Номер 531, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 531, страница 123.

Условие.

531. Представьте выражение в виде степени:

а) $2^5 \cdot 8;$

б) $16 \cdot 64;$

в) $7^n \cdot 343;$

г) $81 \cdot 3^k.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить произведение $2^5 \cdot 8$ в виде степени, необходимо оба множителя привести к одному и тому же основанию. Первый множитель $2^5$ уже является степенью с основанием 2. Представим второй множитель, число 8, как степень с основанием 2.
Число 8 равно $2 \cdot 2 \cdot 2$, что можно записать как $2^3$.
Таким образом, исходное выражение принимает вид: $2^5 \cdot 2^3$.
Для умножения степеней с одинаковым основанием используется свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Согласно этому свойству, нужно сложить показатели степеней, оставив основание без изменений.
$2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8$.
Ответ: $2^8$.

б) Чтобы представить произведение $16 \cdot 64$ в виде степени, нужно найти для чисел 16 и 64 общее основание. Оба этих числа являются степенями числа 2, поэтому выберем в качестве основания 2.
Представим число 16 в виде степени с основанием 2: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.
Представим число 64 в виде степени с основанием 2: $64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6$.
Теперь исходное выражение можно записать как $2^4 \cdot 2^6$.
Применяя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, складываем показатели:
$2^4 \cdot 2^6 = 2^{4+6} = 2^{10}$.
Ответ: $2^{10}$.

в) Рассмотрим выражение $7^n \cdot 343$. Чтобы представить его в виде степени, необходимо привести оба множителя к основанию 7. Первый множитель $7^n$ уже имеет основание 7.
Представим число 343 как степень с основанием 7.
$7^1 = 7$
$7^2 = 49$
$7^3 = 49 \cdot 7 = 343$.
Следовательно, $343 = 7^3$.
Подставим это значение в исходное выражение: $7^n \cdot 7^3$.
Используем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$7^n \cdot 7^3 = 7^{n+3}$.
Ответ: $7^{n+3}$.

г) Рассмотрим выражение $81 \cdot 3^k$. Чтобы представить его в виде степени, приведем оба множителя к основанию 3. Второй множитель $3^k$ уже имеет основание 3.
Представим число 81 как степень с основанием 3.
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$.
Значит, $81 = 3^4$.
Теперь исходное выражение можно записать в следующем виде: $3^4 \cdot 3^k$.
Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:
$3^4 \cdot 3^k = 3^{4+k}$.
Ответ: $3^{4+k}$.