Номер 499, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Функции y=x^2 и y=x^3 и их графики. Параграф 8. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 499, страница 118.

Условие.

499. Упростите выражение:

а) $-0,6a^3b(-2a^2b^3)^3;$

б) $0,8xy^4(-6xy^4)^2;$

в) $-a^4b^7(-3ab)^2;$

г) $(7x^2y)^2 \cdot (-7y^{11});$

д) $(-ac)^6 \cdot (-2a^2c)^5;$

е) $3p^2q \cdot (-\frac{1}{3}p^3q)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы упростить выражение $-0,6a^3b(-2a^2b^3)^3$, сначала возведем второй множитель в куб. При возведении произведения в степень, каждый множитель возводится в эту степень: $(-2a^2b^3)^3 = (-2)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b^3)^3$.
$(-2)^3 = -8$.
$(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$.
$(b^3)^3 = b^{3 \cdot 3} = b^9$.
Таким образом, $(-2a^2b^3)^3 = -8a^6b^9$.
Теперь умножим результат на первый множитель: $-0,6a^3b \cdot (-8a^6b^9)$.
Перемножим числовые коэффициенты: $-0,6 \cdot (-8) = 4,8$.
Перемножим степени с одинаковыми основаниями: $a^3 \cdot a^6 = a^{3+6} = a^9$ и $b^1 \cdot b^9 = b^{1+9} = b^{10}$.
Соединяем все части вместе: $4,8a^9b^{10}$.
Ответ: $4,8a^9b^{10}$.

б) В выражении $0,8xy^4(-6xy^4)^2$ сначала упростим множитель в скобках, возведя его в квадрат: $(-6xy^4)^2 = (-6)^2 \cdot x^2 \cdot (y^4)^2$.
$(-6)^2 = 36$.
$(y^4)^2 = y^{4 \cdot 2} = y^8$.
Значит, $(-6xy^4)^2 = 36x^2y^8$.
Теперь умножим $0,8xy^4$ на $36x^2y^8$: $0,8xy^4 \cdot 36x^2y^8 = (0,8 \cdot 36) \cdot (x \cdot x^2) \cdot (y^4 \cdot y^8)$.
$0,8 \cdot 36 = 28,8$.
$x \cdot x^2 = x^{1+2} = x^3$.
$y^4 \cdot y^8 = y^{4+8} = y^{12}$.
Получаем итоговое выражение: $28,8x^3y^{12}$.
Ответ: $28,8x^3y^{12}$.

в) Рассмотрим выражение $-a^4b^7(-3ab)^2$. Начнем с возведения в квадрат второго множителя: $(-3ab)^2 = (-3)^2 \cdot a^2 \cdot b^2 = 9a^2b^2$.
Далее, умножим первый множитель на полученный результат: $-a^4b^7 \cdot (9a^2b^2)$.
Коэффициент будет равен $-1 \cdot 9 = -9$.
Перемножим степени с основанием $a$: $a^4 \cdot a^2 = a^{4+2} = a^6$.
Перемножим степени с основанием $b$: $b^7 \cdot b^2 = b^{7+2} = b^9$.
Объединив все, получим: $-9a^6b^9$.
Ответ: $-9a^6b^9$.

г) Для упрощения $(7x^2y)^2 \cdot (-7y^{11})$ сначала возведем в квадрат первый множитель: $(7x^2y)^2 = 7^2 \cdot (x^2)^2 \cdot y^2 = 49x^4y^2$.
Теперь умножим полученное выражение на второй множитель: $49x^4y^2 \cdot (-7y^{11})$.
Перемножим коэффициенты: $49 \cdot (-7) = -343$.
Степени $x$ не с чем перемножать, поэтому $x^4$ остается.
Перемножим степени $y$: $y^2 \cdot y^{11} = y^{2+11} = y^{13}$.
Результат: $-343x^4y^{13}$.
Ответ: $-343x^4y^{13}$.

д) В выражении $(-ac)^6 \cdot (-2a^2c)^5$ возведем в степень каждый множитель отдельно.
Первый множитель: $(-ac)^6 = (-1)^6 \cdot a^6 \cdot c^6 = a^6c^6$ (так как степень четная, минус исчезает).
Второй множитель: $(-2a^2c)^5 = (-2)^5 \cdot (a^2)^5 \cdot c^5 = -32a^{10}c^5$ (так как степень нечетная, минус сохраняется).
Теперь перемножим результаты: $a^6c^6 \cdot (-32a^{10}c^5)$.
Коэффициент будет $-32$.
Степени с основанием $a$: $a^6 \cdot a^{10} = a^{6+10} = a^{16}$.
Степени с основанием $c$: $c^6 \cdot c^5 = c^{6+5} = c^{11}$.
Итоговое выражение: $-32a^{16}c^{11}$.
Ответ: $-32a^{16}c^{11}$.

е) Упростим выражение $3p^2q \cdot (-\frac{1}{3}p^3q)^2$. Сначала возведем в квадрат второй множитель.
$(-\frac{1}{3}p^3q)^2 = (-\frac{1}{3})^2 \cdot (p^3)^2 \cdot q^2 = \frac{1}{9}p^{6}q^2$.
Теперь умножим первый множитель на полученный результат: $3p^2q \cdot (\frac{1}{9}p^6q^2)$.
Перемножим коэффициенты: $3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Перемножим степени с основанием $p$: $p^2 \cdot p^6 = p^{2+6} = p^8$.
Перемножим степени с основанием $q$: $q^1 \cdot q^2 = q^{1+2} = q^3$.
Собираем все вместе: $\frac{1}{3}p^8q^3$.
Ответ: $\frac{1}{3}p^8q^3$.