Номер 494, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Функции y=x^2 и y=x^3 и их графики. Параграф 8. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 494, страница 118.

Условие.

494. Решите графически уравнение:

a) $x^2 = x + 6;$

б) $x^2 + 2x - 3 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x^2 = x + 6$

Для решения этого уравнения графическим методом необходимо построить в одной системе координат графики двух функций, соответствующих левой и правой частям уравнения:
1. $y = x^2$ (парабола)
2. $y = x + 6$ (прямая)
Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков и будут являться решениями исходного уравнения.

Построим график функции $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх. Составим таблицу значений:

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$y = x^2$	9	4	1	0	1	4	9

Построим график функции $y = x + 6$. Это прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек:

• Если $x=0$, то $y = 0 + 6 = 6$. Точка (0, 6).
• Если $x=-2$, то $y = -2 + 6 = 4$. Точка (-2, 4).

Совместив графики на одной координатной плоскости, мы увидим точки их пересечения.

Из графика видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках с координатами: $(-2, 4)$ и $(3, 9)$.
Абсциссы этих точек, $x = -2$ и $x = 3$, являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 3$.

б) $x^2 + 2x - 3 = 0$

Для графического решения этого уравнения построим график квадратичной функции $y = x^2 + 2x - 3$. Решениями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этого графика с осью абсцисс (осью $Ox$), поскольку для точек на этой оси ордината $y=0$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 3$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх.

1. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -b / (2a) = -2 / (2 \cdot 1) = -1$.
$y_v = f(x_v) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, -4)$.

2. Найдем точки пересечения с осями координат и несколько дополнительных точек для построения графика:

• Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = 0^2 + 2(0) - 3 = -3$. Точка (0, -3).
• Возьмем симметричную точку относительно оси параболы $x=-1$: точка (-2, -3).
• Возьмем $x=1$: $y = 1^2 + 2(1) - 3 = 0$. Точка (1, 0).
• Возьмем $x=-3$: $y = (-3)^2 + 2(-3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$. Точка (-3, 0).

Построим параболу по найденным точкам.

График пересекает ось абсцисс $Ox$ в точках, где $y=0$. Из построенного графика видно, что это точки $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.
Абсциссы этих точек, $x = -3$ и $x = 1$, являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 1$.