Номер 528, страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 528, страница 122.

Условие.

528. Докажите, что уравнение $x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x + 6 = 0$ не имеет положительных корней.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что уравнение $x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x + 6 = 0$ не имеет положительных корней, рассмотрим левую часть уравнения как функцию $P(x) = x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x + 6$. Нам необходимо доказать, что не существует такого $x > 0$, при котором $P(x) = 0$.

Пусть $x$ — любое положительное число ($x > 0$). Проанализируем каждое слагаемое в многочлене $P(x)$. При $x > 0$ слагаемое $x^4$ положительно, слагаемое $3x^3$ положительно, слагаемое $2x^2$ положительно, слагаемое $x$ положительно, и свободный член $6$ также является положительным числом.

Таким образом, при любом $x > 0$ левая часть уравнения представляет собой сумму пяти строго положительных слагаемых. Сумма строго положительных чисел всегда является строго положительным числом.

Следовательно, для любого $x > 0$ выполняется неравенство $x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x + 6 > 0$.

Поскольку значение левой части уравнения всегда строго больше нуля для любого положительного $x$, оно никогда не может быть равно нулю. Это означает, что у уравнения нет положительных корней, что и требовалось доказать.

Ответ: Уравнение не имеет положительных корней, так как при $x > 0$ все слагаемые в левой части ($x^4, 3x^3, 2x^2, x$) положительны, и свободный член $6$ также положителен. Сумма нескольких положительных чисел всегда положительна и не может равняться нулю.