Номер 551, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 551, страница 124.

Условие.

551. Натуральное число $a$ оканчивается единицей. Какой цифрой оканчивается степень числа $a$ с натуральным показателем? Для каких ещё цифр выполняется аналогичное свойство?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Какой цифрой оканчивается степень числа a с натуральным показателем?

Пусть натуральное число $a$ оканчивается на цифру 1. Это означает, что число $a$ можно представить в виде $a = 10k + 1$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число.

Последняя цифра произведения двух или более чисел зависит только от последних цифр этих чисел. Рассмотрим, на какую цифру будут оканчиваться степени числа $a$ с натуральным показателем $n$ (где $n \in \{1, 2, 3, ...\}$).

Для $n=1$: $a^1 = a$. Число оканчивается на 1.

Для $n=2$: $a^2 = a \cdot a$. Последняя цифра этого произведения будет такой же, как последняя цифра произведения последних цифр сомножителей, то есть $1 \cdot 1 = 1$.

Для $n=3$: $a^3 = a^2 \cdot a$. Последняя цифра $a^2$ равна 1, последняя цифра $a$ равна 1. Значит, последняя цифра $a^3$ будет такой же, как у $1 \cdot 1 = 1$.

Очевидно, что при каждом следующем умножении на число $a$ (которое оканчивается на 1), последняя цифра результата будет оставаться равной 1. Таким образом, любая натуральная степень числа $a$, оканчивающегося на 1, также будет оканчиваться на 1.

Ответ: 1.

Для каких ещё цифр выполняется аналогичное свойство?

Аналогичное свойство — это когда любая натуральная степень числа, оканчивающегося на некоторую цифру $d$, также оканчивается на эту же цифру $d$.

Чтобы это свойство выполнялось, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра квадрата самой цифры $d$ совпадала с $d$. То есть, последняя цифра $d^2$ должна быть равна $d$. Если это так, то последняя цифра $d^3 = d^2 \cdot d$ будет такой же, как у $d \cdot d$, то есть снова $d$, и так далее для всех натуральных степеней.

Проверим все цифры от 0 до 9 (цифру 1 мы уже рассмотрели):

• Для цифры 0: $0^2 = 0$. Последняя цифра — 0. Свойство выполняется. Если число оканчивается на 0, любая его натуральная степень также будет оканчиваться на 0.
• Для цифры 2: $2^2 = 4$. Последняя цифра — 4, а не 2. Не подходит.
• Для цифры 3: $3^2 = 9$. Последняя цифра — 9, а не 3. Не подходит.
• Для цифры 4: $4^2 = 16$. Последняя цифра — 6, а не 4. Не подходит.
• Для цифры 5: $5^2 = 25$. Последняя цифра — 5. Свойство выполняется.
• Для цифры 6: $6^2 = 36$. Последняя цифра — 6. Свойство выполняется.
• Для цифры 7: $7^2 = 49$. Последняя цифра — 9, а не 7. Не подходит.
• Для цифры 8: $8^2 = 64$. Последняя цифра — 4, а не 8. Не подходит.
• Для цифры 9: $9^2 = 81$. Последняя цифра — 1, а не 9. Не подходит.

Таким образом, кроме цифры 1, данное свойство выполняется для цифр 0, 5 и 6.

Ответ: 0, 5, 6.