Страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

486. Воспользовавшись графиком функции $y = x^2$, изображённым на рисунке 61, найдите:

а) значение $y$, соответствующее $x = -2,4; -0,7; 0,7; 2,4$;

б) значения $x$, которым соответствует $y = 2; 0,9$;

в) несколько значений $x$, при которых значение функции больше 2; меньше 2.

Рис. 61

В данной задаче мы будем использовать график функции $y = x^2$ для нахождения значений функции и аргумента.

Чтобы найти значение y по известному x, нужно найти заданную точку на оси абсцисс (горизонтальной оси x), провести от неё вертикальную линию до пересечения с графиком параболы, а затем от точки пересечения провести горизонтальную линию до оси ординат (вертикальной оси y). Полученное значение на оси y и будет ответом.

• При $x = -2,4$: Находим на оси x значение -2,4. Двигаемся вертикально вверх до графика, а затем горизонтально вправо до оси y. Значение на оси y будет приблизительно 5,8. Для проверки можно вычислить: $y = (-2,4)^2 = 5,76$.

• При $x = -0,7$: Находим на оси x значение -0,7. Двигаемся вверх до графика и влево до оси y. Значение на оси y будет приблизительно 0,5. Для проверки: $y = (-0,7)^2 = 0,49$.

• При $x = 0,7$: В силу симметрии параболы относительно оси y, значение функции будет таким же, как и для $x = -0,7$. Таким образом, $y \approx 0,5$. Для проверки: $y = (0,7)^2 = 0,49$.

• При $x = 2,4$: Также из-за симметрии, значение функции будет таким же, как и для $x = -2,4$. Таким образом, $y \approx 5,8$. Для проверки: $y = (2,4)^2 = 5,76$.

Ответ: при $x = -2,4$, $y \approx 5,8$; при $x = -0,7$, $y \approx 0,5$; при $x = 0,7$, $y \approx 0,5$; при $x = 2,4$, $y \approx 5,8$.

Чтобы найти значения x по известному y, нужно найти заданную точку на оси ординат (y), провести от неё горизонтальную линию до пересечения с графиком. Для $y>0$ будет две точки пересечения. Из каждой точки пересечения нужно опустить перпендикуляр на ось абсцисс (x) и определить соответствующие значения.

• При $y = 2$: Проводим горизонтальную линию от отметки 2 на оси y до пересечения с параболой. Из двух точек пересечения опускаем перпендикуляры на ось x. Получаем два симметричных значения: $x_1 \approx 1,4$ и $x_2 \approx -1,4$. Для проверки: $x = \pm\sqrt{2} \approx \pm1,414$.

• При $y = 0,9$: Проводим горизонтальную линию от отметки 0,9 на оси y (чуть ниже 1). Из точек пересечения опускаем перпендикуляры на ось x. Получаем два симметричных значения: $x_1 \approx 0,95$ и $x_2 \approx -0,95$. Для проверки: $x = \pm\sqrt{0,9} \approx \pm0,949$.

Ответ: при $y = 2$, $x \approx 1,4$ и $x \approx -1,4$; при $y = 0,9$, $x \approx 0,95$ и $x \approx -0,95$.

Из пункта б) мы знаем, что $y=2$ при $x \approx \pm1,4$.

Значение функции больше 2 ($y > 2$):

На графике видно, что значения y больше 2 для тех частей параболы, которые лежат выше горизонтальной линии $y=2$. Это соответствует значениям x, которые по модулю больше, чем 1,4, то есть $x > 1,4$ или $x < -1,4$.
Примеры таких значений x: -3, -2, 2, 3.
Например, при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$, и $4 > 2$.
При $x = -3$, $y = (-3)^2 = 9$, и $9 > 2$.

Значение функции меньше 2 ($y < 2$):

На графике видно, что значения y меньше 2 для той части параболы, которая лежит ниже горизонтальной линии $y=2$. Это соответствует значениям x, которые лежат в интервале от -1,4 до 1,4, то есть $-1,4 < x < 1,4$.
Примеры таких значений x: -1, 0, 1.
Например, при $x = 1$, $y = 1^2 = 1$, и $1 < 2$.
При $x = 0$, $y = 0^2 = 0$, и $0 < 2$.

Ответ: значение функции больше 2, например, при $x = -2, 2, 3$; значение функции меньше 2, например, при $x = -1, 0, 1$.

489. Пользуясь графиком функции $y = x^3$ (см. рис. 63), найдите:

а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному -0,7; 1,2;

б) значение аргумента, которому соответствует значение функции, равное 3; -3;

в) несколько значений аргумента, при которых значение функции больше -3, но меньше 3.

Рис. 63

Для решения задачи воспользуемся предоставленным графиком функции $y = x^3$.

На графике по оси абсцисс (горизонтальной) отложены значения аргумента $x$, а по оси ординат (вертикальной) — значения функции $y$. Масштаб по оси $x$: 10 клеток = 1 единица, значит, 1 клетка = 0,1. Масштаб по оси $y$: 5 клеток = 1 единица, значит, 1 клетка = 0,2.

Чтобы найти значение функции $y$ по известному значению аргумента $x$, нужно:

1. Найти заданное значение $x$ на оси абсцисс.
2. Восстановить перпендикуляр из этой точки до пересечения с графиком функции.
3. Из точки пересечения провести перпендикуляр к оси ординат и определить значение $y$.

• При $x = -0.7$: Находим точку $x=-0.7$ на оси абсцисс. Опускаемся от неё вниз до пересечения с графиком. Из этой точки графика движемся горизонтально вправо до оси ординат. Точка на оси $y$ находится между $-0.2$ и $-0.4$. Приблизительное значение: $y \approx -0.35$.
• При $x = 1.2$: Находим точку $x=1.2$ на оси абсцисс. Поднимаемся от неё вверх до пересечения с графиком. Из этой точки графика движемся горизонтально влево до оси ординат. Точка на оси $y$ находится между $1.6$ и $1.8$. Приблизительное значение: $y \approx 1.7$.

Проверка вычислением: $(-0.7)^3 = -0.343$, $(1.2)^3 = 1.728$. Графические оценки верны.

Ответ: при $x = -0.7$, $y \approx -0.35$; при $x = 1.2$, $y \approx 1.7$.

Чтобы найти значение аргумента $x$ по известному значению функции $y$, нужно:

1. Найти заданное значение $y$ на оси ординат.
2. Провести горизонтальную линию из этой точки до пересечения с графиком функции.
3. Из точки пересечения опустить перпендикуляр к оси абсцисс и определить значение $x$.

• При $y = 3$: Находим точку $y=3$ на оси ординат. Движемся от неё вправо до пересечения с графиком. Из этой точки опускаем перпендикуляр на ось абсцисс. Точка на оси $x$ находится между $1.4$ и $1.5$. Приблизительное значение: $x \approx 1.45$.
• При $y = -3$: Находим точку $y=-3$ на оси ординат. Движемся от неё влево до пересечения с графиком. Из этой точки поднимаем перпендикуляр на ось абсцисс. Точка на оси $x$ находится между $-1.4$ и $-1.5$. Приблизительное значение: $x \approx -1.45$.

Проверка вычислением: $\sqrt[3]{3} \approx 1.442$, $\sqrt[3]{-3} \approx -1.442$. Графические оценки верны.

Ответ: при $y=3$, $x \approx 1.45$; при $y=-3$, $x \approx -1.45$.

Нам нужно найти несколько значений $x$, для которых выполняется двойное неравенство $-3 < y < 3$.

Из пункта б) мы знаем, что $y=3$ при $x \approx 1.45$ и $y=-3$ при $x \approx -1.45$.

Функция $y=x^3$ является возрастающей, поэтому, чтобы значения $y$ находились в интервале $(-3, 3)$, значения $x$ должны находиться в интервале $(-1.45, 1.45)$.

Мы можем выбрать любые значения $x$ из этого интервала. Например:

• $x = -1$, тогда $y = (-1)^3 = -1$. Условие $-3 < -1 < 3$ выполняется.
• $x = 0$, тогда $y = 0^3 = 0$. Условие $-3 < 0 < 3$ выполняется.
• $x = 1$, тогда $y = 1^3 = 1$. Условие $-3 < 1 < 3$ выполняется.

Ответ: например, $x=-1$; $x=0$; $x=1$.

492. При каких значениях $a$ точка $P(a; 64)$ принадлежит графику функции:

а) $y = x^2$;

б) $y = x^3$?

Для того чтобы точка $P(a; 64)$ принадлежала графику функции, ее координаты $x=a$ и $y=64$ должны удовлетворять уравнению этой функции. Мы должны подставить значения координат в уравнение функции и решить его относительно $a$.

а) Для функции $y = x^2$ подставим координаты точки $P(a; 64)$.
$64 = a^2$
Это уравнение имеет два корня, так как квадрат как положительного, так и отрицательного числа является положительным. Чтобы найти $a$, извлечем квадратный корень из 64.
$a_1 = \sqrt{64} = 8$
$a_2 = -\sqrt{64} = -8$
Следовательно, точка $P$ принадлежит графику функции при двух значениях $a$.
Ответ: $a = -8$ или $a = 8$.

б) Для функции $y = x^3$ подставим координаты точки $P(a; 64)$.
$64 = a^3$
Чтобы найти $a$, необходимо извлечь кубический корень из 64.
$a = \sqrt[3]{64}$
Так как $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$, то значение $a$ равно 4. В отличие от квадратного корня, кубический корень из положительного числа имеет только одно действительное значение.
$a = 4$
Ответ: $a = 4$.

487. Принадлежит ли графику функции $y = x^2$ точка:

а) $A(6; 36);$

б) $B(-1.5; 2.25);$

в) $C(4; -2);$

г) $D(1.2; 1.44)?$

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции $y = x^2$, нужно подставить координаты точки $(x; y)$ в уравнение функции. Если получится верное равенство, точка принадлежит графику, если нет — не принадлежит.

а) A(6; 36)

Подставим координаты точки A в уравнение функции. Здесь $x = 6$ и $y = 36$.

Проверяем равенство: $y = x^2$.

$36 = 6^2$

$36 = 36$

Равенство верное, значит, точка A принадлежит графику функции.

Ответ: да, принадлежит.

б) B(-1,5; 2,25)

Подставим координаты точки B в уравнение функции. Здесь $x = -1,5$ и $y = 2,25$.

Проверяем равенство: $y = x^2$.

$2,25 = (-1,5)^2$

$2,25 = 2,25$

Равенство верное, значит, точка B принадлежит графику функции.

Ответ: да, принадлежит.

в) C(4; -2)

Подставим координаты точки C в уравнение функции. Здесь $x = 4$ и $y = -2$.

Проверяем равенство: $y = x^2$.

$-2 = 4^2$

$-2 = 16$

Равенство неверное. Кроме того, значение функции $y=x^2$ не может быть отрицательным ни при каком значении $x$. Значит, точка C не принадлежит графику функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

г) D(1,2; 1,44)

Подставим координаты точки D в уравнение функции. Здесь $x = 1,2$ и $y = 1,44$.

Проверяем равенство: $y = x^2$.

$1,44 = (1,2)^2$

$1,44 = 1,44$

Равенство верное, значит, точка D принадлежит графику функции.

Ответ: да, принадлежит.

490. Принадлежит ли графику функции $y = x^3$ точка:

а) $A (-0,2; -0,008);$

б) $B (1\frac{1}{2}; 3\frac{3}{8});$

в) $C (-\frac{1}{3}; \frac{1}{27})?$

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции $y = x^3$, необходимо подставить координаты точки в уравнение. Если равенство выполняется, точка принадлежит графику.

Проверим точку $A(-0,2; -0,008)$. Подставим ее абсциссу $x = -0,2$ в уравнение функции и вычислим соответствующее значение $y$:

$y = (-0,2)^3 = (-0,2) \cdot (-0,2) \cdot (-0,2) = 0,04 \cdot (-0,2) = -0,008$.

Полученное значение $y = -0,008$ совпадает с ординатой точки A. Следовательно, равенство $-0,008 = -0,008$ является верным.

Ответ: да, принадлежит.

Проверим точку $B(1\frac{1}{2}; 3\frac{3}{8})$. Для удобства вычислений переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$x = 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$y = 3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$

Теперь подставим значение $x = \frac{3}{2}$ в уравнение функции:

$y = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$.

Полученное значение $y = \frac{27}{8}$ совпадает с ординатой точки B. Равенство $\frac{27}{8} = \frac{27}{8}$ верное.

Ответ: да, принадлежит.

Проверим точку $C(-\frac{1}{3}; \frac{1}{27})$. Подставим абсциссу $x = -\frac{1}{3}$ в уравнение функции:

$y = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = -\frac{1^3}{3^3} = -\frac{1}{27}$.

Полученное значение $y = -\frac{1}{27}$ не совпадает с ординатой точки C, которая равна $\frac{1}{27}$.

Равенство $\frac{1}{27} = -\frac{1}{27}$ является неверным.

Ответ: нет, не принадлежит.

493. (Для работы в парах.) Используя график функции $y = x^2$, изображённый на рисунке 61, решите уравнение:
а) $x^2 = 4$; б) $x^2 = -1$; в) $x^2 = 5$; г) $x^2 = 0$.

1) Распределите, кто выполняет задания а), б), а кто — задания в), г), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий.

3) Сделайте вывод о числе корней уравнения $x^2 = a$ при различных значениях $a$.

Для решения данных уравнений графическим методом необходимо найти точки пересечения графика функции $y = x^2$ (парабола) и графика функции $y = a$ (горизонтальная прямая), где $a$ — это число, которому равно $x^2$ в уравнении. Абсциссы (координаты $x$) этих точек пересечения и будут являться корнями уравнения.

а) $x^2 = 4$

Рассмотрим пересечение параболы $y = x^2$ и прямой $y = 4$. Проведя горизонтальную прямую на уровне $y = 4$, мы увидим, что она пересекает параболу в двух точках. Абсциссы этих точек симметричны относительно оси Oy. Опустив перпендикуляры из этих точек на ось Ox, мы попадем в значения $x = 2$ и $x = -2$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 2$.

б) $x^2 = -1$

Рассмотрим пересечение параболы $y = x^2$ и прямой $y = -1$. График функции $y=x^2$ полностью расположен в верхней полуплоскости и в начале координат ($y \ge 0$), так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Прямая $y = -1$ полностью расположена в нижней полуплоскости. Следовательно, у этих графиков нет точек пересечения.

Ответ: корней нет.

в) $x^2 = 5$

Рассмотрим пересечение параболы $y = x^2$ и прямой $y = 5$. Горизонтальная прямая $y = 5$ пересекает параболу в двух точках, абсциссы которых являются корнями уравнения. Этими числами являются $\sqrt{5}$ и $-\sqrt{5}$. Их приблизительные значения: $2.24$ и $-2.24$.

Ответ: $x_1 = -\sqrt{5}, x_2 = \sqrt{5}$.

г) $x^2 = 0$

Рассмотрим пересечение параболы $y = x^2$ и прямой $y = 0$. Прямая $y = 0$ — это ось абсцисс (ось Ox). Она имеет с параболой ровно одну общую точку — вершину параболы $(0, 0)$. Абсцисса этой точки равна 0. Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = 0$.

3) Сделаем вывод о числе корней уравнения $x^2 = a$ при различных значениях $a$, основываясь на графическом методе.

Если $a > 0$, то горизонтальная прямая $y = a$ пересекает параболу $y = x^2$ в двух точках. Следовательно, уравнение имеет два корня: $x_1 = -\sqrt{a}$ и $x_2 = \sqrt{a}$.

Если $a = 0$, то прямая $y = 0$ (ось Ox) касается параболы в одной точке — её вершине. Следовательно, уравнение имеет один корень: $x = 0$.

Если $a < 0$, то прямая $y = a$ расположена ниже оси Ox и не имеет общих точек с параболой. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Уравнение $x^2 = a$ имеет два корня при $a > 0$; один корень при $a = 0$; не имеет действительных корней при $a < 0$.

485. Пользуясь графиком функции $y = x^2$ (см. рис. 61), найдите:

а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 1,4; -2,6; 3,1;

б) значения аргумента, при которых значение функции равно 4; 6;

в) несколько значений $x$, при которых значения функции меньше 4; больше 4.

Рис. 61

а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 1,4; -2,6; 3,1;

Для того чтобы найти значение функции (y) по графику для заданного значения аргумента (x), нужно найти это значение на горизонтальной оси (ось x), провести от него вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения провести горизонтальную линию до вертикальной оси (ось y). Полученное значение на оси y и будет искомым значением функции.

- При $x = 1,4$: находим на оси $x$ значение 1,4. Поднимаемся вертикально до графика и затем движемся горизонтально к оси $y$. Значение функции будет приблизительно равно 2,0. Проверка расчетом: $y = (1,4)^2 = 1,96$.
- При $x = -2,6$: находим на оси $x$ значение -2,6. Поднимаемся до графика и движемся горизонтально к оси $y$. Значение функции будет приблизительно равно 6,8. Проверка расчетом: $y = (-2,6)^2 = 6,76$.
- При $x = 3,1$: находим на оси $x$ значение 3,1. Поднимаемся до графика и движемся горизонтально к оси $y$. Значение функции будет приблизительно равно 9,6. Проверка расчетом: $y = (3,1)^2 = 9,61$.

Ответ: при $x = 1,4$ $y \approx 2,0$; при $x = -2,6$ $y \approx 6,8$; при $x = 3,1$ $y \approx 9,6$.

б) значения аргумента, при которых значение функции равно 4; 6;

Чтобы найти значения аргумента (x) по графику для заданного значения функции (y), нужно найти это значение на вертикальной оси (ось y), провести из него горизонтальную линию до пересечения с графиком. Из каждой точки пересечения нужно провести вертикальную линию до горизонтальной оси (ось x), чтобы найти соответствующие значения аргумента.

- При $y = 4$: проводим горизонтальную линию из точки $y=4$. Она пересекает параболу в двух точках. Опуская перпендикуляры из этих точек на ось $x$, получаем значения $x = 2$ и $x = -2$.
- При $y = 6$: проводим горизонтальную линию из точки $y=6$. Она также пересекает параболу в двух точках. Проецируя эти точки на ось $x$, получаем приблизительные значения $x \approx 2,4$ и $x \approx -2,4$. Проверка расчетом: $x^2=6$, откуда $x = \pm\sqrt{6} \approx \pm2,45$.

Ответ: при $y = 4$ $x = 2$ и $x = -2$; при $y = 6$ $x \approx 2,4$ и $x \approx -2,4$.

в) несколько значений x, при которых значения функции меньше 4; больше 4.

Чтобы найти значения $x$, при которых значения функции меньше 4 ($y < 4$), ищем на графике ту часть параболы, которая расположена ниже горизонтальной прямой $y=4$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $y=4$ при $x=2$ и $x=-2$. Следовательно, $y<4$ для всех $x$, находящихся в интервале $(-2, 2)$.
Например, можно взять значения: $x = -1$; $x = 0$; $x = 1,5$.

Чтобы найти значения $x$, при которых значения функции больше 4 ($y > 4$), ищем части параболы, расположенные выше прямой $y=4$. Это происходит, когда $x < -2$ или $x > 2$.
Например, можно взять значения: $x = -3$; $x = 2,5$; $x = 3$.

Ответ: значения функции меньше 4, например, при $x = -1, 0, 1$; значения функции больше 4, например, при $x = -3, 2.5, 3$.

488. Используя график функции $y = x^3$ (см. рис. 63), найдите:

а) значение $y$, соответствующее $x = 1,4; -1,4; -1,8; 1,8$

б) значение $x$, которому соответствует $y = -4; 4$.

Рис. 63

а) значение y, соответствующее x = 1,4; –1,4; –1,8; 1,8

Для того чтобы найти значение $y$ по известному значению $x$ с помощью графика функции $y=x^3$, нужно выполнить следующие шаги:
1. Найти на горизонтальной оси (оси абсцисс $Ox$) точку, соответствующую заданному значению $x$.
2. Провести из этой точки вертикальную линию до пересечения с графиком функции.
3. Из точки пересечения провести горизонтальную линию до пересечения с вертикальной осью (осью ординат $Oy$).
4. Значение, в котором горизонтальная линия пересекает ось $Oy$, является искомым значением $y$.

Проанализируем масштаб графика: по оси $Ox$ цена одного малого деления равна $0,1$, а по оси $Oy$ цена одного малого деления равна $0,2$.

Найдем значения $y$ для каждого заданного $x$:

- Для $x = 1,4$: находим на оси $Ox$ точку $1,4$. Поднимаемся вертикально до графика и затем движемся горизонтально к оси $Oy$. Пересечение происходит в точке, значение которой приблизительно равно $2,7$. Таким образом, при $x = 1,4$, $y \approx 2,7$.

- Для $x = -1,4$: находим на оси $Ox$ точку $-1,4$. Опускаемся вертикально до графика и затем движемся горизонтально к оси $Oy$. Пересечение происходит в точке, значение которой приблизительно равно $-2,7$. Таким образом, при $x = -1,4$, $y \approx -2,7$.

- Для $x = -1,8$: находим на оси $Ox$ точку $-1,8$. Опускаемся вертикально до графика и затем движемся горизонтально к оси $Oy$. Пересечение происходит в точке, значение которой приблизительно равно $-5,8$. Таким образом, при $x = -1,8$, $y \approx -5,8$.

- Для $x = 1,8$: находим на оси $Ox$ точку $1,8$. Поднимаемся вертикально до графика и затем движемся горизонтально к оси $Oy$. Пересечение происходит в точке, значение которой приблизительно равно $5,8$. Таким образом, при $x = 1,8$, $y \approx 5,8$.

Ответ: при $x=1,4$, $y \approx 2,7$; при $x=-1,4$, $y \approx -2,7$; при $x=-1,8$, $y \approx -5,8$; при $x=1,8$, $y \approx 5,8$.

б) значение x, которому соответствует y = –4; 4

Для того чтобы найти значение $x$ по известному значению $y$ с помощью графика, нужно выполнить следующие шаги:
1. Найти на вертикальной оси (оси ординат $Oy$) точку, соответствующую заданному значению $y$.
2. Провести из этой точки горизонтальную линию до пересечения с графиком функции.
3. Из точки пересечения провести вертикальную линию до пересечения с горизонтальной осью (осью абсцисс $Ox$).
4. Значение, в котором вертикальная линия пересекает ось $Ox$, является искомым значением $x$.

Найдем значения $x$ для каждого заданного $y$:

- Для $y = -4$: находим на оси $Oy$ точку $-4$. Движемся горизонтально влево до пересечения с графиком. Из точки пересечения поднимаемся вертикально до оси $Ox$. Пересечение происходит в точке, значение которой приблизительно равно $-1,6$. Таким образом, при $y = -4$, $x \approx -1,6$.

- Для $y = 4$: находим на оси $Oy$ точку $4$. Движемся горизонтально вправо до пересечения с графиком. Из точки пересечения опускаемся вертикально до оси $Ox$. Пересечение происходит в точке, значение которой приблизительно равно $1,6$. Таким образом, при $y = 4$, $x \approx 1,6$.

Ответ: при $y=-4$, $x \approx -1,6$; при $y=4$, $x \approx 1,6$.

491. В одной и той же системе координат постройте графики функций $y = x^2$ и $y = x^3$, где $x \ge 0$. Пользуясь построенными графиками, сравните:

а) $0,6^2$ и $0,6^3$;

б) $1,5^2$ и $1,5^3$;

в) $2,7^2$ и $2,7^3$.

Для решения задачи сначала построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ (правая ветвь параболы) и $y = x^3$ (правая ветвь кубической параболы) для $x \ge 0$.

Для построения найдем несколько точек для каждого графика:

Таблица значений для $y = x^2$:

Таблица значений для $y = x^3$:

Найдем точки пересечения графиков. для этого приравняем функции:

$x^2 = x^3$

$x^3 - x^2 = 0$

$x^2(x - 1) = 0$

Уравнение имеет два корня: $x=0$ и $x=1$. Таким образом, графики пересекаются в точках $(0; 0)$ и $(1; 1)$.

Анализируя графики и таблицы значений, можно сделать вывод о их взаимном расположении:

• На интервале $x \in (0; 1)$ график функции $y = x^2$ находится выше графика $y = x^3$. Это значит, что для этих $x$ выполняется неравенство $x^2 > x^3$.
• На интервале $x \in (1; +\infty)$ график функции $y = x^3$ находится выше графика $y = x^2$. Это значит, что для этих $x$ выполняется неравенство $x^3 > x^2$.

Теперь, пользуясь построенными графиками (и выводами из их анализа), сравним числа.

а) Сравнить $0,6^2$ и $0,6^3$.

Это эквивалентно сравнению значений функций $y=x^2$ и $y=x^3$ при $x=0,6$. Так как $0 < 0,6 < 1$, мы находимся в области, где график $y=x^2$ выше графика $y=x^3$. Следовательно, $0,6^2 > 0,6^3$.

Ответ: $0,6^2 > 0,6^3$.

б) Сравнить $1,5^2$ и $1,5^3$.

Это эквивалентно сравнению значений функций $y=x^2$ и $y=x^3$ при $x=1,5$. Так как $1,5 > 1$, мы находимся в области, где график $y=x^3$ выше графика $y=x^2$. Следовательно, $1,5^2 < 1,5^3$.

Ответ: $1,5^2 < 1,5^3$.

в) Сравнить $2,7^2$ и $2,7^3$.

Это эквивалентно сравнению значений функций $y=x^2$ и $y=x^3$ при $x=2,7$. Так как $2,7 > 1$, мы находимся в области, где график $y=x^3$ выше графика $y=x^2$. Следовательно, $2,7^2 < 2,7^3$.

Ответ: $2,7^2 < 2,7^3$.