Номер 502, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. О простых и составных числах. Параграф 8. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 502, страница 121.

Условие.

502. Найдите наибольшее двузначное число, равное произведению двух простых чисел.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы найти наибольшее двузначное число, которое является произведением двух простых чисел, нужно найти самое большое число в диапазоне от 10 до 99, удовлетворяющее этому условию.

Проще всего начать проверку с самого большого двузначного числа (99) и двигаться вниз, анализируя каждое число на предмет разложения на два простых множителя.

• Число 99: Разложение на простые множители: $99 = 9 \cdot 11 = 3 \cdot 3 \cdot 11$. Это произведение трех простых чисел, а не двух. Следовательно, 99 не подходит.
• Число 98: Разложение на простые множители: $98 = 2 \cdot 49 = 2 \cdot 7 \cdot 7$. Это также произведение трех простых чисел. Не подходит.
• Число 97: Это число является простым, так как оно не делится без остатка ни на одно простое число до $\sqrt{97} \approx 9.8$. Его нельзя представить как произведение двух простых чисел.
• Число 96: Разложение на простые множители: $96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$. Это произведение шести простых чисел. Не подходит.
• Число 95: Разложение на множители: $95 = 5 \cdot 19$. Числа 5 и 19 оба являются простыми. Это число удовлетворяет условию.

Поскольку мы проверяли числа в порядке убывания, первое же число, которое удовлетворило условию, является наибольшим. Таким образом, искомое число — 95.

Другой подход — перемножать пары простых чисел, чтобы получить максимальный результат меньше 100. Пусть искомое число $N = p_1 \cdot p_2$, где $p_1$ и $p_2$ — простые числа. Чтобы $N$ было максимальным, множители тоже должны быть большими. Предположим $p_1 \le p_2$. Тогда $p_1^2 \le p_1 \cdot p_2 < 100$, откуда следует, что $p_1 < 10$. Значит, меньший из простых множителей может быть только 2, 3, 5 или 7.

• Если $p_1 = 2$, наибольшее простое $p_2$ такое, что $2 \cdot p_2 < 100$, это 47. Произведение: $2 \cdot 47 = 94$.
• Если $p_1 = 3$, наибольшее простое $p_2$ такое, что $3 \cdot p_2 < 100$, это 31. Произведение: $3 \cdot 31 = 93$.
• Если $p_1 = 5$, наибольшее простое $p_2$ такое, что $5 \cdot p_2 < 100$, это 19. Произведение: $5 \cdot 19 = 95$.
• Если $p_1 = 7$, наибольшее простое $p_2$ такое, что $7 \cdot p_2 < 100$, это 13. Произведение: $7 \cdot 13 = 91$.

Сравнивая полученные произведения (94, 93, 95, 91), видим, что наибольшим является 95.

Ответ: 95