Номер 524, страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 524, страница 122.

Условие.

524. Докажите, что при любом натуральном n значение дроби является натуральным числом:

а) $\frac{10^n - 1}{9}$;

б) $\frac{10^n + 8}{9}$;

в) $\frac{10^n - 4}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что значение дроби $\frac{10^n - 1}{9}$ является натуральным числом при любом натуральном $n$, необходимо показать, что числитель $10^n - 1$ делится на 9 без остатка и результат является натуральным числом. Рассмотрим число $10^n$. При любом натуральном $n$ это число записывается как единица, за которой следуют $n$ нулей (например, $10^3 = 1000$). Соответственно, число $10^n - 1$ будет состоять из $n$ цифр 9. Например, $10^1 - 1 = 9$, $10^2 - 1 = 99$, $10^3 - 1 = 999$. В общем виде, $10^n - 1 = \underbrace{99...9}_{n \text{ раз}}$. Такое число очевидно делится на 9. Результатом деления будет число, состоящее из $n$ единиц: $\frac{10^n - 1}{9} = \frac{\overbrace{99...9}^{n \text{ раз}}}{9} = \underbrace{11...1}_{n \text{ раз}}$. Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то число, состоящее из $n$ единиц, всегда является натуральным числом (например, 1, 11, 111 и т.д.).
Ответ: Утверждение доказано. Значение дроби равно числу, состоящему из $n$ единиц, которое является натуральным для любого натурального $n$.

б) Чтобы доказать, что значение дроби $\frac{10^n + 8}{9}$ является натуральным числом, преобразуем выражение в числителе: $10^n + 8 = (10^n - 1) + 9$. Теперь подставим это в дробь: $\frac{10^n + 8}{9} = \frac{(10^n - 1) + 9}{9} = \frac{10^n - 1}{9} + \frac{9}{9} = \frac{10^n - 1}{9} + 1$. Из пункта а) мы уже доказали, что выражение $\frac{10^n - 1}{9}$ является натуральным числом для любого натурального $n$. Сумма натурального числа и 1 также всегда является натуральным числом.
Ответ: Утверждение доказано. Значение дроби можно представить как сумму натурального числа (доказано в пункте а) и 1, что также является натуральным числом.

в) Чтобы доказать, что значение дроби $\frac{10^n - 4}{3}$ является натуральным числом, нужно показать, что числитель $10^n - 4$ делится на 3 нацело. Для этого воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Рассмотрим число $10^n - 4$ для нескольких значений $n$: При $n=1$: $10^1 - 4 = 6$. Сумма цифр равна 6, $6 \div 3 = 2$. При $n=2$: $10^2 - 4 = 96$. Сумма цифр $9+6=15$, $15 \div 3 = 5$. При $n=3$: $10^3 - 4 = 996$. Сумма цифр $9+9+6=24$, $24 \div 3 = 8$. В общем случае, для любого натурального $n \ge 2$, число $10^n - 4$ будет записываться как $n-1$ цифр 9, за которыми следует цифра 6. То есть, $\underbrace{99...9}_{n-1 \text{ раз}}6$. Сумма цифр этого числа равна: $S = (n-1) \cdot 9 + 6 = 9n - 9 + 6 = 9n - 3 = 3(3n - 1)$. Так как сумма цифр $S = 3(3n - 1)$ является произведением 3 и целого числа $(3n-1)$, она всегда делится на 3. Следовательно, и само число $10^n - 4$ делится на 3 для любого натурального $n$. Поскольку $n$ — натуральное число, $10^n - 4 \ge 10 - 4 = 6 > 0$, результат деления будет положительным целым числом, то есть натуральным числом.
Ответ: Утверждение доказано. Сумма цифр числа $10^n - 4$ всегда делится на 3, следовательно, само число делится на 3, а результат деления является натуральным числом.