Номер 543, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 543, страница 123.

Условие.

543. Сравните значения выражений:

а) $10^7$ и $2^8 \cdot 5^7$;

б) $6^{12}$ и $2^{13} \cdot 3^{11}$;

в) $25^{25}$ и $2^{50} \cdot 3^{50}$;

г) $63^{30}$ и $3^{60} \cdot 5^{30}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Сравним $10^7$ и $2^8 \cdot 5^7$.
Для сравнения приведем выражения к общим множителям. Разложим первое выражение на простые множители, учитывая, что $10 = 2 \cdot 5$.
$10^7 = (2 \cdot 5)^7 = 2^7 \cdot 5^7$.
Теперь необходимо сравнить два выражения: $2^7 \cdot 5^7$ и $2^8 \cdot 5^7$.
Оба выражения содержат общий множитель $5^7$. Следовательно, сравнение сводится к сравнению множителей $2^7$ и $2^8$.
Поскольку основания одинаковы, а показатель $8 > 7$, то $2^8 > 2^7$.
Это означает, что $2^8 \cdot 5^7 > 2^7 \cdot 5^7$, и, следовательно, $2^8 \cdot 5^7 > 10^7$.
Ответ: $10^7 < 2^8 \cdot 5^7$.

б) Сравним $6^{12}$ и $2^{13} \cdot 3^{11}$.
Разложим основание первого выражения на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$.
$6^{12} = (2 \cdot 3)^{12} = 2^{12} \cdot 3^{12}$.
Теперь сравним выражения $2^{12} \cdot 3^{12}$ и $2^{13} \cdot 3^{11}$.
Выделим в обоих выражениях общую часть. Для этого представим каждое выражение в виде произведения:
$2^{12} \cdot 3^{12} = 2^{12} \cdot 3^{11} \cdot 3^1 = 3 \cdot (2^{12} \cdot 3^{11})$
$2^{13} \cdot 3^{11} = 2^{12} \cdot 2^1 \cdot 3^{11} = 2 \cdot (2^{12} \cdot 3^{11})$
Общий множитель $(2^{12} \cdot 3^{11})$ положителен, поэтому для сравнения достаточно сравнить оставшиеся множители: $3$ и $2$.
Так как $3 > 2$, то и $2^{12} \cdot 3^{12} > 2^{13} \cdot 3^{11}$.
Следовательно, $6^{12} > 2^{13} \cdot 3^{11}$.
Ответ: $6^{12} > 2^{13} \cdot 3^{11}$.

в) Сравним $25^{25}$ и $2^{50} \cdot 3^{50}$.
Для удобства сравнения приведем выражения к одному показателю степени.
Преобразуем первое выражение, зная, что $25 = 5^2$:
$25^{25} = (5^2)^{25} = 5^{2 \cdot 25} = 5^{50}$.
Преобразуем второе выражение, используя свойство произведения степеней с одинаковыми показателями:
$2^{50} \cdot 3^{50} = (2 \cdot 3)^{50} = 6^{50}$.
Теперь сравним выражения $5^{50}$ и $6^{50}$.
Так как показатели степеней у выражений одинаковы и равны 50, достаточно сравнить их основания: $5$ и $6$.
Поскольку $5 < 6$, то и $5^{50} < 6^{50}$.
Следовательно, $25^{25} < 2^{50} \cdot 3^{50}$.
Ответ: $25^{25} < 2^{50} \cdot 3^{50}$.

г) Сравним $63^{30}$ и $3^{60} \cdot 5^{30}$.
Преобразуем оба выражения для удобства сравнения.
Разложим основание первого выражения на множители: $63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$.
Тогда $63^{30} = (3^2 \cdot 7)^{30} = (3^2)^{30} \cdot 7^{30} = 3^{60} \cdot 7^{30}$.
Теперь сравним полученное выражение $3^{60} \cdot 7^{30}$ со вторым выражением $3^{60} \cdot 5^{30}$.
Оба выражения имеют общий множитель $3^{60}$. Значит, сравнение сводится к сравнению множителей $7^{30}$ и $5^{30}$.
Поскольку показатели степеней равны ($30$), а основание $7 > 5$, то $7^{30} > 5^{30}$.
Следовательно, $3^{60} \cdot 7^{30} > 3^{60} \cdot 5^{30}$, а значит, $63^{30} > 3^{60} \cdot 5^{30}$.
Ответ: $63^{30} > 3^{60} \cdot 5^{30}$.