Номер 562, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 562, страница 125.

Условие.

562. На рисунке 66 построены графики функций $y = x$, $y = x^2$, $y = x^3$, где $x \ge 0$. Пользуясь графиком, сравните:

а) 0,23 и $0,23^2$;
0,23 и $0,23^3$;
$0,23^2$ и $0,23^3$;

б) 1,47 и $1,47^2$;
1,47 и $1,47^3$;
$1,47^2$ и $1,47^3$.

Рис. 66

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи мы воспользуемся предоставленными графиками функций $y=x$, $y=x^2$ и $y=x^3$. Сравнение двух чисел, например $a$ и $a^2$, эквивалентно сравнению значений функций $y=x$ и $y=x^2$ в точке $x=a$. Чтобы определить, какое значение больше, необходимо посмотреть, какой из графиков находится выше при данном значении $x$.

Анализируя графики, можно заметить ключевые особенности их взаимного расположения:

• На интервале $x \in (0, 1)$ график функции $y=x$ (прямая линия) расположен выше графика $y=x^2$ (парабола), который, в свою очередь, расположен выше графика $y=x^3$ (кубическая парабола). Таким образом, для любого числа $x$ из этого интервала справедливо неравенство: $x > x^2 > x^3$.
• В точках $x=0$ и $x=1$ все три графика пересекаются, то есть значения функций равны: $x = x^2 = x^3$.
• На интервале $x \in (1, +\infty)$ взаимное расположение графиков меняется. График $y=x^3$ оказывается самым высоким, за ним идет $y=x^2$, а самым нижним является график $y=x$. Таким образом, для любого числа $x > 1$ справедливо неравенство: $x < x^2 < x^3$.

Используя эти наблюдения, сравним предложенные числа.

а)

В этом пункте все числа являются степенями основания $x = 0,23$. Так как $0 < 0,23 < 1$, мы используем соотношение $x > x^2 > x^3$.

Сравнение $0,23$ и $0,23^2$. Это соответствует сравнению значений $y=x$ и $y=x^2$ при $x=0,23$. На интервале $(0,1)$ график $y=x$ лежит выше графика $y=x^2$, следовательно, $x > x^2$.
Ответ: $0,23 > 0,23^2$.

Сравнение $0,23$ и $0,23^3$. Это соответствует сравнению значений $y=x$ и $y=x^3$ при $x=0,23$. На интервале $(0,1)$ график $y=x$ лежит выше графика $y=x^3$, следовательно, $x > x^3$.
Ответ: $0,23 > 0,23^3$.

Сравнение $0,23^2$ и $0,23^3$. Это соответствует сравнению значений $y=x^2$ и $y=x^3$ при $x=0,23$. На интервале $(0,1)$ график $y=x^2$ лежит выше графика $y=x^3$, следовательно, $x^2 > x^3$.
Ответ: $0,23^2 > 0,23^3$.

б)

В этом пункте все числа являются степенями основания $x = 1,47$. Так как $1,47 > 1$, мы используем соотношение $x < x^2 < x^3$.

Сравнение $1,47$ и $1,47^2$. Это соответствует сравнению значений $y=x$ и $y=x^2$ при $x=1,47$. При $x>1$ график $y=x^2$ лежит выше графика $y=x$, следовательно, $x < x^2$.
Ответ: $1,47 < 1,47^2$.

Сравнение $1,47$ и $1,47^3$. Это соответствует сравнению значений $y=x$ и $y=x^3$ при $x=1,47$. При $x>1$ график $y=x^3$ лежит выше графика $y=x$, следовательно, $x < x^3$.
Ответ: $1,47 < 1,47^3$.

Сравнение $1,47^2$ и $1,47^3$. Это соответствует сравнению значений $y=x^2$ и $y=x^3$ при $x=1,47$. При $x>1$ график $y=x^3$ лежит выше графика $y=x^2$, следовательно, $x^2 < x^3$.
Ответ: $1,47^2 < 1,47^3$.