Номер 538, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 538, страница 123.

Условие.

538. Упростите:

а) $(-1)^n \cdot (-1)^n$;

б) $(-1)^{2n} : (-1)^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для упрощения выражения $(-1)^n \cdot (-1)^n$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием, которое гласит, что $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$.
В данном случае основание $a = -1$, а показатели степеней равны $n$. Применяя это правило, получаем:
$(-1)^n \cdot (-1)^n = (-1)^{n+n} = (-1)^{2n}$.
Показатель степени $2n$ является произведением числа 2 и любого целого числа $n$. Такое произведение всегда будет четным числом.
При возведении числа $-1$ в любую четную степень результат всегда равен $1$.
Следовательно, $(-1)^{2n} = 1$.
Ответ: $1$

б) Рассмотрим выражение $(-1)^{2n} : (-1)^3$.
Для его упрощения можно использовать свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^k = a^{m-k}$.
Применяя это правило, получаем:
$(-1)^{2n} : (-1)^3 = (-1)^{2n-3}$.
Теперь проанализируем показатель степени $2n-3$. Как мы установили в пункте а), $2n$ — это всегда четное число. Число $3$ — нечетное. Разность между четным и нечетным числом всегда является нечетным числом.
При возведении числа $-1$ в любую нечетную степень результат всегда равен $-1$.
Следовательно, $(-1)^{2n-3} = -1$.

Альтернативный способ решения:
Упростим делимое и делитель по отдельности.
Делимое: $(-1)^{2n} = 1$, так как $2n$ — четное число.
Делитель: $(-1)^3 = -1$, так как $3$ — нечетное число.
Теперь выполним деление: $1 : (-1) = -1$.
Оба способа приводят к одному и тому же результату.
Ответ: $-1$