Страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

502. Найдите наибольшее двузначное число, равное произведению двух простых чисел.

Чтобы найти наибольшее двузначное число, которое является произведением двух простых чисел, нужно найти самое большое число в диапазоне от 10 до 99, удовлетворяющее этому условию.

Проще всего начать проверку с самого большого двузначного числа (99) и двигаться вниз, анализируя каждое число на предмет разложения на два простых множителя.

• Число 99: Разложение на простые множители: $99 = 9 \cdot 11 = 3 \cdot 3 \cdot 11$. Это произведение трех простых чисел, а не двух. Следовательно, 99 не подходит.
• Число 98: Разложение на простые множители: $98 = 2 \cdot 49 = 2 \cdot 7 \cdot 7$. Это также произведение трех простых чисел. Не подходит.
• Число 97: Это число является простым, так как оно не делится без остатка ни на одно простое число до $\sqrt{97} \approx 9.8$. Его нельзя представить как произведение двух простых чисел.
• Число 96: Разложение на простые множители: $96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$. Это произведение шести простых чисел. Не подходит.
• Число 95: Разложение на множители: $95 = 5 \cdot 19$. Числа 5 и 19 оба являются простыми. Это число удовлетворяет условию.

Поскольку мы проверяли числа в порядке убывания, первое же число, которое удовлетворило условию, является наибольшим. Таким образом, искомое число — 95.

Другой подход — перемножать пары простых чисел, чтобы получить максимальный результат меньше 100. Пусть искомое число $N = p_1 \cdot p_2$, где $p_1$ и $p_2$ — простые числа. Чтобы $N$ было максимальным, множители тоже должны быть большими. Предположим $p_1 \le p_2$. Тогда $p_1^2 \le p_1 \cdot p_2 < 100$, откуда следует, что $p_1 < 10$. Значит, меньший из простых множителей может быть только 2, 3, 5 или 7.

• Если $p_1 = 2$, наибольшее простое $p_2$ такое, что $2 \cdot p_2 < 100$, это 47. Произведение: $2 \cdot 47 = 94$.
• Если $p_1 = 3$, наибольшее простое $p_2$ такое, что $3 \cdot p_2 < 100$, это 31. Произведение: $3 \cdot 31 = 93$.
• Если $p_1 = 5$, наибольшее простое $p_2$ такое, что $5 \cdot p_2 < 100$, это 19. Произведение: $5 \cdot 19 = 95$.
• Если $p_1 = 7$, наибольшее простое $p_2$ такое, что $7 \cdot p_2 < 100$, это 13. Произведение: $7 \cdot 13 = 91$.

Сравнивая полученные произведения (94, 93, 95, 91), видим, что наибольшим является 95.

Ответ: 95

505. Разложите на простые множители число:

а) 5082;

б) 7605.

а) Разложим число 5082 на простые множители. Разложение на простые множители — это представление числа в виде произведения простых чисел. Будем последовательно делить число на наименьшие простые делители.
1. Число 5082 заканчивается на четную цифру 2, следовательно, оно делится на 2:
$5082 : 2 = 2541$
2. Проверим делимость числа 2541 на 3. Сумма его цифр равна $2 + 5 + 4 + 1 = 12$. Так как 12 делится на 3, то и 2541 делится на 3:
$2541 : 3 = 847$
3. Теперь нужно разложить число 847. Проверим делимость на следующие по порядку простые числа. Сумма цифр $8 + 4 + 7 = 19$, на 3 не делится. На 5 не делится, так как не оканчивается на 0 или 5. Проверим делимость на 7:
$847 : 7 = 121$
4. Число 121 — это квадрат простого числа 11:
$121 = 11 \cdot 11 = 11^2$
Таким образом, мы собрали все простые множители. Запишем их в виде произведения:
$5082 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 11$
Ответ: $5082 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11^2$.

б) Разложим число 7605 на простые множители.
1. Проверим делимость числа 7605 на 3. Сумма его цифр равна $7 + 6 + 0 + 5 = 18$. Так как 18 делится на 3, то и 7605 делится на 3:
$7605 : 3 = 2535$
2. Проверим делимость полученного числа 2535 на 3. Сумма его цифр $2 + 5 + 3 + 5 = 15$. 15 делится на 3, значит и 2535 делится на 3:
$2535 : 3 = 845$
3. Число 845 заканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5:
$845 : 5 = 169$
4. Число 169 — это квадрат простого числа 13:
$169 = 13 \cdot 13 = 13^2$
Теперь запишем разложение числа 7605 на простые множители, расположив их в порядке возрастания:
$7605 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 13$
Ответ: $7605 = 3^2 \cdot 5 \cdot 13^2$.

508. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

a) $294$ и $756$;

б) $693$ и $1617$.

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел, нужно разложить их на простые множители, а затем найти произведение всех простых множителей, взятых с наибольшим показателем степени из разложений.

а) 294 и 756

1. Разложим число 294 на простые множители:

$294 = 2 \cdot 147 = 2 \cdot 3 \cdot 49 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 7^2$

2. Разложим число 756 на простые множители:

$756 = 2 \cdot 378 = 2^2 \cdot 189 = 2^2 \cdot 3 \cdot 63 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7^1$

3. Теперь составим произведение из всех простых множителей, входящих в разложения, взяв для каждого множителя наибольшую степень:

Для множителя 2 наибольшая степень – 2 ($2^2$).

Для множителя 3 наибольшая степень – 3 ($3^3$).

Для множителя 7 наибольшая степень – 2 ($7^2$).

4. Вычислим НОК:

НОК(294, 756) = $2^2 \cdot 3^3 \cdot 7^2 = 4 \cdot 27 \cdot 49 = 108 \cdot 49 = 5292$

Ответ: 5292.

б) 693 и 1617

1. Разложим число 693 на простые множители:

$693 = 3 \cdot 231 = 3 \cdot 3 \cdot 77 = 3^2 \cdot 7^1 \cdot 11^1$

2. Разложим число 1617 на простые множители:

$1617 = 3 \cdot 539 = 3 \cdot 7 \cdot 77 = 3^1 \cdot 7^2 \cdot 11^1$

3. Составим произведение из всех простых множителей с их наибольшими степенями:

Для множителя 3 наибольшая степень – 2 ($3^2$).

Для множителя 7 наибольшая степень – 2 ($7^2$).

Для множителя 11 наибольшая степень – 1 ($11^1$).

4. Вычислим НОК:

НОК(693, 1617) = $3^2 \cdot 7^2 \cdot 11^1 = 9 \cdot 49 \cdot 11 = 441 \cdot 11 = 4851$

Ответ: 4851.

503. Пусть $p$ — простое число. Укажите наименьшее значение $p$, при котором значение выражения $2^p - 1$ не является простым числом.

Задача состоит в том, чтобы найти наименьшее простое число $p$, для которого число вида $2^p - 1$ не является простым (то есть является составным). Числа вида $M_p = 2^p - 1$ называются числами Мерсенна.

Для того чтобы число $2^p - 1$ было простым, необходимо, чтобы показатель $p$ сам был простым числом. Однако это условие не является достаточным. Нам нужно найти наименьший простой показатель $p$, для которого число Мерсенна $M_p$ является составным.

Будем перебирать простые числа $p$ в порядке возрастания и проверять, является ли соответствующее значение $2^p - 1$ простым.

Проверка для p = 2
При $p = 2$ (наименьшее простое число) получаем: $2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$.
Число 3 является простым.

Проверка для p = 3
При $p = 3$ (следующее простое число) получаем: $2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$.
Число 7 является простым.

Проверка для p = 5
При $p = 5$ получаем: $2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$.
Число 31 является простым.

Проверка для p = 7
При $p = 7$ получаем: $2^7 - 1 = 128 - 1 = 127$.
Число 127 является простым (его возможные простые делители не превышают $\sqrt{127} \approx 11.2$, то есть это 2, 3, 5, 7, 11; ни одно из них не делит 127).

Проверка для p = 11
При $p = 11$ получаем: $2^{11} - 1 = 2048 - 1 = 2047$.
Проверим, является ли число 2047 простым. Для этого попробуем найти его делители. Известно, что любой простой делитель числа Мерсенна $M_p = 2^p - 1$ должен иметь вид $2kp+1$ для некоторого натурального $k$. В нашем случае $p=11$, значит, делители должны иметь вид $2k \cdot 11 + 1 = 22k+1$.
Проверим значения для $k=1, 2, 3, \dots$:
- При $k=1$: $22 \cdot 1 + 1 = 23$. Проверим деление $2047$ на $23$: $2047 \div 23 = 89$.
Так как $2047 = 23 \cdot 89$, число 2047 является составным.

Таким образом, мы нашли, что при $p=2, 3, 5, 7$ выражение $2^p - 1$ дает простые числа, а при $p=11$ — составное. Следовательно, наименьшее простое число $p$, удовлетворяющее условию задачи, это 11.

Ответ: 11.

506. Разложите на простые множители число $a$, если

$a = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10.$

Чтобы разложить число $a$ на простые множители, необходимо представить каждый из множителей в его определении в виде произведения простых чисел. Число $a$ задано как произведение целых чисел от 1 до 10:

$a = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10$

Разложим на простые множители все составные числа из этого произведения:

$4 = 2 \cdot 2 = 2^2$

$6 = 2 \cdot 3$

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$

$10 = 2 \cdot 5$

Простые числа в произведении — это 2, 3, 5, 7. Множитель 1 не является простым числом и не влияет на итоговое разложение.

Теперь подставим полученные разложения в исходное выражение для $a$:

$a = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (2^2) \cdot 5 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot (2^3) \cdot (3^2) \cdot (2 \cdot 5)$

Сгруппируем одинаковые простые множители и найдем их общую степень, сложив показатели степеней для каждого простого множителя:

Для множителя 2: он содержится в числах 2 (степень 1), 4 (степень 2), 6 (степень 1), 8 (степень 3) и 10 (степень 1). Суммарная степень: $1 + 2 + 1 + 3 + 1 = 8$. Получаем множитель $2^8$.

Для множителя 3: он содержится в числах 3 (степень 1), 6 (степень 1) и 9 (степень 2). Суммарная степень: $1 + 1 + 2 = 4$. Получаем множитель $3^4$.

Для множителя 5: он содержится в числах 5 (степень 1) и 10 (степень 1). Суммарная степень: $1 + 1 = 2$. Получаем множитель $5^2$.

Для множителя 7: он содержится в числе 7 (степень 1). Получаем множитель $7^1$ или просто 7.

Собрав все вместе, получаем каноническое разложение числа $a$ на простые множители:

$a = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7$

Ответ: $a = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7$.

509. В последовательностях записаны в порядке возрастания все натуральные числа, которые не превосходят 200, причём в первой последовательности записаны числа, кратные 6, а во второй — кратные 8:

$6, 12, 18, \dots;$

$8, 16, 24, \dots.$

Сколько в этих последовательностях одинаковых чисел?

Для нахождения количества одинаковых чисел в двух последовательностях необходимо определить, какие числа являются общими для них. Первая последовательность состоит из натуральных чисел, кратных 6, а вторая — из натуральных чисел, кратных 8. Все числа в обеих последовательностях не превосходят 200.

Одинаковые числа в этих последовательностях — это те, которые делятся одновременно и на 6, и на 8. Такие числа являются общими кратными для 6 и 8. Чтобы найти все такие числа, нужно найти их наименьшее общее кратное (НОК).

Разложим числа 6 и 8 на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$8 = 2^3$

Наименьшее общее кратное будет произведением всех простых множителей, взятых в наибольшей степени:
$НОК(6, 8) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.

Таким образом, одинаковые числа в этих двух последовательностях — это числа, кратные 24. Теперь нам нужно найти, сколько таких чисел, не превосходящих 200, существует. Для этого найдем наибольшее натуральное число $k$, удовлетворяющее неравенству:
$24k \le 200$

Решим это неравенство относительно $k$:
$k \le \frac{200}{24}$
$k \le \frac{25}{3}$
$k \le 8\frac{1}{3}$

Поскольку $k$ — это количество чисел, оно должно быть целым. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это 8.

Ответ: 8

504. Найдите все простые числа, на которые делится сумма:

a) $2 + 2^2 + 2^3 + 2^4$;

б) $5 + 5^2 + 5^3 + 5^4$.

Чтобы найти все простые числа, на которые делится сумма, нужно сначала вычислить эту сумму, а затем разложить полученное число на простые множители. Эти множители и будут искомыми простыми числами.

а) Рассмотрим сумму $2 + 2^2 + 2^3 + 2^4$.

Сначала вычислим значение каждого слагаемого:

• $2^1 = 2$
• $2^2 = 4$
• $2^3 = 8$
• $2^4 = 16$

Теперь найдем их сумму:

$S = 2 + 4 + 8 + 16 = 30$

Далее, разложим число 30 на простые множители:

$30 = 2 \times 15 = 2 \times 3 \times 5$

Простые множители числа 30, а следовательно, и простые делители исходной суммы — это 2, 3 и 5.

Ответ: 2, 3, 5.

б) Рассмотрим сумму $5 + 5^2 + 5^3 + 5^4$.

Сначала вычислим значение каждого слагаемого:

• $5^1 = 5$
• $5^2 = 25$
• $5^3 = 125$
• $5^4 = 625$

Теперь найдем их сумму:

$S = 5 + 25 + 125 + 625 = 780$

Далее, разложим число 780 на простые множители:

$780 = 10 \times 78 = (2 \times 5) \times (2 \times 39) = 2 \times 5 \times 2 \times (3 \times 13)$

Сгруппировав множители, получаем:

$780 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 13$

Простые множители числа 780, а следовательно, и простые делители исходной суммы — это 2, 3, 5 и 13.

Ответ: 2, 3, 5, 13.

507. Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 765 и 315;

б) 792 и 1936.

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 765 и 315, необходимо разложить оба числа на простые множители. Простой множитель — это простое число, которое делит данное число без остатка.

Разложим на простые множители число 765:
$765 = 5 \cdot 153 = 5 \cdot 3 \cdot 51 = 5 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 17 = 3^2 \cdot 5 \cdot 17$.

Разложим на простые множители число 315:
$315 = 5 \cdot 63 = 5 \cdot 9 \cdot 7 = 5 \cdot 3^2 \cdot 7$.

Для нахождения НОД нужно взять общие для обоих разложений простые множители, каждый в наименьшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их.

Общие множители: $3$ и $5$. Наименьшая степень для множителя $3$ — это $2$ (т.е. $3^2$), а для множителя $5$ — это $1$ (т.е. $5^1$).

Таким образом, НОД(765, 315) = $3^2 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$.

Ответ: 45

Аналогично найдем наибольший общий делитель (НОД) для чисел 792 и 1936.

Разложим на простые множители число 792:
$792 = 2 \cdot 396 = 2^2 \cdot 198 = 2^3 \cdot 99 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 11$.

Разложим на простые множители число 1936:
$1936 = 2 \cdot 968 = 2^2 \cdot 484 = 2^3 \cdot 242 = 2^4 \cdot 121 = 2^4 \cdot 11^2$.

Общими простыми множителями являются $2$ и $11$. Выберем их с наименьшими показателями степени из обоих разложений: $2^3$ и $11^1$.

Таким образом, НОД(792, 1936) = $2^3 \cdot 11 = 8 \cdot 11 = 88$.

Ответ: 88

510. Какой цифрой оканчивается значение выражения:

a) $45^5 - 31^4$;

б) $37^2 + 21^6 + 45^4$?

Чтобы найти, какой цифрой оканчивается значение выражения, достаточно определить последнюю цифру каждого из чисел, входящих в выражение, и выполнить с ними соответствующие действия.

а) $45^5 - 31^4$

1. Определим последнюю цифру числа $45^5$. Последняя цифра степени зависит только от последней цифры основания. Основание 45 оканчивается на 5. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 5, также будет оканчиваться на 5. (Например, $5^1=5$, $5^2=25$, $5^3=125$ и т.д.). Значит, число $45^5$ оканчивается цифрой 5.

2. Определим последнюю цифру числа $31^4$. Основание 31 оканчивается на 1. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также будет оканчиваться на 1. (Например, $1^1=1$, $1^2=1$ и т.д.). Значит, число $31^4$ оканчивается цифрой 1.

3. Теперь найдем последнюю цифру разности. Для этого нужно из последней цифры уменьшаемого (5) вычесть последнюю цифру вычитаемого (1): $5 - 1 = 4$.

Следовательно, значение выражения $45^5 - 31^4$ оканчивается на 4.

Ответ: 4

б) $37^2 + 21^6 + 45^4$

1. Определим последнюю цифру числа $37^2$. Она совпадает с последней цифрой числа $7^2$. Так как $7^2 = 49$, то число $37^2$ оканчивается на 9.

2. Определим последнюю цифру числа $21^6$. Основание 21 оканчивается на 1. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также оканчивается на 1. Значит, число $21^6$ оканчивается на 1.

3. Определим последнюю цифру числа $45^4$. Основание 45 оканчивается на 5. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 5, также оканчивается на 5. Значит, число $45^4$ оканчивается на 5.

4. Чтобы найти последнюю цифру суммы, сложим последние цифры всех слагаемых: $9 + 1 + 5 = 15$.

Последняя цифра полученной суммы (15) равна 5. Следовательно, значение выражения $37^2 + 21^6 + 45^4$ оканчивается на 5.

Ответ: 5

511. Верно ли равенство:

а) $3^2 + 4^2 + 5^2 = 6^2$;

б) $(1 + 2 + 3 + 4)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3?$

а) Для проверки верности равенства $3^2 + 4^2 + 5^2 = 6^2$ необходимо вычислить значения левой и правой частей этого выражения и сравнить их.

1. Вычислим значение левой части равенства:

$3^2 + 4^2 + 5^2 = (3 \times 3) + (4 \times 4) + (5 \times 5) = 9 + 16 + 25 = 50$

2. Вычислим значение правой части равенства:

$6^2 = 6 \times 6 = 36$

3. Сравним полученные результаты:

$50 \neq 36$

Поскольку левая и правая части не равны, исходное равенство не является верным.

Ответ: равенство неверно.

б) Для проверки верности равенства $(1 + 2 + 3 + 4)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3$ также вычислим значения левой и правой частей.

1. Вычислим значение левой части равенства. Сначала найдем сумму чисел в скобках, а затем возведем ее в квадрат:

$1 + 2 + 3 + 4 = 10$

$(1 + 2 + 3 + 4)^2 = 10^2 = 100$

2. Вычислим значение правой части равенства, для этого возведем каждое число в куб и сложим результаты:

$1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1$

$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$

$3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$

$4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100$

3. Сравним полученные результаты:

$100 = 100$

Поскольку левая и правая части равны, исходное равенство является верным.

Ответ: равенство верно.

514. Представьте число в виде степени с основанием 2 или 3:

а) 64;

б) 81;

в) 512;

г) 729;

д) 1024.

Чтобы представить число в виде степени с основанием 2 или 3, необходимо для каждого числа определить, степенью какого из этих оснований оно является. Это можно сделать путем последовательного деления числа на 2 или на 3, пока не получится 1. Количество делений и будет искомым показателем степени.

а) 64

Рассмотрим число 64. Это четное число, поэтому проверим, является ли оно степенью двойки. Будем последовательно делить 64 на 2:

$64 : 2 = 32$

$32 : 2 = 16$

$16 : 2 = 8$

$8 : 2 = 4$

$4 : 2 = 2$

$2 : 2 = 1$

Деление было выполнено 6 раз, значит, 64 можно представить как 2 в 6-й степени. Математически это записывается так: $64 = 2^6$.

Ответ: $2^6$

б) 81

Рассмотрим число 81. Это нечетное число, поэтому оно не может быть степенью числа 2 (кроме $2^0=1$). Проверим, является ли оно степенью тройки. Сумма цифр числа 81 ($8+1=9$) делится на 3, значит и само число делится на 3. Будем последовательно делить 81 на 3:

$81 : 3 = 27$

$27 : 3 = 9$

$9 : 3 = 3$

$3 : 3 = 1$

Деление было выполнено 4 раза, следовательно, 81 можно представить как 3 в 4-й степени. Запись: $81 = 3^4$.

Ответ: $3^4$

в) 512

Рассмотрим число 512. Это четное число. Проверим, является ли оно степенью двойки, путем последовательного деления на 2:

$512 : 2 = 256$

$256 : 2 = 128$

$128 : 2 = 64$

$64 : 2 = 32$

$32 : 2 = 16$

$16 : 2 = 8$

$8 : 2 = 4$

$4 : 2 = 2$

$2 : 2 = 1$

Деление было выполнено 9 раз, из чего следует, что 512 — это 2 в 9-й степени. Запись: $512 = 2^9$.

Ответ: $2^9$

г) 729

Рассмотрим число 729. Это нечетное число. Проверим, является ли оно степенью тройки. Сумма цифр ($7+2+9=18$) делится на 3. Делим последовательно на 3:

$729 : 3 = 243$

$243 : 3 = 81$

$81 : 3 = 27$

$27 : 3 = 9$

$9 : 3 = 3$

$3 : 3 = 1$

Деление было выполнено 6 раз, значит, 729 — это 3 в 6-й степени. Запись: $729 = 3^6$.

Ответ: $3^6$

д) 1024

Рассмотрим число 1024. Это четное число. Проверим, является ли оно степенью двойки. Делим последовательно на 2:

$1024 : 2 = 512$

$512 : 2 = 256$

$256 : 2 = 128$

$128 : 2 = 64$

$64 : 2 = 32$

$32 : 2 = 16$

$16 : 2 = 8$

$8 : 2 = 4$

$4 : 2 = 2$

$2 : 2 = 1$

Деление было выполнено 10 раз, значит, 1024 — это 2 в 10-й степени. Запись: $1024 = 2^{10}$.

Ответ: $2^{10}$

512. Докажите, что $26^7 + 15^5 - 11^9$ кратно 10.

Чтобы доказать, что выражение $26^7 + 15^5 - 11^9$ кратно 10, необходимо показать, что его последняя цифра равна 0. Последняя цифра результата арифметических операций (сложение, вычитание, умножение) зависит только от последних цифр чисел, участвующих в этих операциях. Поэтому найдем последнюю цифру каждого члена в выражении.

Последняя цифра числа $26^7$. Основание степени, число 26, оканчивается на 6. При возведении в любую натуральную степень числа, оканчивающегося на 6, результат также будет оканчиваться на 6. Например: $6^1 = 6$, $6^2 = 36$, $6^3 = 216$. Таким образом, последняя цифра числа $26^7$ — это 6.

Последняя цифра числа $15^5$. Основание степени, число 15, оканчивается на 5. При возведении в любую натуральную степень (больше или равную 1) числа, оканчивающегося на 5, результат также будет оканчиваться на 5. Например: $5^1 = 5$, $5^2 = 25$, $5^3 = 125$. Таким образом, последняя цифра числа $15^5$ — это 5.

Последняя цифра числа $11^9$. Основание степени, число 11, оканчивается на 1. При возведении в любую натуральную степень числа, оканчивающегося на 1, результат также будет оканчиваться на 1. Таким образом, последняя цифра числа $11^9$ — это 1.

Теперь, чтобы найти последнюю цифру всего выражения, выполним указанные действия с найденными последними цифрами: $6 + 5 - 1 = 10$.

Последняя цифра полученного числа 10 равна 0. Это означает, что и последняя цифра значения выражения $26^7 + 15^5 - 11^9$ также равна 0.

Число, оканчивающееся на 0, делится на 10 без остатка, то есть кратно 10. Что и требовалось доказать.

Ответ: Последняя цифра выражения $26^7 + 15^5 - 11^9$ определяется последними цифрами его членов и равна последней цифре числа $6 + 5 - 1 = 10$, то есть 0. Следовательно, данное выражение кратно 10.

515. Представьте число в виде суммы степеней числа 2:

а) 6;

б) 18;

в) 42.

Чтобы представить число в виде суммы степеней числа 2, нужно найти его представление в двоичной системе счисления. Каждый разряд в двоичном представлении числа соответствует определенной степени двойки. Другой способ — это последовательно вычитать из числа наибольшую возможную степень двойки, пока не останется ноль.

а) Представим число 6.

Наибольшая степень числа 2, которая не превосходит 6, это $2^2 = 4$.

Находим остаток: $6 - 4 = 2$.

Наибольшая степень числа 2, которая не превосходит остаток 2, это $2^1 = 2$.

Находим новый остаток: $2 - 2 = 0$.

Процесс завершен. Таким образом, мы представили число 6 в виде суммы степеней числа 2: $6 = 4 + 2 = 2^2 + 2^1$.

Ответ: $6 = 2^2 + 2^1$.

б) Представим число 18.

Наибольшая степень числа 2, которая не превосходит 18, это $2^4 = 16$.

Находим остаток: $18 - 16 = 2$.

Наибольшая степень числа 2, которая не превосходит остаток 2, это $2^1 = 2$.

Находим новый остаток: $2 - 2 = 0$.

Процесс завершен. Таким образом, мы представили число 18 в виде суммы степеней числа 2: $18 = 16 + 2 = 2^4 + 2^1$.

Ответ: $18 = 2^4 + 2^1$.

в) Представим число 42.

Наибольшая степень числа 2, которая не превосходит 42, это $2^5 = 32$.

Находим остаток: $42 - 32 = 10$.

Наибольшая степень числа 2, которая не превосходит остаток 10, это $2^3 = 8$.

Находим новый остаток: $10 - 8 = 2$.

Наибольшая степень числа 2, которая не превосходит остаток 2, это $2^1 = 2$.

Находим последний остаток: $2 - 2 = 0$.

Процесс завершен. Суммируя все найденные слагаемые, получаем: $42 = 32 + 8 + 2 = 2^5 + 2^3 + 2^1$.

Ответ: $42 = 2^5 + 2^3 + 2^1$.

513. Разложив число на простые множители, представьте его в виде произведения степеней простых чисел:

а) 54;

б) 144;

в) 225;

г) 500.

а) 54;
Чтобы разложить число на простые множители, необходимо последовательно делить его на простые числа (2, 3, 5, 7, ...) до тех пор, пока в результате не останется 1.
Начнем с наименьшего простого числа — 2. Число 54 четное, поэтому делится на 2.
$54 : 2 = 27$
Полученное число 27 нечетное. Проверим делимость на следующее простое число — 3. Сумма цифр числа 27 (2 + 7 = 9) делится на 3, значит, и само число делится на 3.
$27 : 3 = 9$
Число 9 снова делится на 3.
$9 : 3 = 3$
Число 3 — простое. Делим его само на себя.
$3 : 3 = 1$
Таким образом, мы разложили число 54 на простые множители: $54 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$.
Теперь сгруппируем одинаковые множители и представим их в виде степеней. У нас один множитель 2 и три множителя 3.
$54 = 2^1 \cdot 3^3$
Ответ: $54 = 2 \cdot 3^3$

б) 144;
Разложим число 144 на простые множители, начиная с наименьшего простого числа 2.
$144 : 2 = 72$
$72 : 2 = 36$
$36 : 2 = 18$
$18 : 2 = 9$
Число 9 не делится на 2, переходим к следующему простому числу — 3.
$9 : 3 = 3$
$3 : 3 = 1$
Простые множители числа 144: 2, 2, 2, 2, 3, 3. Запишем это в виде произведения: $144 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$.
Теперь представим это в виде произведения степеней. У нас четыре множителя 2 и два множителя 3.
$144 = 2^4 \cdot 3^2$
Ответ: $144 = 2^4 \cdot 3^2$

в) 225;
Разложим число 225 на простые множители. Число нечетное, на 2 не делится. Проверим делимость на 3. Сумма цифр $2+2+5=9$, так как 9 делится на 3, то и 225 делится на 3.
$225 : 3 = 75$
Проверим число 75. Сумма цифр $7+5=12$, 12 делится на 3.
$75 : 3 = 25$
Число 25 на 3 не делится. Следующее простое число — 5. Так как 25 оканчивается на 5, оно делится на 5.
$25 : 5 = 5$
$5 : 5 = 1$
Простые множители числа 225: 3, 3, 5, 5. Произведение: $225 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$.
Запишем в виде произведения степеней. У нас два множителя 3 и два множителя 5.
$225 = 3^2 \cdot 5^2$
Ответ: $225 = 3^2 \cdot 5^2$

г) 500;
Разложим число 500 на простые множители. Число четное, делим на 2.
$500 : 2 = 250$
$250 : 2 = 125$
Число 125 нечетное. Сумма цифр $1+2+5=8$, на 3 не делится. Следующее простое число — 5. Число 125 оканчивается на 5, значит, делится на 5.
$125 : 5 = 25$
$25 : 5 = 5$
$5 : 5 = 1$
Простые множители числа 500: 2, 2, 5, 5, 5. Произведение: $500 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$.
Представим в виде произведения степеней. У нас два множителя 2 и три множителя 5.
$500 = 2^2 \cdot 5^3$
Ответ: $500 = 2^2 \cdot 5^3$