Номер 565, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 565, страница 126.

Условие.

565. Расположите в порядке возрастания числа $a$, $a^2$ и $a^3$, если:

a) $0 < a < 1$;

б) $a > 1$;

в) $-1 < a < 0$;

г) $a < -1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $0 < a < 1$

В этом случае число $a$ является положительной правильной дробью. При возведении такого числа в степень основание, которое меньше 1, результат уменьшается.
Рассмотрим сравнение $a$ и $a^2$. Так как $0 < a < 1$, умножим неравенство $a < 1$ на положительное число $a$. Знак неравенства сохранится: $a \cdot a < 1 \cdot a$, то есть $a^2 < a$.
Теперь сравним $a^2$ и $a^3$. Умножим неравенство $a < 1$ на положительное число $a^2$. Знак неравенства также сохранится: $a \cdot a^2 < 1 \cdot a^2$, то есть $a^3 < a^2$.
Таким образом, мы получили цепочку неравенств: $a^3 < a^2 < a$.
Пример: если $a = 0.5$, то $a^2 = 0.25$, $a^3 = 0.125$. Порядок возрастания: $0.125, 0.25, 0.5$, что соответствует $a^3, a^2, a$.

Ответ: $a^3, a^2, a$.

б) $a > 1$

В этом случае число $a$ больше единицы. При возведении такого числа в степень основание, которое больше 1, результат увеличивается.
Сравним $a$ и $a^2$. Так как $a > 1$, умножим это неравенство на положительное число $a$. Знак неравенства сохранится: $a \cdot a > 1 \cdot a$, то есть $a^2 > a$.
Теперь сравним $a^2$ и $a^3$. Умножим неравенство $a > 1$ на положительное число $a^2$. Знак неравенства сохранится: $a \cdot a^2 > 1 \cdot a^2$, то есть $a^3 > a^2$.
Таким образом, мы получили цепочку неравенств: $a < a^2 < a^3$.
Пример: если $a = 2$, то $a^2 = 4$, $a^3 = 8$. Порядок возрастания: $2, 4, 8$, что соответствует $a, a^2, a^3$.

Ответ: $a, a^2, a^3$.

в) $-1 < a < 0$

В этом случае $a$ — отрицательное число, модуль которого меньше единицы.
$a$ — отрицательное число.
$a^2$ — положительное число (квадрат отрицательного числа).
$a^3$ — отрицательное число (куб отрицательного числа).
Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $a^2$ будет самым большим числом.
Осталось сравнить два отрицательных числа: $a$ и $a^3$. Для этого можно рассмотреть неравенство $-1 < a < 0$. Возведя его в квадрат, получим $1 > a^2 > 0$ (знаки поменялись, так как мы возводим в квадрат отрицательные числа). Умножим неравенство $a^2 < 1$ на отрицательное число $a$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $a^2 \cdot a > 1 \cdot a$, что дает $a^3 > a$.
Таким образом, получаем порядок: $a < a^3 < a^2$.
Пример: если $a = -0.5$, то $a^2 = 0.25$, $a^3 = -0.125$. Порядок возрастания: $-0.5, -0.125, 0.25$, что соответствует $a, a^3, a^2$.

Ответ: $a, a^3, a^2$.

г) $a < -1$

В этом случае $a$ — отрицательное число, модуль которого больше единицы.
$a$ — отрицательное число.
$a^2$ — положительное число.
$a^3$ — отрицательное число.
Снова $a^2$ будет самым большим числом, так как оно положительное.
Сравним отрицательные числа $a$ и $a^3$. Из условия $a < -1$ следует, что $a^2 > 1$. Умножим это неравенство на отрицательное число $a$. Знак неравенства меняется на противоположный: $a \cdot a^2 < a \cdot 1$, что дает $a^3 < a$.
Таким образом, получаем порядок: $a^3 < a < a^2$.
Пример: если $a = -2$, то $a^2 = 4$, $a^3 = -8$. Порядок возрастания: $-8, -2, 4$, что соответствует $a^3, a, a^2$.

Ответ: $a^3, a, a^2$.