Номер 529, страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 529, страница 122.

Условие.

529. Имеет ли уравнение $x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = 0$ отрицательные корни?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы ответить на вопрос, имеет ли уравнение $x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = 0$ отрицательные корни, проанализируем левую часть уравнения при $x < 0$.

Предположим, что $x$ является отрицательным числом. Рассмотрим знаки каждого слагаемого в выражении $x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1$. Если $x < 0$, то:

$x^6 > 0$, так как любое отрицательное число, возведенное в чётную степень, является положительным.

$-x^5 > 0$, так как $x^5$ будет отрицательным (нечётная степень отрицательного числа), а знак минус перед ним делает всё выражение положительным.

$x^4 > 0$ (аналогично $x^6$, чётная степень).

$-x^3 > 0$ (аналогично $-x^5$, нечётная степень со знаком минус).

$x^2 > 0$ (чётная степень).

$-x > 0$, так как $x$ отрицательно, и умножение на $-1$ меняет знак на противоположный.

$1 > 0$ (положительная константа).

Таким образом, для любого отрицательного значения $x$ левая часть уравнения представляет собой сумму семи строго положительных слагаемых. Сумма положительных чисел всегда положительна и, следовательно, не может равняться нулю.

Поскольку левая часть уравнения $x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1$ всегда больше нуля при $x < 0$, она никогда не сможет обратиться в ноль. Это доказывает, что у данного уравнения нет отрицательных корней.

Ответ: Нет, данное уравнение не имеет отрицательных корней.