Номер 495, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Функции y=x^2 и y=x^3 и их графики. Параграф 8. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 495, страница 118.

Условие.

495. (Для работы в парах.) Используя график функции $y = x^3$, изображённый на рисунке 63, решите уравнение:

а) $x^3 = 8$;

б) $x^3 = -1$;

в) $x^3 = 5$;

г) $x^3 = 0$.

1) Распределите, кто выполняет задания а), г), а кто — задания б), в), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание.

3) Сделайте вывод о числе корней уравнения $x^3 = a$ при различных значениях $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения уравнений вида $x^3 = a$ с использованием графика функции $y = x^3$, необходимо найти точки пересечения этого графика с горизонтальной прямой $y = a$. Абсцисса (координата $x$) каждой точки пересечения является корнем уравнения.

а)

Чтобы решить уравнение $x^3 = 8$ графически, мы ищем точку пересечения графика функции $y = x^3$ и прямой $y = 8$. Для этого на оси ординат (оси $y$) находим значение 8 и проводим через него горизонтальную прямую. Эта прямая пересечет график функции $y = x^3$ в одной точке. Опустив перпендикуляр из этой точки на ось абсцисс (ось $x$), мы найдем соответствующее значение $x$. Из графика видно, что это значение равно 2. Проверка: $2^3 = 8$.

Ответ: $x = 2$

б)

Для решения уравнения $x^3 = -1$ графически, мы ищем точку пересечения графика функции $y = x^3$ и прямой $y = -1$. На оси $y$ находим значение -1, проводим горизонтальную прямую до пересечения с графиком $y = x^3$. Абсцисса точки пересечения будет решением уравнения. Из графика видно, что этой точке соответствует $x = -1$. Проверка: $(-1)^3 = -1$.

Ответ: $x = -1$

в)

Чтобы решить уравнение $x^3 = 5$ графически, необходимо найти точку пересечения графика функции $y = x^3$ и прямой $y = 5$. На оси $y$ находим значение 5 и проводим горизонтальную прямую до пересечения с графиком. Абсцисса этой точки и будет корнем уравнения. Мы знаем, что $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$, значит, корень уравнения находится в интервале от 1 до 2. С помощью графика можно определить лишь приблизительное значение, которое будет немного больше 1,7. Точным решением является иррациональное число, которое записывается в виде кубического корня.

Ответ: $x = \sqrt[3]{5}$

г)

Для решения уравнения $x^3 = 0$ ищем точку пересечения графика функции $y = x^3$ и прямой $y = 0$. Прямая $y = 0$ — это ось абсцисс (ось $x$). График функции $y = x^3$ проходит через начало координат, точку $(0, 0)$, которая лежит на оси $x$. Следовательно, корень уравнения — это абсцисса этой точки.

Ответ: $x = 0$

Далее выполним задание под номером 3.

3) Вывод о числе корней уравнения $x^3 = a$ при различных значениях $a$.

Анализируя графический метод решения, мы видим, что корень уравнения $x^3 = a$ — это абсцисса точки пересечения графика функции $y = x^3$ и горизонтальной прямой $y = a$.

Функция $y = x^3$ является строго возрастающей на всей числовой оси, а ее область значений — все действительные числа (от $-\infty$ до $+\infty$). Это означает, что любая горизонтальная прямая $y = a$, независимо от значения $a$ (положительное, отрицательное или ноль), пересечет график функции $y = x^3$ ровно в одной точке.
Если $a > 0$, то точка пересечения будет иметь положительную абсциссу, следовательно, уравнение имеет один положительный корень.
Если $a < 0$, то точка пересечения будет иметь отрицательную абсциссу, следовательно, уравнение имеет один отрицательный корень.
Если $a = 0$, точкой пересечения будет начало координат $(0, 0)$, и уравнение имеет один корень $x = 0$.

Ответ: Уравнение $x^3 = a$ при любом действительном значении $a$ имеет ровно один действительный корень.