Номер 500, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. О простых и составных числах. Параграф 8. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 500, страница 120.

Условие.

500. Если в выражении $a^2 + a + 17$ подставлять вместо $a$ числа 0, 1, 2, 3, ..., то сначала получаются простые числа. Укажите наименьшее натуральное значение $a$, при котором значение этого выражения является составным числом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Требуется найти наименьшее натуральное значение $a$, при котором выражение $a^2 + a + 17$ является составным числом. Натуральными числами считаются положительные целые числа $1, 2, 3, \ldots$.

Обозначим данное выражение как $P(a) = a^2 + a + 17$. Составное число — это натуральное число, имеющее делители, отличные от единицы и самого себя. Чтобы найти такое значение $a$, при котором $P(a)$ будет составным, можно попытаться сделать это выражение кратным какому-либо числу.

Преобразуем выражение, вынеся общий множитель $a$ за скобки: $P(a) = a(a+1) + 17$.

Из вида этого выражения видно, что если слагаемое $a(a+1)$ будет делиться на 17, то и вся сумма $a(a+1)+17$ будет делиться на 17. Так как 17 — простое число, произведение $a(a+1)$ делится на 17 в двух случаях:

1. Число $a$ делится на 17. Наименьшим натуральным значением $a$, удовлетворяющим этому условию, является $a = 17$. Подставим это значение в выражение:
$P(17) = 17^2 + 17 + 17 = 17 \cdot (17 + 1 + 1) = 17 \cdot 19 = 323$.
Число 323 является составным.

2. Число $a+1$ делится на 17. Наименьшее натуральное $a$, для которого это верно, находится из уравнения $a+1=17$, откуда $a = 16$. Подставим это значение в выражение:
$P(16) = 16^2 + 16 + 17 = 256 + 16 + 17 = 289$.
Число 289 является составным, так как $289 = 17^2$.

Мы нашли два натуральных значения $a$, а именно 16 и 17, при которых выражение становится составным. Наименьшее из них — $a=16$.

Теперь нужно проверить, что для всех натуральных $a$ меньших 16, то есть от 1 до 15, значение выражения является простым числом. Выполним проверку:
При $a=1$: $1^2+1+17=19$ (простое)
При $a=2$: $2^2+2+17=23$ (простое)
При $a=3$: $3^2+3+17=29$ (простое)
При $a=4$: $4^2+4+17=37$ (простое)
При $a=5$: $5^2+5+17=47$ (простое)
При $a=6$: $6^2+6+17=59$ (простое)
При $a=7$: $7^2+7+17=73$ (простое)
При $a=8$: $8^2+8+17=89$ (простое)
При $a=9$: $9^2+9+17=107$ (простое)
При $a=10$: $10^2+10+17=127$ (простое)
При $a=11$: $11^2+11+17=149$ (простое)
При $a=12$: $12^2+12+17=173$ (простое)
При $a=13$: $13^2+13+17=199$ (простое)
При $a=14$: $14^2+14+17=227$ (простое)
При $a=15$: $15^2+15+17=257$ (простое)

Так как для всех натуральных $a$ от 1 до 15 значение выражения является простым числом, а при $a=16$ оно составное, то наименьшее искомое натуральное значение $a$ равно 16.

Ответ: 16