Номер 535, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 535, страница 123.

Условие.

535. Найдите значение выражения:

а) $13^{100} : 13^{98};$ в) $2^{14} : 8^4;$ д) $5^{10} : 25^4;$

б) $\frac{3^8 \cdot 2^7}{3^6 \cdot 2^5};$ г) $\frac{9^5 \cdot 5^9}{3^9 \cdot 5^{10}};$ е) $\frac{3^8 \cdot 5^8}{3^{10} \cdot 5^7}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для нахождения значения выражения $13^{100} : 13^{98}$ воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием, которое гласит, что при делении степеней их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$).

Применим это правило:

$13^{100} : 13^{98} = 13^{100-98} = 13^2 = 169$.

Ответ: $169$.

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{3^8 \cdot 2^7}{3^6 \cdot 2^5}$, мы можем разделить степени с одинаковыми основаниями по отдельности, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Разделим выражение на две части:

$\frac{3^8 \cdot 2^7}{3^6 \cdot 2^5} = \frac{3^8}{3^6} \cdot \frac{2^7}{2^5} = 3^{8-6} \cdot 2^{7-5} = 3^2 \cdot 2^2 = 9 \cdot 4 = 36$.

Ответ: $36$.

в) В выражении $2^{14} : 8^4$ основания степеней разные. Чтобы его упростить, приведем их к одному основанию. Заметим, что $8$ является степенью числа $2$: $8 = 2^3$.

Подставим это в выражение и воспользуемся свойством возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):

$8^4 = (2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$.

Теперь исходное выражение имеет вид $2^{14} : 2^{12}$. Применим правило деления степеней:

$2^{14} : 2^{12} = 2^{14-12} = 2^2 = 4$.

Ответ: $4$.

г) Для упрощения дроби $\frac{9^5 \cdot 5^9}{3^9 \cdot 5^{10}}$ приведем все степени к простым основаниям. Заметим, что $9 = 3^2$.

Преобразуем числитель: $9^5 = (3^2)^5 = 3^{2 \cdot 5} = 3^{10}$.

Теперь дробь выглядит так: $\frac{3^{10} \cdot 5^9}{3^9 \cdot 5^{10}}$. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и выполним деление:

$\frac{3^{10}}{3^9} \cdot \frac{5^9}{5^{10}} = 3^{10-9} \cdot 5^{9-10} = 3^1 \cdot 5^{-1}$.

Так как $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, то $5^{-1} = \frac{1}{5}$. В итоге получаем:

$3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

д) В выражении $5^{10} : 25^4$ приведем степени к общему основанию $5$. Мы знаем, что $25 = 5^2$.

Преобразуем делитель: $25^4 = (5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8$.

Теперь выражение принимает вид $5^{10} : 5^8$. Выполним деление степеней:

$5^{10-8} = 5^2 = 25$.

Ответ: $25$.

е) Чтобы найти значение выражения $\frac{3^8 \cdot 5^8}{3^{10} \cdot 5^7}$, разделим степени с одинаковыми основаниями.

$\frac{3^8}{3^{10}} \cdot \frac{5^8}{5^7} = 3^{8-10} \cdot 5^{8-7} = 3^{-2} \cdot 5^1$.

Используем определение степени с отрицательным показателем: $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Тогда результат равен: $\frac{1}{9} \cdot 5 = \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{5}{9}$.