Номер 526, страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 526, страница 122.

Условие.

526. Докажите, что не имеет корней уравнение:

а) $x^2 + 1 = 0$;

б) $2x^6 + 3x^4 + x^2 + 1 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x^2 + 1 = 0$

Чтобы доказать, что данное уравнение не имеет корней, проанализируем его левую часть. Выражение $x^2$ представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$.

Если к неотрицательному числу $x^2$ прибавить 1, то результат всегда будет больше или равен 1. Это можно записать в виде неравенства: $x^2 + 1 \ge 0 + 1$ $x^2 + 1 \ge 1$

Таким образом, левая часть уравнения ($x^2 + 1$) при любом действительном значении $x$ всегда будет строго положительным числом (не меньше 1). Следовательно, она никогда не сможет равняться нулю. Это доказывает, что у уравнения нет действительных корней.

Ответ: уравнение не имеет корней, так как для любого действительного $x$ выполняется неравенство $x^2 \ge 0$, из которого следует, что $x^2 + 1 \ge 1$, а значит, левая часть уравнения не может равняться нулю.

б) $2x^6 + 3x^4 + x^2 + 1 = 0$

Рассмотрим левую часть уравнения. Все степени переменной $x$ являются четными ($x^6$, $x^4$, $x^2$). Для любого действительного числа $x$ значение выражения с четной степенью неотрицательно:

$x^6 \ge 0$
$x^4 \ge 0$
$x^2 \ge 0$

Поскольку все коэффициенты при этих степенях (2, 3 и 1) положительны, то и каждое слагаемое, содержащее $x$, также будет неотрицательным:

$2x^6 \ge 0$
$3x^4 \ge 0$
$x^2 \ge 0$

Левая часть уравнения является суммой трех неотрицательных слагаемых и положительного числа 1. Сумма неотрицательных чисел и положительного числа всегда положительна. Оценим наименьшее возможное значение левой части: $2x^6 + 3x^4 + x^2 + 1 \ge 0 + 0 + 0 + 1 = 1$.

Таким образом, значение левой части уравнения при любом действительном $x$ всегда больше или равно 1. Следовательно, оно никогда не может быть равно 0.

Ответ: уравнение не имеет корней, так как левая часть уравнения, будучи суммой нескольких неотрицательных слагаемых и единицы, при любом действительном значении $x$ всегда больше или равна 1.