Страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

532. Представьте выражение в виде произведения двух множителей, один из которых равен $a^5$:

а) $a^{10}$;

б) $a^6$;

в) $-a^{40}$.

Чтобы представить выражение в виде произведения двух множителей, один из которых известен, необходимо разделить исходное выражение на этот известный множитель. Мы будем использовать правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m \div a^n = a^{m-n}$.

а) Представим выражение $a^{10}$ в виде произведения, где один из множителей равен $a^5$.

Для этого найдем второй множитель, разделив $a^{10}$ на $a^5$:

$a^{10} \div a^5 = a^{10-5} = a^5$

Таким образом, искомое произведение имеет вид $a^5 \cdot a^5$. Проверим: $a^5 \cdot a^5 = a^{5+5} = a^{10}$.

Ответ: $a^5 \cdot a^5$

б) Представим выражение $a^6$ в виде произведения, где один из множителей равен $a^5$.

Найдем второй множитель:

$a^6 \div a^5 = a^{6-5} = a^1 = a$

Таким образом, искомое произведение имеет вид $a^5 \cdot a$. Проверим: $a^5 \cdot a = a^{5+1} = a^6$.

Ответ: $a^5 \cdot a$

в) Представим выражение $-a^{40}$ в виде произведения, где один из множителей равен $a^5$.

Найдем второй множитель, разделив $-a^{40}$ на $a^5$:

$-a^{40} \div a^5 = -(a^{40} \div a^5) = -a^{40-5} = -a^{35}$

Таким образом, искомое произведение имеет вид $a^5 \cdot (-a^{35})$. Проверим: $a^5 \cdot (-a^{35}) = -(a^5 \cdot a^{35}) = -a^{5+35} = -a^{40}$.

Ответ: $a^5 \cdot (-a^{35})$

535. Найдите значение выражения:

а) $13^{100} : 13^{98};$ в) $2^{14} : 8^4;$ д) $5^{10} : 25^4;$

б) $\frac{3^8 \cdot 2^7}{3^6 \cdot 2^5};$ г) $\frac{9^5 \cdot 5^9}{3^9 \cdot 5^{10}};$ е) $\frac{3^8 \cdot 5^8}{3^{10} \cdot 5^7}.$

а) Для нахождения значения выражения $13^{100} : 13^{98}$ воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием, которое гласит, что при делении степеней их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$).

Применим это правило:

$13^{100} : 13^{98} = 13^{100-98} = 13^2 = 169$.

Ответ: $169$.

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{3^8 \cdot 2^7}{3^6 \cdot 2^5}$, мы можем разделить степени с одинаковыми основаниями по отдельности, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Разделим выражение на две части:

$\frac{3^8 \cdot 2^7}{3^6 \cdot 2^5} = \frac{3^8}{3^6} \cdot \frac{2^7}{2^5} = 3^{8-6} \cdot 2^{7-5} = 3^2 \cdot 2^2 = 9 \cdot 4 = 36$.

Ответ: $36$.

в) В выражении $2^{14} : 8^4$ основания степеней разные. Чтобы его упростить, приведем их к одному основанию. Заметим, что $8$ является степенью числа $2$: $8 = 2^3$.

Подставим это в выражение и воспользуемся свойством возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):

$8^4 = (2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$.

Теперь исходное выражение имеет вид $2^{14} : 2^{12}$. Применим правило деления степеней:

$2^{14} : 2^{12} = 2^{14-12} = 2^2 = 4$.

Ответ: $4$.

г) Для упрощения дроби $\frac{9^5 \cdot 5^9}{3^9 \cdot 5^{10}}$ приведем все степени к простым основаниям. Заметим, что $9 = 3^2$.

Преобразуем числитель: $9^5 = (3^2)^5 = 3^{2 \cdot 5} = 3^{10}$.

Теперь дробь выглядит так: $\frac{3^{10} \cdot 5^9}{3^9 \cdot 5^{10}}$. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и выполним деление:

$\frac{3^{10}}{3^9} \cdot \frac{5^9}{5^{10}} = 3^{10-9} \cdot 5^{9-10} = 3^1 \cdot 5^{-1}$.

Так как $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, то $5^{-1} = \frac{1}{5}$. В итоге получаем:

$3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

д) В выражении $5^{10} : 25^4$ приведем степени к общему основанию $5$. Мы знаем, что $25 = 5^2$.

Преобразуем делитель: $25^4 = (5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8$.

Теперь выражение принимает вид $5^{10} : 5^8$. Выполним деление степеней:

$5^{10-8} = 5^2 = 25$.

Ответ: $25$.

е) Чтобы найти значение выражения $\frac{3^8 \cdot 5^8}{3^{10} \cdot 5^7}$, разделим степени с одинаковыми основаниями.

$\frac{3^8}{3^{10}} \cdot \frac{5^8}{5^7} = 3^{8-10} \cdot 5^{8-7} = 3^{-2} \cdot 5^1$.

Используем определение степени с отрицательным показателем: $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Тогда результат равен: $\frac{1}{9} \cdot 5 = \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{5}{9}$.

538. Упростите:

а) $(-1)^n \cdot (-1)^n$;

б) $(-1)^{2n} : (-1)^3$.

а) Для упрощения выражения $(-1)^n \cdot (-1)^n$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием, которое гласит, что $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$.
В данном случае основание $a = -1$, а показатели степеней равны $n$. Применяя это правило, получаем:
$(-1)^n \cdot (-1)^n = (-1)^{n+n} = (-1)^{2n}$.
Показатель степени $2n$ является произведением числа 2 и любого целого числа $n$. Такое произведение всегда будет четным числом.
При возведении числа $-1$ в любую четную степень результат всегда равен $1$.
Следовательно, $(-1)^{2n} = 1$.
Ответ: $1$

б) Рассмотрим выражение $(-1)^{2n} : (-1)^3$.
Для его упрощения можно использовать свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^k = a^{m-k}$.
Применяя это правило, получаем:
$(-1)^{2n} : (-1)^3 = (-1)^{2n-3}$.
Теперь проанализируем показатель степени $2n-3$. Как мы установили в пункте а), $2n$ — это всегда четное число. Число $3$ — нечетное. Разность между четным и нечетным числом всегда является нечетным числом.
При возведении числа $-1$ в любую нечетную степень результат всегда равен $-1$.
Следовательно, $(-1)^{2n-3} = -1$.

Альтернативный способ решения:
Упростим делимое и делитель по отдельности.
Делимое: $(-1)^{2n} = 1$, так как $2n$ — четное число.
Делитель: $(-1)^3 = -1$, так как $3$ — нечетное число.
Теперь выполним деление: $1 : (-1) = -1$.
Оба способа приводят к одному и тому же результату.
Ответ: $-1$

541. Верно ли при любом значении $x$ равенство:

а) $|x|^2 = x^2$;

б) $|x|^3 = x^3$?

а) Проверим справедливость равенства $|x|^2 = x^2$ для любого значения $x$.

Для проверки этого равенства необходимо рассмотреть все возможные значения $x$. Воспользуемся определением модуля числа:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Рассмотрим два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Подставим это значение в левую часть равенства:

$|x|^2 = x^2$.

Мы видим, что левая часть равна правой. Следовательно, для всех $x \ge 0$ равенство верно.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Подставим это значение в левую часть равенства:

$|x|^2 = (-x)^2 = (-1 \cdot x)^2 = (-1)^2 \cdot x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2$.

В этом случае левая часть также равна $x^2$, что совпадает с правой частью. Следовательно, для всех $x < 0$ равенство тоже верно.

Так как равенство выполняется для всех $x \ge 0$ и для всех $x < 0$, оно верно при любом значении $x$.

Ответ: да, верно.

б) Проверим справедливость равенства $|x|^3 = x^3$ для любого значения $x$.

Как и в предыдущем пункте, рассмотрим два случая на основе определения модуля.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Подставим это в левую часть равенства:

$|x|^3 = x^3$.

Для всех неотрицательных значений $x$ равенство верно.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Подставим это в левую часть равенства:

$|x|^3 = (-x)^3 = (-1)^3 \cdot x^3 = -1 \cdot x^3 = -x^3$.

Теперь сравним полученное выражение $-x^3$ с правой частью исходного равенства, которая равна $x^3$. Равенство $-x^3 = x^3$ будет верным, только если $2x^3 = 0$, то есть при $x=0$. Но мы рассматриваем случай $x < 0$. Значит, для любого отрицательного числа $x$ равенство не выполняется.

Чтобы доказать, что равенство неверно для любого $x$, достаточно привести один контрпример. Возьмем любое отрицательное число, например, $x = -3$.

Вычислим левую часть: $|x|^3 = |-3|^3 = 3^3 = 27$.

Вычислим правую часть: $x^3 = (-3)^3 = -27$.

Поскольку $27 \ne -27$, исходное равенство не является верным для всех значений $x$.

Ответ: нет, неверно.

530. Упростите выражение:

а) $a^{10}a^{12}(-a^5)$;

б) $x(-x)(-x^6)$;

в) $y^ky^8y^2$;

г) $b^nb^4b^3$.

а) Чтобы упростить выражение $a^{10}a^{12}(-a^5)$, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
Сначала перемножим степени с основанием $a$:
$a^{10} \cdot a^{12} \cdot (-a^5) = -(a^{10} \cdot a^{12} \cdot a^5)$
Теперь сложим показатели степеней:
$-(a^{10+12+5}) = -a^{27}$.
Ответ: $-a^{27}$

б) Чтобы упростить выражение $x(-x)(-x^6)$, сначала определим знак произведения. В выражении два отрицательных множителя ($-x$ и $-x^6$), произведение которых даст положительный результат.
$x(-x)(-x^6) = x \cdot x \cdot x^6$
Теперь, используя свойство умножения степеней (учитывая, что $x = x^1$), сложим показатели:
$x^1 \cdot x^1 \cdot x^6 = x^{1+1+6} = x^8$.
Ответ: $x^8$

в) Чтобы упростить выражение $y^k y^8 y^2$, применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием, сложив все показатели:
$y^k \cdot y^8 \cdot y^2 = y^{k+8+2} = y^{k+10}$.
Ответ: $y^{k+10}$

г) Чтобы упростить выражение $b^n b b^3$, используем свойство умножения степеней. Учтем, что множитель $b$ можно представить как $b^1$.
$b^n \cdot b^1 \cdot b^3 = b^{n+1+3} = b^{n+4}$.
Ответ: $b^{n+4}$

533. Замените x степенью с основанием c так, чтобы полученное равенство было тождеством:

а) $c^2x = c^5$;

б) $xc^5 = c^9$;

в) $c^6x = c^{11}$;

г) $c^4x = c^{15}$.

Чтобы решить данную задачу, мы воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Нам нужно найти такую степень $x = c^k$, чтобы при подстановке в исходное равенство оно становилось тождеством. Это означает, что сумма показателей степеней в левой части должна быть равна показателю степени в правой части.

а) $c^2x = c^5$

Представим $x$ в виде $c^k$. Тогда уравнение примет вид: $c^2 \cdot c^k = c^5$.

Применяя свойство умножения степеней, получаем: $c^{2+k} = c^5$.

Чтобы равенство было верным, показатели степеней должны быть равны:

$2 + k = 5$

$k = 5 - 2$

$k = 3$

Следовательно, $x$ необходимо заменить на $c^3$.

Проверка: $c^2 \cdot c^3 = c^{2+3} = c^5$.

Ответ: $x=c^3$.

б) $xc^5 = c^9$

Представим $x$ в виде $c^k$. Уравнение: $c^k \cdot c^5 = c^9$.

По свойству умножения степеней: $c^{k+5} = c^9$.

Приравниваем показатели:

$k + 5 = 9$

$k = 9 - 5$

$k = 4$

Следовательно, $x$ необходимо заменить на $c^4$.

Проверка: $c^4 \cdot c^5 = c^{4+5} = c^9$.

Ответ: $x=c^4$.

в) $c^6x = c^{11}$

Представим $x$ в виде $c^k$. Уравнение: $c^6 \cdot c^k = c^{11}$.

По свойству умножения степеней: $c^{6+k} = c^{11}$.

Приравниваем показатели:

$6 + k = 11$

$k = 11 - 6$

$k = 5$

Следовательно, $x$ необходимо заменить на $c^5$.

Проверка: $c^6 \cdot c^5 = c^{6+5} = c^{11}$.

Ответ: $x=c^5$.

г) $c^4x = c^{15}$

Представим $x$ в виде $c^k$. Уравнение: $c^4 \cdot c^k = c^{15}$.

По свойству умножения степеней: $c^{4+k} = c^{15}$.

Приравниваем показатели:

$4 + k = 15$

$k = 15 - 4$

$k = 11$

Следовательно, $x$ необходимо заменить на $c^{11}$.

Проверка: $c^4 \cdot c^{11} = c^{4+11} = c^{15}$.

Ответ: $x=c^{11}$.

536. Упростите выражение:

а) $6^{n+3} : 6^n$;

б) $10^{n+1} : 10^{n-1}$.

а) Для того чтобы упростить выражение $6^{n+3} : 6^n$, мы используем свойство деления степеней с одинаковым основанием, которое гласит: $a^m : a^k = a^{m-k}$.

В данном выражении основание $a = 6$, показатель делимого $m = n+3$, а показатель делителя $k = n$.

Применим это свойство:

$6^{n+3} : 6^n = 6^{(n+3) - n}$

Теперь упростим показатель степени:

$(n+3) - n = n - n + 3 = 3$

В результате получаем $6^3$.

Вычислим значение этого выражения:

$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$

Ответ: $216$

б) Чтобы упростить выражение $10^{n+1} : 10^{n-1}$, мы также воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^k = a^{m-k}$.

Здесь основание $a = 10$, показатель делимого $m = n+1$, а показатель делителя $k = n-1$.

Применим свойство к нашему выражению:

$10^{n+1} : 10^{n-1} = 10^{(n+1) - (n-1)}$

Упростим показатель степени. Важно обратить внимание на знаки при раскрытии скобок:

$(n+1) - (n-1) = n + 1 - n + 1 = 2$

Таким образом, выражение упрощается до $10^2$.

Вычислим конечное значение:

$10^2 = 100$

Ответ: $100$

539. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус круга. Как изменится площадь круга, если его радиус увеличить в 3 раза? в 7 раз?

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $S$ — площадь, а $r$ — радиус. Из этой формулы видно, что площадь круга прямо пропорциональна квадрату его радиуса. Давайте рассмотрим, как изменится площадь при увеличении радиуса.

Обозначим первоначальный радиус как $r_1$, а соответствующую ему площадь как $S_1 = \pi r_1^2$.

в 3 раза

Если радиус увеличить в 3 раза, то новый радиус $r_2$ будет равен $3r_1$.

Подставим новое значение радиуса в формулу площади, чтобы найти новую площадь $S_2$:

$S_2 = \pi r_2^2 = \pi (3r_1)^2 = \pi \cdot (9r_1^2) = 9 \cdot (\pi r_1^2)$

Поскольку $S_1 = \pi r_1^2$, мы можем заменить это выражение в полученной формуле:

$S_2 = 9S_1$

Таким образом, если радиус круга увеличить в 3 раза, его площадь увеличится в 9 раз ($3^2=9$).

Ответ: площадь увеличится в 9 раз.

в 7 раз

Если радиус увеличить в 7 раз, то новый радиус $r_3$ будет равен $7r_1$.

Аналогично, подставим это значение в формулу площади, чтобы найти новую площадь $S_3$:

$S_3 = \pi r_3^2 = \pi (7r_1)^2 = \pi \cdot (49r_1^2) = 49 \cdot (\pi r_1^2)$

Заменяя $\pi r_1^2$ на $S_1$, получаем:

$S_3 = 49S_1$

Следовательно, если радиус круга увеличить в 7 раз, его площадь увеличится в 49 раз ($7^2=49$).

Ответ: площадь увеличится в 49 раз.

542. Найдите значение выражения:

а) $4^5 \cdot 2,5^5;$

б) $(\frac{1}{3})^{13} \cdot 3^{13};$

в) $0,2^9 \cdot 5^7;$

г) $0,4^{10} \cdot 2,5^{12};$

д) $0,2^6 \cdot 25^3;$

е) $(\frac{1}{9})^6 \cdot 81^4.$

а) Для решения используем свойство произведения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Так как показатели степеней равны 5, мы можем перемножить основания, а показатель степени оставить прежним.
$4^5 \cdot 2,5^5 = (4 \cdot 2,5)^5 = 10^5 = 100000$.
Ответ: 100000.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
$(\frac{1}{3})^{13} \cdot 3^{13} = (\frac{1}{3} \cdot 3)^{13} = 1^{13} = 1$.
Ответ: 1.

в) В этом выражении показатели степеней разные (9 и 7). Чтобы использовать свойство произведения степеней, нужно привести их к одному показателю. Представим $0,2^9$ как $0,2^{2+7} = 0,2^2 \cdot 0,2^7$, используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
$0,2^9 \cdot 5^7 = (0,2^2 \cdot 0,2^7) \cdot 5^7 = 0,2^2 \cdot (0,2^7 \cdot 5^7) = 0,2^2 \cdot (0,2 \cdot 5)^7$.
Теперь вычислим значение выражения: $0,2^2 \cdot 1^7 = 0,04 \cdot 1 = 0,04$.
Ответ: 0,04.

г) Показатели степеней в этом выражении также разные (10 и 12). Представим $2,5^{12}$ как $2,5^{10+2} = 2,5^{10} \cdot 2,5^2$.
$0,4^{10} \cdot 2,5^{12} = 0,4^{10} \cdot (2,5^{10} \cdot 2,5^2) = (0,4^{10} \cdot 2,5^{10}) \cdot 2,5^2 = (0,4 \cdot 2,5)^{10} \cdot 2,5^2$.
Вычислим значение выражения: $1^{10} \cdot 2,5^2 = 1 \cdot 6,25 = 6,25$.
Ответ: 6,25.

д) В этом выражении разные и основания, и показатели степеней. Необходимо привести множители к одному основанию или к одному показателю. Удобнее привести к одному показателю.
Заметим, что $25 = 5^2$. Тогда, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получим $25^3 = (5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6$.
Теперь выражение выглядит так: $0,2^6 \cdot 5^6$.
Используем свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$: $(0,2 \cdot 5)^6 = 1^6 = 1$.
Ответ: 1.

е) Приведем основания степеней к одному числу. Заметим, что $81 = 9^2$ и $\frac{1}{9} = 9^{-1}$.
Подставим эти значения в исходное выражение: $(\frac{1}{9})^6 \cdot 81^4 = (9^{-1})^6 \cdot (9^2)^4$.
Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$: $9^{-1 \cdot 6} \cdot 9^{2 \cdot 4} = 9^{-6} \cdot 9^8$.
Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $9^{-6+8} = 9^2$.
Вычислим результат: $9^2 = 81$.
Ответ: 81.

531. Представьте выражение в виде степени:

а) $2^5 \cdot 8;$

б) $16 \cdot 64;$

в) $7^n \cdot 343;$

г) $81 \cdot 3^k.$

а) Чтобы представить произведение $2^5 \cdot 8$ в виде степени, необходимо оба множителя привести к одному и тому же основанию. Первый множитель $2^5$ уже является степенью с основанием 2. Представим второй множитель, число 8, как степень с основанием 2.
Число 8 равно $2 \cdot 2 \cdot 2$, что можно записать как $2^3$.
Таким образом, исходное выражение принимает вид: $2^5 \cdot 2^3$.
Для умножения степеней с одинаковым основанием используется свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Согласно этому свойству, нужно сложить показатели степеней, оставив основание без изменений.
$2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8$.
Ответ: $2^8$.

б) Чтобы представить произведение $16 \cdot 64$ в виде степени, нужно найти для чисел 16 и 64 общее основание. Оба этих числа являются степенями числа 2, поэтому выберем в качестве основания 2.
Представим число 16 в виде степени с основанием 2: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.
Представим число 64 в виде степени с основанием 2: $64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6$.
Теперь исходное выражение можно записать как $2^4 \cdot 2^6$.
Применяя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, складываем показатели:
$2^4 \cdot 2^6 = 2^{4+6} = 2^{10}$.
Ответ: $2^{10}$.

в) Рассмотрим выражение $7^n \cdot 343$. Чтобы представить его в виде степени, необходимо привести оба множителя к основанию 7. Первый множитель $7^n$ уже имеет основание 7.
Представим число 343 как степень с основанием 7.
$7^1 = 7$
$7^2 = 49$
$7^3 = 49 \cdot 7 = 343$.
Следовательно, $343 = 7^3$.
Подставим это значение в исходное выражение: $7^n \cdot 7^3$.
Используем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$7^n \cdot 7^3 = 7^{n+3}$.
Ответ: $7^{n+3}$.

г) Рассмотрим выражение $81 \cdot 3^k$. Чтобы представить его в виде степени, приведем оба множителя к основанию 3. Второй множитель $3^k$ уже имеет основание 3.
Представим число 81 как степень с основанием 3.
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$.
Значит, $81 = 3^4$.
Теперь исходное выражение можно записать в следующем виде: $3^4 \cdot 3^k$.
Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:
$3^4 \cdot 3^k = 3^{4+k}$.
Ответ: $3^{4+k}$.

534. Замените частное степенью:

а) $b^{15} : b^{12}$;

б) $7^{39} : 7^{13}$;

в) $a^{11} : a$;

г) $12^{100} : 12^{99}$.

Для решения данной задачи используется свойство частного степеней с одинаковым основанием. Правило гласит: при делении степеней с одинаковым основанием, основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Формула этого правила выглядит так: $a^m : a^n = a^{m-n}$ (где $a \neq 0$, $m$ и $n$ — целые числа).

а) $b^{15} : b^{12}$

Применим правило деления степеней. Основание здесь — $b$, показатель степени делимого $m=15$, а показатель степени делителя $n=12$.

Выполняем вычитание показателей: $b^{15 - 12} = b^3$.

Ответ: $b^3$.

б) $7^{39} : 7^{13}$

Основание степени в данном случае равно $7$. Показатель степени делимого $m=39$, показатель степени делителя $n=13$.

Согласно правилу, получаем: $7^{39 - 13} = 7^{26}$.

Ответ: $7^{26}$.

в) $a^{11} : a$

В этом примере делитель $a$ можно представить как степень с показателем 1, то есть $a = a^1$. Основание — $a$, показатель делимого $m=11$, показатель делителя $n=1$.

Вычисляем разность показателей: $a^{11 - 1} = a^{10}$.

Ответ: $a^{10}$.

г) $12^{100} : 12^{99}$

Здесь основание равно $12$. Показатель степени делимого $m=100$, а показатель степени делителя $n=99$.

Применяем формулу: $12^{100 - 99} = 12^1$.

Любое число в первой степени равно самому себе, поэтому $12^1 = 12$.

Ответ: $12$.

537. Вычислите:

a) $(217 - 43,07 \cdot 5)^0 + 5 \cdot \frac{1}{3};$

б) $17,83^0 \cdot 6,4 + \frac{1}{7} \cdot 2,8.$

а)

Для вычисления значения выражения $(217 - 43,07 \cdot 5)^0 + 5 \cdot \frac{1}{3}$ необходимо следовать порядку действий.

1. Первым действием выполняется операция в скобках. Сначала умножение, затем вычитание: $43,07 \cdot 5 = 215,35$

$217 - 215,35 = 1,65$

2. Теперь результат в скобках нужно возвести в нулевую степень. Любое число, не равное нулю, в нулевой степени равно 1: $1,65^0 = 1$

3. Вычислим вторую часть выражения: $5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$

4. Сложим полученные результаты: $1 + 1\frac{2}{3} = 2\frac{2}{3}$

Запишем все вычисления в одну строку: $(217 - 43,07 \cdot 5)^0 + 5 \cdot \frac{1}{3} = (217 - 215,35)^0 + \frac{5}{3} = 1,65^0 + 1\frac{2}{3} = 1 + 1\frac{2}{3} = 2\frac{2}{3}$.

Ответ: $2\frac{2}{3}$.

б)

Для вычисления значения выражения $17,83^0 \cdot 6,4 + \frac{1}{7} \cdot 2,8$ необходимо сначала выполнить умножение, а затем сложение.

1. Вычислим первое произведение. Так как любое число, не равное нулю, в нулевой степени равно 1: $17,83^0 = 1$

$1 \cdot 6,4 = 6,4$

2. Вычислим второе произведение. Для удобства можно разделить десятичную дробь 2,8 на 7: $\frac{1}{7} \cdot 2,8 = \frac{2,8}{7} = 0,4$

3. Сложим результаты двух произведений: $6,4 + 0,4 = 6,8$

Запишем все вычисления в одну строку: $17,83^0 \cdot 6,4 + \frac{1}{7} \cdot 2,8 = 1 \cdot 6,4 + 0,4 = 6,4 + 0,4 = 6,8$.

Ответ: $6,8$.

540. Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ — радиус шара. Как изменится объём шара, если радиус увеличить в 2 раза? в 4 раза?

Исходная формула для вычисления объёма шара: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. В этой формуле объём $V$ находится в прямой зависимости от радиуса $r$ в третьей степени. Это означает, что если радиус увеличить в $k$ раз, то объём увеличится в $k^3$ раз. Давайте проверим это для заданных условий.

Если радиус увеличить в 2 раза
Пусть первоначальный радиус шара равен $r_1$, а его объём — $V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3$.
Новый радиус $r_2$ в 2 раза больше первоначального, то есть $r_2 = 2r_1$.
Тогда новый объём $V_2$ будет равен:
$V_2 = \frac{4}{3}\pi r_2^3 = \frac{4}{3}\pi (2r_1)^3 = \frac{4}{3}\pi (2^3 \cdot r_1^3) = \frac{4}{3}\pi (8r_1^3)$
Вынесем множитель 8 за скобки:
$V_2 = 8 \cdot \left(\frac{4}{3}\pi r_1^3\right)$
Так как выражение в скобках равно первоначальному объёму $V_1$, получаем:
$V_2 = 8V_1$
Это означает, что объём шара увеличится в 8 раз.
Ответ: объем увеличится в 8 раз.

Если радиус увеличить в 4 раза
Пусть первоначальный радиус шара равен $r_1$, а его объём — $V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3$.
Новый радиус $r_3$ в 4 раза больше первоначального, то есть $r_3 = 4r_1$.
Тогда новый объём $V_3$ будет равен:
$V_3 = \frac{4}{3}\pi r_3^3 = \frac{4}{3}\pi (4r_1)^3 = \frac{4}{3}\pi (4^3 \cdot r_1^3) = \frac{4}{3}\pi (64r_1^3)$
Вынесем множитель 64 за скобки:
$V_3 = 64 \cdot \left(\frac{4}{3}\pi r_1^3\right)$
Так как выражение в скобках равно первоначальному объёму $V_1$, получаем:
$V_3 = 64V_1$
Это означает, что объём шара увеличится в 64 раза.
Ответ: объем увеличится в 64 раза.

543. Сравните значения выражений:

а) $10^7$ и $2^8 \cdot 5^7$;

б) $6^{12}$ и $2^{13} \cdot 3^{11}$;

в) $25^{25}$ и $2^{50} \cdot 3^{50}$;

г) $63^{30}$ и $3^{60} \cdot 5^{30}$.

а) Сравним $10^7$ и $2^8 \cdot 5^7$.
Для сравнения приведем выражения к общим множителям. Разложим первое выражение на простые множители, учитывая, что $10 = 2 \cdot 5$.
$10^7 = (2 \cdot 5)^7 = 2^7 \cdot 5^7$.
Теперь необходимо сравнить два выражения: $2^7 \cdot 5^7$ и $2^8 \cdot 5^7$.
Оба выражения содержат общий множитель $5^7$. Следовательно, сравнение сводится к сравнению множителей $2^7$ и $2^8$.
Поскольку основания одинаковы, а показатель $8 > 7$, то $2^8 > 2^7$.
Это означает, что $2^8 \cdot 5^7 > 2^7 \cdot 5^7$, и, следовательно, $2^8 \cdot 5^7 > 10^7$.
Ответ: $10^7 < 2^8 \cdot 5^7$.

б) Сравним $6^{12}$ и $2^{13} \cdot 3^{11}$.
Разложим основание первого выражения на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$.
$6^{12} = (2 \cdot 3)^{12} = 2^{12} \cdot 3^{12}$.
Теперь сравним выражения $2^{12} \cdot 3^{12}$ и $2^{13} \cdot 3^{11}$.
Выделим в обоих выражениях общую часть. Для этого представим каждое выражение в виде произведения:
$2^{12} \cdot 3^{12} = 2^{12} \cdot 3^{11} \cdot 3^1 = 3 \cdot (2^{12} \cdot 3^{11})$
$2^{13} \cdot 3^{11} = 2^{12} \cdot 2^1 \cdot 3^{11} = 2 \cdot (2^{12} \cdot 3^{11})$
Общий множитель $(2^{12} \cdot 3^{11})$ положителен, поэтому для сравнения достаточно сравнить оставшиеся множители: $3$ и $2$.
Так как $3 > 2$, то и $2^{12} \cdot 3^{12} > 2^{13} \cdot 3^{11}$.
Следовательно, $6^{12} > 2^{13} \cdot 3^{11}$.
Ответ: $6^{12} > 2^{13} \cdot 3^{11}$.

в) Сравним $25^{25}$ и $2^{50} \cdot 3^{50}$.
Для удобства сравнения приведем выражения к одному показателю степени.
Преобразуем первое выражение, зная, что $25 = 5^2$:
$25^{25} = (5^2)^{25} = 5^{2 \cdot 25} = 5^{50}$.
Преобразуем второе выражение, используя свойство произведения степеней с одинаковыми показателями:
$2^{50} \cdot 3^{50} = (2 \cdot 3)^{50} = 6^{50}$.
Теперь сравним выражения $5^{50}$ и $6^{50}$.
Так как показатели степеней у выражений одинаковы и равны 50, достаточно сравнить их основания: $5$ и $6$.
Поскольку $5 < 6$, то и $5^{50} < 6^{50}$.
Следовательно, $25^{25} < 2^{50} \cdot 3^{50}$.
Ответ: $25^{25} < 2^{50} \cdot 3^{50}$.

г) Сравним $63^{30}$ и $3^{60} \cdot 5^{30}$.
Преобразуем оба выражения для удобства сравнения.
Разложим основание первого выражения на множители: $63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$.
Тогда $63^{30} = (3^2 \cdot 7)^{30} = (3^2)^{30} \cdot 7^{30} = 3^{60} \cdot 7^{30}$.
Теперь сравним полученное выражение $3^{60} \cdot 7^{30}$ со вторым выражением $3^{60} \cdot 5^{30}$.
Оба выражения имеют общий множитель $3^{60}$. Значит, сравнение сводится к сравнению множителей $7^{30}$ и $5^{30}$.
Поскольку показатели степеней равны ($30$), а основание $7 > 5$, то $7^{30} > 5^{30}$.
Следовательно, $3^{60} \cdot 7^{30} > 3^{60} \cdot 5^{30}$, а значит, $63^{30} > 3^{60} \cdot 5^{30}$.
Ответ: $63^{30} > 3^{60} \cdot 5^{30}$.