Номер 546, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 546, страница 124.

Условие.

546. Замените букву $p$ выражением так, чтобы полученное равенство было тождеством:

а) $p^5 = x^{20};$

б) $p^7 = x^{21};$

в) $p^3c^8 = c^{20};$

г) $y^7 \cdot (y^2)^4 = p^5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы равенство $p^5 = x^{20}$ было тождеством, нам нужно найти такое выражение для $p$, чтобы его пятая степень равнялась $x^{20}$. Воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Представим $x^{20}$ в виде степени с показателем 5: $x^{20} = x^{4 \cdot 5} = (x^4)^5$. Таким образом, исходное равенство можно переписать в виде $p^5 = (x^4)^5$. Отсюда следует, что искомое выражение для $p$ равно $x^4$.
Ответ: $p = x^4$.

б) В равенстве $p^7 = x^{21}$ нам необходимо найти выражение для $p$. Аналогично предыдущему пункту, используем свойство возведения степени в степень. Представим правую часть равенства $x^{21}$ в виде степени с показателем 7: $x^{21} = x^{3 \cdot 7} = (x^3)^7$. Теперь равенство имеет вид $p^7 = (x^3)^7$. Следовательно, $p = x^3$.
Ответ: $p = x^3$.

в) В равенстве $p^3c^8 = c^{20}$ сначала выразим $p^3$. Для этого разделим обе части равенства на $c^8$ (при условии, что $c \neq 0$): $p^3 = \frac{c^{20}}{c^8}$. По свойству деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем: $p^3 = c^{20-8} = c^{12}$. Теперь, чтобы найти $p$, представим $c^{12}$ в виде степени с показателем 3: $c^{12} = c^{4 \cdot 3} = (c^4)^3$. Равенство принимает вид $p^3 = (c^4)^3$, из чего следует, что $p = c^4$.
Ответ: $p = c^4$.

г) Рассмотрим равенство $y^7 \cdot (y^2)^4 = p^5$. Сначала упростим левую часть выражения. Используя свойство возведения степени в степень, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем $(y^2)^4 = y^{2 \cdot 4} = y^8$. Теперь левая часть выглядит как $y^7 \cdot y^8$. По свойству умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, имеем: $y^7 \cdot y^8 = y^{7+8} = y^{15}$. Итак, исходное равенство эквивалентно уравнению $y^{15} = p^5$. Чтобы найти $p$, представим $y^{15}$ в виде степени с показателем 5: $y^{15} = y^{3 \cdot 5} = (y^3)^5$. Получили равенство $p^5 = (y^3)^5$. Отсюда находим, что $p = y^3$.
Ответ: $p = y^3$.