 = 2450$

Ответ: 2450

е) Требуется найти утроенное произведение числа 15 и квадрата числа 4. Выражение: $3 \cdot (15 \cdot 4^2)$.

Сначала вычислим квадрат числа 4:

$4^2 = 16$

Найдем произведение 15 и 16:

$15 \cdot 16 = 240$

Теперь утроим полученный результат:

$3 \cdot 240 = 720$

Ответ: 720

522. Сравните значения выражений $a^2$ и $a^3$ при $a$, равном:

а) –12;

б) 0;

в) 5.

а) Сравним значения выражений $a^2$ и $a^3$ при $a = -12$.

Сначала вычислим значение выражения $a^2$:
$a^2 = (-12)^2 = (-12) \cdot (-12) = 144$.

Теперь вычислим значение выражения $a^3$:
$a^3 = (-12)^3 = (-12) \cdot (-12) \cdot (-12) = 144 \cdot (-12) = -1728$.

Сравним полученные значения $144$ и $-1728$.
Любое положительное число больше любого отрицательного числа, поэтому $144 > -1728$.
Следовательно, $a^2 > a^3$.

Ответ: при $a = -12$, $a^2 > a^3$.

б) Сравним значения выражений $a^2$ и $a^3$ при $a = 0$.

Вычислим значение выражения $a^2$:
$a^2 = 0^2 = 0 \cdot 0 = 0$.

Вычислим значение выражения $a^3$:
$a^3 = 0^3 = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$.

Сравним полученные значения: $0$ и $0$.
Значения равны, поэтому $0 = 0$.
Следовательно, $a^2 = a^3$.

Ответ: при $a = 0$, $a^2 = a^3$.

в) Сравним значения выражений $a^2$ и $a^3$ при $a = 5$.

Вычислим значение выражения $a^2$:
$a^2 = 5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.

Вычислим значение выражения $a^3$:
$a^3 = 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$.

Сравним полученные значения: $25$ и $125$.
Поскольку $25 < 125$, то $a^2 < a^3$.

Ответ: при $a = 5$, $a^2 < a^3$.

525. Какие из чисел -3, -2, -1, 1, 2, 3 являются корнями уравнения:

а) $x^4 = 81;$

б) $x^6 = 64;$

в) $x^2 - x = 2;$

г) $x^4 + x^3 = 6x^2;$

д) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0;$

е) $x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0?$

Чтобы определить, какие из чисел $-3, -2, -1, 1, 2, 3$ являются корнями каждого уравнения, необходимо подставить каждое из этих чисел в уравнение вместо переменной $x$ и проверить, обращается ли уравнение в верное числовое равенство.

а) $x^4 = 81$

Проверим каждое число:

При $x = -3$: $(-3)^4 = 81$, что равно $81$. Равенство $81 = 81$ верное, значит, $-3$ – корень уравнения.

При $x = -2$: $(-2)^4 = 16$. $16 \neq 81$.

При $x = -1$: $(-1)^4 = 1$. $1 \neq 81$.

При $x = 1$: $1^4 = 1$. $1 \neq 81$.

При $x = 2$: $2^4 = 16$. $16 \neq 81$.

При $x = 3$: $3^4 = 81$, что равно $81$. Равенство $81 = 81$ верное, значит, $3$ – корень уравнения.

Ответ: $-3, 3$.

б) $x^6 = 64$

Проверим каждое число:

При $x = -3$: $(-3)^6 = 729$. $729 \neq 64$.

При $x = -2$: $(-2)^6 = 64$. Равенство $64 = 64$ верное, значит, $-2$ – корень уравнения.

При $x = -1$: $(-1)^6 = 1$. $1 \neq 64$.

При $x = 1$: $1^6 = 1$. $1 \neq 64$.

При $x = 2$: $2^6 = 64$. Равенство $64 = 64$ верное, значит, $2$ – корень уравнения.

При $x = 3$: $3^6 = 729$. $729 \neq 64$.

Ответ: $-2, 2$.

в) $x^2 - x = 2$

Проверим каждое число:

При $x = -3$: $(-3)^2 - (-3) = 9 + 3 = 12$. $12 \neq 2$.

При $x = -2$: $(-2)^2 - (-2) = 4 + 2 = 6$. $6 \neq 2$.

При $x = -1$: $(-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2$. Равенство $2 = 2$ верное, значит, $-1$ – корень уравнения.

При $x = 1$: $1^2 - 1 = 1 - 1 = 0$. $0 \neq 2$.

При $x = 2$: $2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$. Равенство $2 = 2$ верное, значит, $2$ – корень уравнения.

При $x = 3$: $3^2 - 3 = 9 - 3 = 6$. $6 \neq 2$.

Ответ: $-1, 2$.

г) $x^4 + x^3 = 6x^2$

Проверим каждое число:

При $x = -3$: левая часть $(-3)^4 + (-3)^3 = 81 - 27 = 54$; правая часть $6(-3)^2 = 6 \cdot 9 = 54$. Равенство $54 = 54$ верное, значит, $-3$ – корень уравнения.

При $x = -2$: левая часть $(-2)^4 + (-2)^3 = 16 - 8 = 8$; правая часть $6(-2)^2 = 6 \cdot 4 = 24$. $8 \neq 24$.

При $x = -1$: левая часть $(-1)^4 + (-1)^3 = 1 - 1 = 0$; правая часть $6(-1)^2 = 6 \cdot 1 = 6$. $0 \neq 6$.

При $x = 1$: левая часть $1^4 + 1^3 = 1 + 1 = 2$; правая часть $6(1)^2 = 6 \cdot 1 = 6$. $2 \neq 6$.

При $x = 2$: левая часть $2^4 + 2^3 = 16 + 8 = 24$; правая часть $6(2)^2 = 6 \cdot 4 = 24$. Равенство $24 = 24$ верное, значит, $2$ – корень уравнения.

При $x = 3$: левая часть $3^4 + 3^3 = 81 + 27 = 108$; правая часть $6(3)^2 = 6 \cdot 9 = 54$. $108 \neq 54$.

Ответ: $-3, 2$.

д) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$

Проверим каждое число:

При $x = -3$: $(-3)^3 - 3(-3)^2 - 4(-3) + 12 = -27 - 3(9) + 12 + 12 = -27 - 27 + 24 = -30 \neq 0$.

При $x = -2$: $(-2)^3 - 3(-2)^2 - 4(-2) + 12 = -8 - 3(4) + 8 + 12 = -8 - 12 + 8 + 12 = 0$. Равенство верное, значит, $-2$ – корень уравнения.

При $x = -1$: $(-1)^3 - 3(-1)^2 - 4(-1) + 12 = -1 - 3(1) + 4 + 12 = -1 - 3 + 4 + 12 = 12 \neq 0$.

При $x = 1$: $1^3 - 3(1)^2 - 4(1) + 12 = 1 - 3 - 4 + 12 = 6 \neq 0$.

При $x = 2$: $2^3 - 3(2)^2 - 4(2) + 12 = 8 - 3(4) - 8 + 12 = 8 - 12 - 8 + 12 = 0$. Равенство верное, значит, $2$ – корень уравнения.

При $x = 3$: $3^3 - 3(3)^2 - 4(3) + 12 = 27 - 3(9) - 12 + 12 = 27 - 27 - 12 + 12 = 0$. Равенство верное, значит, $3$ – корень уравнения.

Ответ: $-2, 2, 3$.

е) $x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0$

Проверим каждое число:

При $x = -3$: $(-3)^3 + 3(-3)^2 - (-3) - 3 = -27 + 3(9) + 3 - 3 = -27 + 27 + 0 = 0$. Равенство верное, значит, $-3$ – корень уравнения.

При $x = -2$: $(-2)^3 + 3(-2)^2 - (-2) - 3 = -8 + 3(4) + 2 - 3 = -8 + 12 + 2 - 3 = 3 \neq 0$.

При $x = -1$: $(-1)^3 + 3(-1)^2 - (-1) - 3 = -1 + 3(1) + 1 - 3 = -1 + 3 + 1 - 3 = 0$. Равенство верное, значит, $-1$ – корень уравнения.

При $x = 1$: $1^3 + 3(1)^2 - 1 - 3 = 1 + 3 - 1 - 3 = 0$. Равенство верное, значит, $1$ – корень уравнения.

При $x = 2$: $2^3 + 3(2)^2 - 2 - 3 = 8 + 3(4) - 2 - 3 = 8 + 12 - 5 = 15 \neq 0$.

При $x = 3$: $3^3 + 3(3)^2 - 3 - 3 = 27 + 3(9) - 6 = 27 + 27 - 6 = 48 \neq 0$.

Ответ: $-3, -1, 1$.

528. Докажите, что уравнение $x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x + 6 = 0$ не имеет положительных корней.

Чтобы доказать, что уравнение $x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x + 6 = 0$ не имеет положительных корней, рассмотрим левую часть уравнения как функцию $P(x) = x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x + 6$. Нам необходимо доказать, что не существует такого $x > 0$, при котором $P(x) = 0$.

Пусть $x$ — любое положительное число ($x > 0$). Проанализируем каждое слагаемое в многочлене $P(x)$. При $x > 0$ слагаемое $x^4$ положительно, слагаемое $3x^3$ положительно, слагаемое $2x^2$ положительно, слагаемое $x$ положительно, и свободный член $6$ также является положительным числом.

Таким образом, при любом $x > 0$ левая часть уравнения представляет собой сумму пяти строго положительных слагаемых. Сумма строго положительных чисел всегда является строго положительным числом.

Следовательно, для любого $x > 0$ выполняется неравенство $x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x + 6 > 0$.

Поскольку значение левой части уравнения всегда строго больше нуля для любого положительного $x$, оно никогда не может быть равно нулю. Это означает, что у уравнения нет положительных корней, что и требовалось доказать.

Ответ: Уравнение не имеет положительных корней, так как при $x > 0$ все слагаемые в левой части ($x^4, 3x^3, 2x^2, x$) положительны, и свободный член $6$ также положителен. Сумма нескольких положительных чисел всегда положительна и не может равняться нулю.