Номер 493, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Функции y=x^2 и y=x^3 и их графики. Параграф 8. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 493, страница 117.

Условие.

493. (Для работы в парах.) Используя график функции $y = x^2$, изображённый на рисунке 61, решите уравнение:
а) $x^2 = 4$; б) $x^2 = -1$; в) $x^2 = 5$; г) $x^2 = 0$.

1) Распределите, кто выполняет задания а), б), а кто — задания в), г), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий.

3) Сделайте вывод о числе корней уравнения $x^2 = a$ при различных значениях $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данных уравнений графическим методом необходимо найти точки пересечения графика функции $y = x^2$ (парабола) и графика функции $y = a$ (горизонтальная прямая), где $a$ — это число, которому равно $x^2$ в уравнении. Абсциссы (координаты $x$) этих точек пересечения и будут являться корнями уравнения.

а) $x^2 = 4$

Рассмотрим пересечение параболы $y = x^2$ и прямой $y = 4$. Проведя горизонтальную прямую на уровне $y = 4$, мы увидим, что она пересекает параболу в двух точках. Абсциссы этих точек симметричны относительно оси Oy. Опустив перпендикуляры из этих точек на ось Ox, мы попадем в значения $x = 2$ и $x = -2$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 2$.

б) $x^2 = -1$

Рассмотрим пересечение параболы $y = x^2$ и прямой $y = -1$. График функции $y=x^2$ полностью расположен в верхней полуплоскости и в начале координат ($y \ge 0$), так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Прямая $y = -1$ полностью расположена в нижней полуплоскости. Следовательно, у этих графиков нет точек пересечения.

Ответ: корней нет.

в) $x^2 = 5$

Рассмотрим пересечение параболы $y = x^2$ и прямой $y = 5$. Горизонтальная прямая $y = 5$ пересекает параболу в двух точках, абсциссы которых являются корнями уравнения. Этими числами являются $\sqrt{5}$ и $-\sqrt{5}$. Их приблизительные значения: $2.24$ и $-2.24$.

Ответ: $x_1 = -\sqrt{5}, x_2 = \sqrt{5}$.

г) $x^2 = 0$

Рассмотрим пересечение параболы $y = x^2$ и прямой $y = 0$. Прямая $y = 0$ — это ось абсцисс (ось Ox). Она имеет с параболой ровно одну общую точку — вершину параболы $(0, 0)$. Абсцисса этой точки равна 0. Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = 0$.

3) Сделаем вывод о числе корней уравнения $x^2 = a$ при различных значениях $a$, основываясь на графическом методе.

Если $a > 0$, то горизонтальная прямая $y = a$ пересекает параболу $y = x^2$ в двух точках. Следовательно, уравнение имеет два корня: $x_1 = -\sqrt{a}$ и $x_2 = \sqrt{a}$.

Если $a = 0$, то прямая $y = 0$ (ось Ox) касается параболы в одной точке — её вершине. Следовательно, уравнение имеет один корень: $x = 0$.

Если $a < 0$, то прямая $y = a$ расположена ниже оси Ox и не имеет общих точек с параболой. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Уравнение $x^2 = a$ имеет два корня при $a > 0$; один корень при $a = 0$; не имеет действительных корней при $a < 0$.