Номер 559, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 559, страница 125.

Условие.

559. Представьте произведение одночленов в виде степени некоторого одночлена:

а) $27a^2b^5 \cdot 3a^{10}b^3$;

б) $-64a^8x^{11} \cdot (-0,25a^2x^9)$;

в) $0,01b^5c^3 \cdot (-0,1bc^6)$;

г) $-\frac{9}{16}p^9q^{14} \cdot \frac{3}{4}p^3q^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Сначала перемножим одночлены, умножая отдельно коэффициенты и отдельно степени с одинаковыми основаниями (по правилу $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):
$27a^2b^5 \cdot 3a^{10}b^3 = (27 \cdot 3) \cdot (a^2 \cdot a^{10}) \cdot (b^5 \cdot b^3) = 81 \cdot a^{2+10} \cdot b^{5+3} = 81a^{12}b^8$.
Теперь представим полученный одночлен $81a^{12}b^8$ в виде степени. Показатель искомой степени должен быть общим делителем показателей степеней у переменных (12 и 8) и позволять извлечь корень из коэффициента 81. Наибольший общий делитель для 12 и 8 это 4. Проверим, подходит ли он: $81 = 3^4$. Да, подходит.
Таким образом, $81a^{12}b^8 = 3^4 \cdot a^{3 \cdot 4} \cdot b^{2 \cdot 4} = (3a^3b^2)^4$.
Ответ: $(3a^3b^2)^4$.

б) Выполним умножение одночленов:
$-64a^8x^{11} \cdot (-0,25a^2x^9) = (-64 \cdot (-0,25)) \cdot (a^8a^2) \cdot (x^{11}x^9) = 16 \cdot a^{8+2} \cdot x^{11+9} = 16a^{10}x^{20}$.
Представим результат $16a^{10}x^{20}$ в виде степени. Показатели степеней у переменных равны 10 и 20. Их общий делитель, который подходит для коэффициента 16, это 2, так как $16 = 4^2$.
Следовательно, $16a^{10}x^{20} = 4^2 \cdot a^{5 \cdot 2} \cdot x^{10 \cdot 2} = (4a^5x^{10})^2$.
Ответ: $(4a^5x^{10})^2$.

в) Умножим одночлены:
$0,01b^5c^3 \cdot (-0,1bc^6) = (0,01 \cdot (-0,1)) \cdot (b^5b) \cdot (c^3c^6) = -0,001 \cdot b^{5+1} \cdot c^{3+6} = -0,001b^6c^9$.
Представим результат $-0,001b^6c^9$ в виде степени. Наибольший общий делитель показателей 6 и 9 равен 3. Проверим коэффициент: $-0,001 = (-0,1)^3$. Показатель 3 подходит.
Таким образом, $-0,001b^6c^9 = (-0,1)^3 \cdot b^{2 \cdot 3} \cdot c^{3 \cdot 3} = (-0,1b^2c^3)^3$.
Ответ: $(-0,1b^2c^3)^3$.

г) Умножим одночлены:
$-\frac{9}{16}p^9q^{14} \cdot \frac{3}{4}p^3q^4 = (-\frac{9}{16} \cdot \frac{3}{4}) \cdot (p^9p^3) \cdot (q^{14}q^4) = -\frac{27}{64} \cdot p^{9+3} \cdot q^{14+4} = -\frac{27}{64}p^{12}q^{18}$.
Представим результат $-\frac{27}{64}p^{12}q^{18}$ в виде степени. Коэффициент отрицательный, значит, показатель степени должен быть нечетным. Общие делители показателей 12 и 18: 1, 2, 3, 6. Единственный нечетный общий делитель (кроме 1) - это 3. Проверим его.
Корень кубический из коэффициента: $\sqrt[3]{-\frac{27}{64}} = -\frac{3}{4}$. Это подходит.
Следовательно, $-\frac{27}{64}p^{12}q^{18} = (-\frac{3}{4})^3 \cdot p^{4 \cdot 3} \cdot q^{6 \cdot 3} = (-\frac{3}{4}p^4q^6)^3$.
Ответ: $(-\frac{3}{4}p^4q^6)^3$.