Номер 503, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. О простых и составных числах. Параграф 8. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 503, страница 121.

Условие.

503. Пусть $p$ — простое число. Укажите наименьшее значение $p$, при котором значение выражения $2^p - 1$ не является простым числом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Задача состоит в том, чтобы найти наименьшее простое число $p$, для которого число вида $2^p - 1$ не является простым (то есть является составным). Числа вида $M_p = 2^p - 1$ называются числами Мерсенна.

Для того чтобы число $2^p - 1$ было простым, необходимо, чтобы показатель $p$ сам был простым числом. Однако это условие не является достаточным. Нам нужно найти наименьший простой показатель $p$, для которого число Мерсенна $M_p$ является составным.

Будем перебирать простые числа $p$ в порядке возрастания и проверять, является ли соответствующее значение $2^p - 1$ простым.

Проверка для p = 2
При $p = 2$ (наименьшее простое число) получаем: $2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$.
Число 3 является простым.

Проверка для p = 3
При $p = 3$ (следующее простое число) получаем: $2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$.
Число 7 является простым.

Проверка для p = 5
При $p = 5$ получаем: $2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$.
Число 31 является простым.

Проверка для p = 7
При $p = 7$ получаем: $2^7 - 1 = 128 - 1 = 127$.
Число 127 является простым (его возможные простые делители не превышают $\sqrt{127} \approx 11.2$, то есть это 2, 3, 5, 7, 11; ни одно из них не делит 127).

Проверка для p = 11
При $p = 11$ получаем: $2^{11} - 1 = 2048 - 1 = 2047$.
Проверим, является ли число 2047 простым. Для этого попробуем найти его делители. Известно, что любой простой делитель числа Мерсенна $M_p = 2^p - 1$ должен иметь вид $2kp+1$ для некоторого натурального $k$. В нашем случае $p=11$, значит, делители должны иметь вид $2k \cdot 11 + 1 = 22k+1$.
Проверим значения для $k=1, 2, 3, \dots$:
- При $k=1$: $22 \cdot 1 + 1 = 23$. Проверим деление $2047$ на $23$: $2047 \div 23 = 89$.
Так как $2047 = 23 \cdot 89$, число 2047 является составным.

Таким образом, мы нашли, что при $p=2, 3, 5, 7$ выражение $2^p - 1$ дает простые числа, а при $p=11$ — составное. Следовательно, наименьшее простое число $p$, удовлетворяющее условию задачи, это 11.

Ответ: 11.