Номер 549, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 549, страница 124.

Условие.

549. Сколькими способами можно представить в виде степени с по-казателем, отличным от 1, число:

а) $2^{15}$,

б) $2^{6}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы найти количество способов представить число в виде степени с показателем, отличным от 1, нужно найти, сколькими способами можно представить показатель исходной степени в виде произведения двух множителей, один из которых будет новым показателем. Это следует из свойства степени: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Мы ищем представления числа $2^p$ в виде $A^k$, где $k \neq 1$. Если основание $A$ также является степенью двойки, то есть $A=2^m$, то мы получаем $2^p = (2^m)^k = 2^{m \cdot k}$. Отсюда следует, что $p = m \cdot k$. Таким образом, задача сводится к нахождению количества натуральных делителей показателя $p$, которые не равны 1.

а)

Рассмотрим число $2^{15}$. Здесь показатель степени $p=15$. Нам нужно найти количество делителей числа 15, отличных от 1.

Натуральными делителями числа 15 являются: 1, 3, 5, 15.

Согласно условию, показатель новой степени должен быть отличен от 1. Поэтому мы исключаем делитель 1. Остаются делители: 3, 5, 15. Всего их три.

Каждому из этих делителей соответствует свой способ представления числа $2^{15}$ в виде степени:

1. Показатель 3: $2^{15} = 2^{5 \cdot 3} = (2^5)^3 = 32^3$.

2. Показатель 5: $2^{15} = 2^{3 \cdot 5} = (2^3)^5 = 8^5$.

3. Показатель 15: $2^{15} = 2^{1 \cdot 15} = (2^1)^{15} = 2^{15}$.

Таким образом, существует 3 способа.

Ответ: 3.

б)

Рассмотрим число $2^6$. Здесь показатель степени $p=6$. Нам нужно найти количество делителей числа 6, отличных от 1.

Натуральными делителями числа 6 являются: 1, 2, 3, 6.

Исключаем делитель 1. Остаются делители: 2, 3, 6. Всего их три.

Каждому из этих делителей соответствует свой способ представления числа $2^6$ в виде степени:

1. Показатель 2: $2^6 = 2^{3 \cdot 2} = (2^3)^2 = 8^2$.

2. Показатель 3: $2^6 = 2^{2 \cdot 3} = (2^2)^3 = 4^3$.

3. Показатель 6: $2^6 = 2^{1 \cdot 6} = (2^1)^6 = 2^6$.

Таким образом, существует 3 способа.

Ответ: 3.