Номер 552, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 552, страница 124.

Условие.

552. Докажите, что при любом натуральном $k$:

а) число $3^{4k}$ оканчивается единицей;

б) число $10^k - 1$ кратно 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для доказательства утверждения преобразуем выражение $3^{4k}$, используя свойства степеней:

$3^{4k} = (3^4)^k$.

Вычислим основание степени $3^4$:
$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 = 81$.

Таким образом, исходное выражение можно записать как $81^k$.

Последняя цифра произведения чисел зависит только от их последних цифр. При возведении в любую натуральную степень числа, оканчивающегося на 1, результат также будет оканчиваться на 1, поскольку последняя цифра произведения будет определяться умножением $1 \times 1 = 1$.Поскольку число 81 оканчивается на 1, то и число $81^k$ для любого натурального $k$ будет оканчиваться на 1.Следовательно, число $3^{4k}$ оканчивается единицей при любом натуральном $k$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Чтобы доказать, что число $10^k - 1$ кратно 3 при любом натуральном $k$, рассмотрим вид этого числа. При любом натуральном $k$ число $10^k$ представляет собой единицу, за которой следует $k$ нулей. Следовательно, число $10^k - 1$ состоит из $k$ цифр 9.

Например:
При $k=1$: $10^1 - 1 = 9$.
При $k=2$: $10^2 - 1 = 100 - 1 = 99$.
При $k=3$: $10^3 - 1 = 1000 - 1 = 999$.
В общем виде: $10^k - 1 = \underbrace{99...9}_{k \text{ раз}}$.

Воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Найдем сумму цифр числа $10^k - 1$, которое состоит из $k$ девяток:
Сумма цифр = $\underbrace{9 + 9 + ... + 9}_{k \text{ слагаемых}} = 9k$.

Поскольку $k$ — натуральное число, произведение $9k$ всегда делится на 3, так как один из множителей (9) делится на 3.Так как сумма цифр числа $10^k - 1$ кратна 3, то и само число $10^k - 1$ кратно 3 для любого натурального $k$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.